(共13张PPT)
第一章
1.1 第1课时 集合的概念
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A 级 必备知识基础练
1.下列对象能组成集合的有( )
①接近于1的所有整数;
②小于0的所有实数;
③(2 022,1)与(1,2 022).
A.1组 B.2组 C.3组 D.0组
B
解析 ①中接近于1的所有整数标准不明确,故不能组成集合;②中“小于0”是一个明确的标准,能组成集合;③中(2 022,1)与(1,2 022)是两个不同的数对,是确定的,能组成集合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2.已知集合M是由满足y= (其中x∈N+, ∈Z)的实数y组成的,则M中含有的元素个数为( )
A.4 B.6
C.8 D.12
B
解析 由题意,可知y可取的值为1,2,3,4,6,12,共6个.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.(多选题)下列关系正确的有( )
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列结论正确的是( )
A.-1 A
B.-11∈A
C.3k2-1∈A
D.-34 A
C
解析 当k=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误;
若-11∈A,则-11=3k-1,解得k= Z,选项B错误;
令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确;
当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5.若集合A中共有三个元素-1,3,a3,且a∈A,则实数a的值为 .
0或1或3
解析 由题意得,a=-1或a=3或a=a3,
故a=-1或a=3或a=0或a=1,
经检验,当a=-1时,a3=-1,不满足集合中元素的互异性,故实数a的取值为0或1或3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6.已知集合A中含有0,2,5三个元素,B中含有1,2,6三个元素,定义集合C中的元素是a+b,其中a∈A,b∈B,则C中元素的个数是 .
8
解析 若a∈A,b∈B,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则集合C中有8个
元素.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B 级 关键能力提升练
7.(多选题)下面说法不正确的是( )
A.集合N中最小的数是0
B.若-a不属于N,则a属于N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.x2+1=2x的解集可表示为{1,1}
BCD
解析 因为集合N中最小的数是0,所以A说法正确;
因为N表示自然数集,-0.5 N,0.5 N,所以B说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C说法不正确;
根据集合中元素的互异性知D说法不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8.已知x,y为非零实数,代数式 的值所组成的集合是M,则集合M中的元素为 .
-1,3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9.已知集合M满足条件:若a∈M,则 ∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M中的元素全部求出来.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
解 (1)因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)不能.理由如下:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C 级 学科素养拔高练
11.[2023浙江杭州检测]已知集合A中含有三个实数元素a2, ,a.若0∈A且1∈A,求a2 022+b2 022的值.
解 由0∈A,可知a≠0,且a2≠0,
所以 =0,解得b=0.
又1∈A,可得a2=1或a=1.
当a=1时a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,
所以a2=1且a≠1,
所以a=-1,
所以a2 022+b2 022=1.(共44张PPT)
第一章
1.1 第2课时 集合的表示
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.
2.了解空集的含义.
3.会用区间表示集合.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 集合的表示方法
1.列举法
列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
2.描述法 元素与元素之间必须用“,”隔开
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
一一列举
名师点睛
1.用列举法表示集合时,必须注意以下几点:
(1)集合的元素必须是明确的;(2)不必考虑元素出现的先后顺序;(3)集合的元素不能重复;(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.
2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般
代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.
3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用“且”与“或”等联结.如集合{x|x<0或x≥3}.
4.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D={x∈R|x<9}可以表示为D={x|x<9}.
5.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.
6.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]用适当的方法表示下列集合:
(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;
(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;
(3)不等式4x-5<3的解集.
解 (1){x|x2-9=0}或{-3,3}.
(3){x|4x-5<3}或{x|x<2}.
2.[人教A版教材习题]把下列集合用另一种方法表示出来:
(1){2,4,6,8,10};
(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;
(3){x∈N|3(4)中国古代四大发明.
解 (1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5}.
(2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.
(3){4,5,6}.
(4){造纸术,指南针,火药,印刷术}.
知识点2 集合的分类
1.含有 的集合叫作有限集,含有 的集合叫作无限集.
2.不含任何元素的集合叫作 ,记作 .
名师点睛
1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.
2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.
有限个元素
无限个元素
空集
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示,属于有限集.( )
(2)一元二次方程实数解的集合可以是空集.( )
2.空集是有限集还是无限集
×
√
解 空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.
3.[人教A版教材习题]下列集合中,哪些是有限集 哪些是无限集
(1)使得式子 有意义的所有实数组成的集合;
(2)使得式子 有意义的所有自然数组成的集合;
(3)方程x2=-1的所有实数解组成的集合.
解 (2)(3)中的集合是有限集,(1)中的集合是无限集.
知识点3 区间及其表示
1.设a,b是两个实数,且a此条件不能省略
集合表示 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上表示区间时,用实心点表示
区间的端点,用空心点表示 区间的端点.
属于
不属于
2.实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“∞”读作“ ”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x
集合表示 符号表示 数轴表示
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|x “∞”处一定要用开区间符号
无穷大
3.[a,b]称为闭区间,(a,b),(a,+∞),(-∞,b)称为开区间,[a,b),(a,b],[a,+∞),(-∞,b]称为半开半闭区间.
名师点睛
1.区间只能表示数集.
2.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)集合{1}可用区间[1,1]表示.( )
(2)区间可以表示空集.( )
(3)有的集合和区间可以互化.( )
×
×
√
2.用区间表示下列集合:
(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0(3){x|2≤x<5};(4){x|0(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.
解 (1)[-1,3].(2)(0,1].(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞,3).(6)[2,+∞).
重难探究·能力素养全提升
探究点一 集合的表示
角度1用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
解 (1)方程x2-1=0的解为x=-1,或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
(4)方程组 的解是 所求集合用列举法表示为{(1,1)}.
规律方法 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合;
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,且元素无先后顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合时,要分清该集合是数集、点集,还是其他集合.
变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)直线x+y=3与x-y=1的交点组成的集合;
(2)不大于10的非负奇数集;
故所求集合为{(2,1)}.
(2)不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.
(3)由题可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,
所以A={-2,1,2,3}.
角度2用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
解 (1){(x,y)|y=-x}.
(2){(x)||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
规律方法 1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合;
(2)曲线y=x2-4上的点组成的集合;
(3)使函数 有意义的实数x组成的集合.
解 (1){(x,y)|x∈R,y=0}.
(2){(x,y)|y=x2-4}.
(3){x|x≠1}.
以下是两位同学的答案,你认为哪一个正确 请说明理由.
学生甲:由 得x=0或x=1,故A={0,1};
学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.
解 学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数,而不是点.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对(0,0),(1,1),故学生甲正确.
变式探究若把例3中的集合改为 ,哪位同学解答正确
解 代表元素是点,
所以这是点集,学生乙正确.
探究点二 集合表示方法的选择与转换
【例4】 用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组 的解组成的集合;
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
解 (1)解方程组 故该集合用列举法可表示为
{(4,-2)}.
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)用描述法表示为{x|x是正方形},或{正方形}.
(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
规律方法 表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
变式训练3用另一种方法表示下列集合:
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){-3,-1,1,3,5}.
解 (1){-2,-1,0,1,2}.
(2){3,6,9}.
(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.
探究点三 已知集合中元素个数求参数范围
【例5】 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有1个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
解 当k=0时,原方程为-8x+16=0,解得x=2.
此时集合A={2},满足题意.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
变式探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求实数k的取值范围.
解得k<1,且k≠0.故k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}.
变式探究2例5中,若集合A中至多有1个元素,试求实数k的取值范围.
解 ①当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}.
规律方法 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)用列举法和描述法表示集合;
(2)两种表示法的综合应用;
(3)区间.
2.方法归纳:等价转化.
3.常见误区:点集与数集的区别.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
6
1.已知集合A= ,则下列关系式不成立的是( )
A.0∈A B.1.5 A
C.-1 A D.6∈A
D
解析 由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.
1
2
3
4
5
6
2.下列四个集合中,是空集的是( )
A.{0}
B.{x|x>8或x<5}
C.{x∈R|x2+1=0}
D.{x∈N|3.5C
解析 选项A,B,D都含有元素,而选项C中无元素,故选C.
1
2
3
4
5
6
3.集合{-1,1}用描述法可以表示为 .
答案不唯一,如{x||x|=1}
1
2
3
4
5
6
4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为
.
A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
1
2
3
4
5
6
5.集合{x|2≤x≤11}用区间表示为 .
[2,11]
1
2
3
4
5
6
6.分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;
(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.
解 (1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.
(2)集合用描述法表示为{x∈Z|1第一章
1.1 第1课时 集合的概念
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.通过实例,了解集合的含义.
2.掌握集合中元素的三个特性.
3.理解元素与集合的“属于”关系.
4.记住常用数集及其记法.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 集合的概念
不能缺少任何一员
一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.
集合中的 叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
名师点睛
组成集合的对象可以是数、图形、符号等,也可以是人或物等.
每个对象
过关自诊
是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义
解 可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉中由该学生在初三用过的所有课本组成集合,袋子或抽屉中的课本是集合的元素.
知识点2 元素与集合的关系
关系 语言表述 符号表示 读法
属于 元素a在集合A中 元素a属于集合A
不属于 元素a不在集合A中 元素a不属于集合A
名师点睛
1.a∈A与a A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况有且只有一种成立.
2.元素与集合之间只能用符号“∈”“ ”,表示元素与集合之间的从属关系,具有方向性.
a∈A
a A
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
设集合A表示小于10的所有质数组成的集合,
(1)4是集合A中的元素,即4属于集合A,记作4∈A.( )
(2)9不是集合A中的元素,即9不属于集合A,记作9 A.( )
2.符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗
×
√
解 不能,符号“∈”和“ ”具有方向性,必须左边是元素,右边是集合.
知识点3 集合中元素的三个特性
特性 含义 示例
确定性 集合中的元素必须是确定的,即有明确的判断标准来判断给定的元素是不是属于某一集合 “个子高的人”不能组成集合,
“身高大于180 cm的人”可以组成集合
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同,也就是说,集合中的元素没有重复 方程(x-1)2=0的所有根组成的集合中只有“1”一个元素
无序性 集合中的所有元素不存在排列次序 如1,2,3与3,2,1组成的集合表示同一个集合
名师点睛
1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.
2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.
过关自诊
1.已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
D
解析 由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.
2.已知a为实数,a-1和1是一个集合中的两个元素,则a应满足的条件是 .
a≠2
解析 根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,
即a≠2.
3.[人教A版教材习题]判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1)A,B是平面α内的定点,在平面α内与A,B等距离的点;
(2)高中学生中的游泳能手.
解 (1)在平面α内与定点A,B等距离的点可以组成集合.理由:这些点是确定的,即线段AB垂直平分线上的点.
(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合.理由:游泳能手这一特征不明确.
知识点4 几种常用的数集及其记法
集合 意义 记法
自然数集 全体自然数组成的集合 N
正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N*
整数集 全体整数组成的集合 Z
有理数集 全体有理数组成的集合 Q
实数集 全体实数组成的集合 R
正实数集 全体正实数组成的集合 R+
名师点睛
常用数集之间的关系
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)0∈N+.( )
(2)33∈N.( )
(3)N∈R.( )
×
√
×
2.[人教A版教材习题]用符号“∈”或“ ”填空:
0 N;
-3 N;
0.5 Z;
Z;
Q;
π R.
∈
∈
∈
重难探究·能力素养全提升
探究点一 集合的概念
【例1】 给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ 的近似值的全体.
其中能够组成集合的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
解析 ①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
规律方法 一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
变式训练1下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y= 图象上所有的点
A
解析 选项A,C,D中的元素具有确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能组成集合.
探究点二 元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①|-π|∈R;② Q;③0∈Z;④|-1| N+.
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是不是集合A中的元素
②若-5∈A,求实数a的值.
③若1 A,求实数a满足的条件.
解 ①将x=0代入方程左边,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1 A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
(3)若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素.
规律方法 判断元素与集合的关系的两种方法
变式训练2(1)下列关系正确的是( )
A. ∈N B.-1∈N
C. ∈N D.9∈N
D
(2)已知集合A是由形如m+ n(其中m,n∈Z)的数组成的,判断 是不是集合A中的元素.
探究点三 集合中元素的特性及其应用
【例3】 已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12.若-3∈A,求实数a的值.
变式探究本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制
规律方法 由集合中元素的特性求解字母取值的步骤
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系;
(2)集合中元素的三个特性及其应用;
(3)常用数集的表示.
2.方法归纳:分类讨论.
3.常见误区:忽视集合中元素的互异性.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.下列各组对象可以组成集合的是( )
①某省所有的好学校;
②平面直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点;
③π的近似值;
④不大于5的自然数.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
C
解析 “好学校”不具有确定性,π的近似值不具有确定性,因此①③不能组成集合;
平面直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点具有确定性,不大于5的自然数具有确定性,因此②④能组成集合.
1
2
3
4
5
2.(多选题)下列关系正确的是( )
A.0∈N+ B.( ) Q
C.0 Q D.8∈Z
BD
1
2
3
4
5
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
C
解析 因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形的对角线不相等,故选C.
1
2
3
4
5
4.一个书架上有十种不同的书,每种各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有 个元素.
10
解析 由集合中元素的互异性知,集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象),相同的元素在集合中只能算作一个,因此书架上的书组成的集合中有10个元素.
1
2
3
4
5
5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.第一章第2课时 集合的表示
A级 必备知识基础练
1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是 ( )
A.0∈A B.-4 A
C.4∈A D.2∈A
2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的图象的交点组成的集合是( )
A.{2,4}
B.{x=2,y=4}
C.(2,4)
D.{(x,y)|x=2,且y=4}
3.(多选题)下列选项中是集合A=(x,y)x=,y=,k∈Z中的元素的是( )
A. B.
C.(3,4) D.(4,3)
4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a= ,此时集合A用列举法表示为 .
B级 关键能力提升练
5.定义集合运算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.设A={-1,1},B={0,2},则集合A·B中的所有元素之和为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是( )
A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合
B.1,2,,0.5,这些数组成的集合有5个元素
C.集合M={(3,1)}与集合P={(1,3)}不是同一个集合
D.{x|x<-2且x>2}表示的是空集
7.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
8.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
C级 学科素养创新练
9.已知集合A={x|x=m+n,m∈Z,n∈Z}.
(1)试分别判断x1=-,x2=,x3=(1-2)2与集合A的关系;
(2)设a,b∈A,证明:ab∈A.
参考答案
第2课时 集合的表示
1.A ∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.
2.D 联立方程组解得
∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为点(2,4),
∴所求集合是{(x,y)|x=2,且y=4}.
3.AD 由x=,y=,得k=3x=4y,将各个选项中的数对代入验证,得A,D符合.故选AD.
4.-4 {-1,4} ∵4∈A,∴16-12+a=0,
∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
5.A 当x=-1,y=0时,z=(-1)2×(0-1)=-1;
当x=-1,y=2时,z=(-1)2×(2-1)=1;
当x=1,y=0时,z=12×(0-1)=-1;
当x=1,y=2时,z=12×(2-1)=1.
所以A·B={-1,1},
所以A·B中所有元素之和为0.故选A.
6.CD 对于选项A,集合{y|y=2x2+1}是数集,集合{(x,y)|y=2x2+1}是点集,不是同一个集合,所以A错误;对于选项B,因为=0.5,所以1,2,,0.5,这些数组成的集合有3个元素,所以B错误;对于选项C,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点,故集合M与集合P不是同一个集合,所以C正确;选项D显然正确.故选CD.
7.{(x,y)|xy≥0,-2≤x,-1≤y}
8.解(1)当A中恰有一个元素时,
若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时方程只有一个实数根x=;
若a≠0,则由Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
当A中有两个元素时,
则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
综上,a的取值范围为(-∞,].
(2)当A中没有元素时,
则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=
综上,a的取值范围为{a|a=0,或a|.
9.(1)解x1=-=0+(-1),
因为0∈Z,-1∈Z,
所以x1∈A;
x2==1+,
因为1∈Z,Z,
所以x2 A;
x3=(1-2)2=9-4=9+(-4),
因为9∈Z,-4∈Z,所以x3∈A.
(2)证明因为a,b∈A,所以可设a=m1+n1,b=m2+n2,且m1,n1,m2,n2∈Z,
所以ab=(m1+n1)(m2+n2)=m1m2+(m2n1+m1n2)+2n1n2=(m1m2+2n1n2)+(m2n1+m1n2).
因为m1m2+2n1n2∈Z,m2n1+m1n2∈Z,所以ab∈A.(共15张PPT)
第一章
1.1 第2课时 集合的表示
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A 级 必备知识基础练
1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是( )
A.0∈A B.-4 A
C.4∈A D.2∈A
A
解析 ∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的图象的交点组成的集合是( )
A.{2,4}
B.{x=2,y=4}
C.(2,4)
D.{(x,y)|x=2,且y=4}
D
解析 联立方程组
∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为点(2,4),
∴所求集合是{(x,y)|x=2,且y=4}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
AD
解析 由 得k=3x=4y,将各个选项中的数对代入验证,得A,D符合.故选AD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a= ,此时集合A用列举法表示为 .
-4
{-1,4}
解析 ∵4∈A,∴16-12+a=0,
∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B 级 关键能力提升练
5.定义集合运算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.设A={-1,1},B={0,2},则集合A·B中的所有元素之和为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
A
解析 当x=-1,y=0时,z=(-1)2×(0-1)=-1;
当x=-1,y=2时,z=(-1)2×(2-1)=1;
当x=1,y=0时,z=12×(0-1)=-1;
当x=1,y=2时,z=12×(2-1)=1.
所以A·B={-1,1},
所以A·B中所有元素之和为0.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是( )
A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合
C.集合M={(3,1)}与集合P={(1,3)}不是同一个集合
D.{x|x<-2且x>2}表示的是空集
CD
解析 对于选项A,集合{y|y=2x2+1}是数集,集合{(x,y)|y=2x2+1}是点集,不是同一个集合,所以A错误;对于选项B,因为
这些数组成的集合有3个元素,所以B错误;对于选项C,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点,故集合M与集合P不是同一个集合,所以C正确;选项D显然正确.故选CD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解 (1)当A中恰有一个元素时,
若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时方程只有一个实数根x= ;
若a≠0,则由Δ=9-8a=0,解得a= ,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
当A中有两个元素时,
则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a< ,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
综上,a的取值范围为(-∞, ].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)当A中没有元素时,
则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a> ,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=
综上,a的取值范围为{a|a=0,或
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C 级 学科素养创新练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
91.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
A级 必备知识基础练
1.下列对象能组成集合的有( )
①接近于1的所有整数;
②小于0的所有实数;
③(2 022,1)与(1,2 022).
A.1组 B.2组
C.3组 D.0组
2.已知集合M是由满足y=其中x∈N+,∈Z的实数y组成的,则M中含有的元素个数为( )
A.4 B.6
C.8 D.12
3.(多选题)下列关系正确的有( )
A.∈R B. R
C.|-3|∈N D.|-|∈Q
4.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列结论正确的是( )
A.-1 A
B.-11∈A
C.3k2-1∈A
D.-34 A
5.若集合A中共有三个元素-1,3,a3,且a∈A,则实数a的值为 .
6.已知集合A中含有0,2,5三个元素,B中含有1,2,6三个元素,定义集合C中的元素是a+b,其中a∈A,b∈B,则C中元素的个数是 .
B级 关键能力提升练
7.(多选题)下面说法不正确的是( )
A.集合N中最小的数是0
B.若-a不属于N,则a属于N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.x2+1=2x的解集可表示为{1,1}
8.已知x,y为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则集合M中的元素为 .
9.已知集合M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M中的元素全部求出来.
10.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
C级 学科素养创新练
11.[2023浙江杭州检测]已知集合A中含有三个实数元素a2,,a.若0∈A且1∈A,求a2 022+b2 022的值.
参考答案
第一章 预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
1.B ①中接近于1的所有整数标准不明确,故不能组成集合;②中“小于0”是一个明确的标准,能组成集合;③中(2022,1)与(1,2022)是两个不同的数对,是确定的,能组成集合.
2.B 由题意,可知y可取的值为1,2,3,4,6,12,共6个.故选B.
3.AC 是实数,是实数,|-3|=3是自然数,|-|=是无理数.故选AC.
4.C 当k=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误;
若-11∈A,则-11=3k-1,解得k=-Z,选项B错误;
令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确;
当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误.
5.0或1或3 由题意得,a=-1或a=3或a=a3,
故a=-1或a=3或a=0或a=1,
经检验,当a=-1时,a3=-1,不满足集合中元素的互异性,故实数a的取值为0或1或3.
6.8 若a∈A,b∈B,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则集合C中有8个元素.
7.BCD 因为集合N中最小的数是0,所以A说法正确;
因为N表示自然数集,-0.5 N,0.5 N,所以B说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C说法不正确;
根据集合中元素的互异性知D说法不正确.
8.-1,3 ①当x,y均为正数时,代数式的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式的值为-1.所以集合M的元素为-1,3.
9.解∵3∈M,
=-2∈M,
=-M,M,
=3∈M,
∴集合M中的所有元素为3,-2,-
10.解(1)因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)不能.理由如下:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
11.解由0∈A,可知a≠0,且a2≠0,
所以=0,解得b=0.
又1∈A,可得a2=1或a=1.
当a=1时a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,
所以a2=1且a≠1,
所以a=-1,
所以a2022+b2022=1.
