黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．（2022·新高考Ⅱ卷） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.
2．（2023高二上·青冈开学考）给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为打电话的顺序是任意的，所以甲、乙、丙三人打电话，第一个打电话为甲的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件可知，甲、乙、丙三人打电话的顺序任意，打电话给甲乙丙的概率都是.
3．（2023高二上·青冈开学考）小王与小张二人参加某射击比赛预赛的五次测试成绩如下表所示，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为sA2和sB2，则（ ）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小王得分（环） 9 10 5 7 9
小张得分（环） 6 7 5 5 7
A．，sA2＞sB2 B．，sA2＜sB2
C．，sA2＞sB2 D．，sA2＜sB2
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据表中数据可知：小王、小张成绩的样本平均数分别为；方差分别为：，所以.
故答案为：C.
【分析】根据表中数据分别计算小王和小张成绩的样本平均值和方差，再比较大小即可判断.
4．（2023高二上·青冈开学考）为了更好了地解高中学生的身高发育情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（ ）
A．171、170、168.5 B．171.5、170、169
C．171.5、172、169 D．172、172、169
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：根据某班的24位男生身高由低到高排序情况可知：这24个数据的众数为172，中位数为，，所以第30百分位数是第8个数169.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用众数、中位数和百分位数的定义求解即可.
5．（2021高一下·广州期末）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A. ，则或，故错误；
B. 过直线a作平面，有，因为，所以，
又因为，所以，所以，故正确
C. ，则或a，b异面，故错误；
D. ，则或相交，故错误；
故答案为：B
【分析】根据题意由空间直线以及直线与平面的位置，由此对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2023高一下·卧龙月考）在中，点D在边AB上，．记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为点D在AB上，BD=2DA，
所以，
所以，
故答案是：B.
【分析】利用向量的线性运算对向量进行分解。
7．（2023高二上·青冈开学考）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正四面体的棱长为，因正四面体各个面都是全等的等边三角形，所以正四面体的表面积为，解得，将正四面体补全成正方体，正方体的棱长为1，体对角线为，即外接球的直径为，所以球的体积为.
故答案为：A.
【分析】设正四面体的棱长为，因正四面体各个面都是全等的等边三角形，由正方体的表面积求出正方体的棱长，将正四面体补全为正方体从而求得体对角线长，即球的直径，最后求体积即可.
8．（2023高二上·青冈开学考）已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：根据正弦定理化边为角得，因，所以，所以，即，所以或，故为直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用正弦定理化边为角，结合三角形性质和两角和的正弦公式化简可得，最后根据特殊角的三角函数值和正弦定理即可求解.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（2023高二上·青冈开学考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A：，，所以与不垂直，A不正确；
对于B：，所以，B正确；
对于C：，所以，C不正确；
对于D：，所以，由C知，D不正确.
故答案为：B，D.
【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模，逐项计算判断即可.
10．（2021高一下·越秀期末）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中 的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由 ，解得 ，A符合题意；
体重不低于60千克的频率为 ，
所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为 人，B不符合题意；
100名学生体重的众数约为 ，C符合题意；
因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在 ， 的频率为 ，
所以计该校学生体重的 分位数约为 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由分位数的计算方法求解，即可判断选项D.
11．（2023高二上·青冈开学考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．54周岁以上参保人数最少
B．18～29周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．30周岁以上的人群约占参保人群
【答案】A,C
【知识点】收集数据的方法；进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：设抽查的5个险种参保客户的总人数为，
A选项，从扇形统计图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确；
D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误.
B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于，54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为，由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误；
C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确；
故答案为：A，C.
【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；D选项，从扇形统计图可得到D错误；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确.
12．（2021高一下·广州期末）在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．平面截正方体所得截面面积为
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】在正方体中，以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
，
对于A，棱DC中点，棱中点，，
，则，即，A符合题意；
对于B，，，则，即，B符合题意；
对于C，平面，，
，设平面的一个法向量，
于是得，令，得，则点E到平面的距离d为：
，而，，
，，C符合题意；
对于D，取中点G，连，则，，点E不在直线上，
则，又，从而有等腰梯形是平面截正方体的截面，
等腰梯形的高，其面积，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，并代入到数量积的坐标公式计算出垂直关系由此判断出选项A、B的正误；再由等体积法代入数值计算出结果从而判断出选项C正确；结合正方体的几何性质利用中点的性质，由梯形的几何性质代入数值计算出结果由此判断出选项D错误，从而得出答案。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023高二上·青冈开学考）若复数z满足（1﹣i） z＝10，则z的虚部为 ．
【答案】5
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：根据复数乘除运算得，所以的虚部为5.
故答案为：5.
【分析】根据复数乘除运算求出，即可得解.
14．（2019高三上·东台月考）某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取70人，则 为 ．
【答案】100
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：分层抽样的抽取比例为 ，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000× =100．
故答案为100．
【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．
15．（2021高一下·广州期末）天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 ．
【答案】0.38
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
故答案为：0.38.
【分析】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，可得A＋B即为两地恰有一地降雨。再由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)即可求解。
16．（2023高二上·青冈开学考）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则的长度的范围为 .
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：过点作直线的平行线，分别交直线，于点，则平面，易得，因为平面，平面，，所以平面平面，则平面，又因为平面平面，所以，又因为为棱的中点，所以分别为，的中点，故在线段上，因，所以，所以线段的长度取值范围为.
故所以故答案为：.
【分析】过点作直线的平行线，分别交直线，于点，由面面平行的判定定理和性质确定点的位置，从而求长度的取值范围即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分
17．（2023高二上·青冈开学考）已知
（1）若与的夹角为，求
（2）若+与垂直，求与的夹角．
【答案】（1）解：，
.
（2）解：，，即，即，
，又，所以与的夹角为.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）先计算出，从而模长公式求解即可；
（2）根据向量垂直得到，得到，进而利用向量夹角余弦公式进行求解，得到 与的夹角为.
18．（2023高二上·青冈开学考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求出的值；
（2）求出这200人年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到小数点后一位）
【答案】（1）解：由，得.
（2）解：平均数为（岁）.
设中位数为，则，解得.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积之和等于1即可求出；
（2）根据平均数和中位数公式即可求得解.
19．（2023高二上·青冈开学考）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
频数(个) 5 10 20 15
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.
【答案】（1）解：苹果的重量在的频率为；
（2）解：）重量在的有（个）；
（3）解：设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为；
从中任取两个，可能的情况有：共6种，
设任取个，重量在和中各有个的事件为，则事件包含有共3种，
所以.
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据重量在的频数除以总数，可得频率为 ；
（2）利用抽取的总数乘以该层所占的比例可求得结果；
（3） 设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为； 然后用有序数对表示出任取两个的所有可能结果，最后分析所有可能结果求解出目标事件的概率.
20．（2021高一下·天津期中）如图，在正方体 中，点E为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】（1）解：如图所示：
，
连接BD与AC交于点O，
因为O，E为为中点，
所以 ,又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：由（1）知 ，则 异面直线 与 所成的角，
在正方体 中，
因为 ，且 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，
设正方体的棱长为a,则 ， ，
所以 ，
所以 ，
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】 (1)根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）连结OB1，EB1，由勾股定理得出OB1⊥OE，由AB1=B1C得出OB1⊥AC，于是OB1⊥平面ACE，从而平面EAC⊥平面AB1C。
21．（2023高二上·青冈开学考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：由正弦定理，得bsinA＝asinB，得，
又∵B为△ABC的一个内角，∴B∈（0，π），∴或；
（2）解：∵△ABC为锐角三角形：，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，所以24＝4c2+c2﹣2c2，
得（负值舍去），．∴．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，进而可求或；
（2）由已知结合余弦定理可求得，，然后结合三角形面积公式求解即可．
22．（2023高二上·青冈开学考）在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）解：证明：连接，
因为平面，平面，所以，因为，，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）解：因为，，所以，即，因为平面，平面，
所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，
因为平面，平面，故，因为，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，
所以，
因为
所以，所以，
因为平面，
所以为直线与平面所成角，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦为
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接 ，由平面，可得，退出平面 ，从而有，结合已知条件可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）由已知可得平面平面 ，结合已知条件可得二面角的余弦值为 ，为二面角的平面角， 所以 ，求出，，再由平面 ，可得 为直线与平面所成角， 从而可求，即可得解.
1 / 1黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．（2022·新高考Ⅱ卷） （ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·青冈开学考）给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·青冈开学考）小王与小张二人参加某射击比赛预赛的五次测试成绩如下表所示，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为sA2和sB2，则（ ）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小王得分（环） 9 10 5 7 9
小张得分（环） 6 7 5 5 7
A．，sA2＞sB2 B．，sA2＜sB2
C．，sA2＞sB2 D．，sA2＜sB2
4．（2023高二上·青冈开学考）为了更好了地解高中学生的身高发育情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（ ）
A．171、170、168.5 B．171.5、170、169
C．171.5、172、169 D．172、172、169
5．（2021高一下·广州期末）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
6．（2023高一下·卧龙月考）在中，点D在边AB上，．记，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·青冈开学考）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·青冈开学考）已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（2023高二上·青冈开学考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021高一下·越秀期末）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中 的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
11．（2023高二上·青冈开学考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．54周岁以上参保人数最少
B．18～29周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．30周岁以上的人群约占参保人群
12．（2021高一下·广州期末）在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．平面截正方体所得截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023高二上·青冈开学考）若复数z满足（1﹣i） z＝10，则z的虚部为 ．
14．（2019高三上·东台月考）某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取70人，则 为 ．
15．（2021高一下·广州期末）天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 ．
16．（2023高二上·青冈开学考）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则的长度的范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分
17．（2023高二上·青冈开学考）已知
（1）若与的夹角为，求
（2）若+与垂直，求与的夹角．
18．（2023高二上·青冈开学考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求出的值；
（2）求出这200人年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到小数点后一位）
19．（2023高二上·青冈开学考）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量)
频数(个) 5 10 20 15
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.
20．（2021高一下·天津期中）如图，在正方体 中，点E为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
21．（2023高二上·青冈开学考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面积．
22．（2023高二上·青冈开学考）在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：D
【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.
2．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为打电话的顺序是任意的，所以甲、乙、丙三人打电话，第一个打电话为甲的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件可知，甲、乙、丙三人打电话的顺序任意，打电话给甲乙丙的概率都是.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据表中数据可知：小王、小张成绩的样本平均数分别为；方差分别为：，所以.
故答案为：C.
【分析】根据表中数据分别计算小王和小张成绩的样本平均值和方差，再比较大小即可判断.
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：根据某班的24位男生身高由低到高排序情况可知：这24个数据的众数为172，中位数为，，所以第30百分位数是第8个数169.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用众数、中位数和百分位数的定义求解即可.
5．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A. ，则或，故错误；
B. 过直线a作平面，有，因为，所以，
又因为，所以，所以，故正确
C. ，则或a，b异面，故错误；
D. ，则或相交，故错误；
故答案为：B
【分析】根据题意由空间直线以及直线与平面的位置，由此对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为点D在AB上，BD=2DA，
所以，
所以，
故答案是：B.
【分析】利用向量的线性运算对向量进行分解。
7．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正四面体的棱长为，因正四面体各个面都是全等的等边三角形，所以正四面体的表面积为，解得，将正四面体补全成正方体，正方体的棱长为1，体对角线为，即外接球的直径为，所以球的体积为.
故答案为：A.
【分析】设正四面体的棱长为，因正四面体各个面都是全等的等边三角形，由正方体的表面积求出正方体的棱长，将正四面体补全为正方体从而求得体对角线长，即球的直径，最后求体积即可.
8．【答案】D
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：根据正弦定理化边为角得，因，所以，所以，即，所以或，故为直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用正弦定理化边为角，结合三角形性质和两角和的正弦公式化简可得，最后根据特殊角的三角函数值和正弦定理即可求解.
9．【答案】B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A：，，所以与不垂直，A不正确；
对于B：，所以，B正确；
对于C：，所以，C不正确；
对于D：，所以，由C知，D不正确.
故答案为：B，D.
【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模，逐项计算判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由 ，解得 ，A符合题意；
体重不低于60千克的频率为 ，
所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为 人，B不符合题意；
100名学生体重的众数约为 ，C符合题意；
因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在 ， 的频率为 ，
所以计该校学生体重的 分位数约为 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由分位数的计算方法求解，即可判断选项D.
11．【答案】A,C
【知识点】收集数据的方法；进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：设抽查的5个险种参保客户的总人数为，
A选项，从扇形统计图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确；
D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误.
B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于，54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为，由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误；
C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确；
故答案为：A，C.
【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；D选项，从扇形统计图可得到D错误；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确.
12．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】在正方体中，以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
，
对于A，棱DC中点，棱中点，，
，则，即，A符合题意；
对于B，，，则，即，B符合题意；
对于C，平面，，
，设平面的一个法向量，
于是得，令，得，则点E到平面的距离d为：
，而，，
，，C符合题意；
对于D，取中点G，连，则，，点E不在直线上，
则，又，从而有等腰梯形是平面截正方体的截面，
等腰梯形的高，其面积，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，并代入到数量积的坐标公式计算出垂直关系由此判断出选项A、B的正误；再由等体积法代入数值计算出结果从而判断出选项C正确；结合正方体的几何性质利用中点的性质，由梯形的几何性质代入数值计算出结果由此判断出选项D错误，从而得出答案。
13．【答案】5
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：根据复数乘除运算得，所以的虚部为5.
故答案为：5.
【分析】根据复数乘除运算求出，即可得解.
14．【答案】100
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：分层抽样的抽取比例为 ，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000× =100．
故答案为100．
【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．
15．【答案】0.38
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
故答案为：0.38.
【分析】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，可得A＋B即为两地恰有一地降雨。再由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)即可求解。
16．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：过点作直线的平行线，分别交直线，于点，则平面，易得，因为平面，平面，，所以平面平面，则平面，又因为平面平面，所以，又因为为棱的中点，所以分别为，的中点，故在线段上，因，所以，所以线段的长度取值范围为.
故所以故答案为：.
【分析】过点作直线的平行线，分别交直线，于点，由面面平行的判定定理和性质确定点的位置，从而求长度的取值范围即可.
17．【答案】（1）解：，
.
（2）解：，，即，即，
，又，所以与的夹角为.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）先计算出，从而模长公式求解即可；
（2）根据向量垂直得到，得到，进而利用向量夹角余弦公式进行求解，得到 与的夹角为.
18．【答案】（1）解：由，得.
（2）解：平均数为（岁）.
设中位数为，则，解得.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积之和等于1即可求出；
（2）根据平均数和中位数公式即可求得解.
19．【答案】（1）解：苹果的重量在的频率为；
（2）解：）重量在的有（个）；
（3）解：设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为；
从中任取两个，可能的情况有：共6种，
设任取个，重量在和中各有个的事件为，则事件包含有共3种，
所以.
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据重量在的频数除以总数，可得频率为 ；
（2）利用抽取的总数乘以该层所占的比例可求得结果；
（3） 设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为； 然后用有序数对表示出任取两个的所有可能结果，最后分析所有可能结果求解出目标事件的概率.
20．【答案】（1）解：如图所示：
，
连接BD与AC交于点O，
因为O，E为为中点，
所以 ,又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：由（1）知 ，则 异面直线 与 所成的角，
在正方体 中，
因为 ，且 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，
设正方体的棱长为a,则 ， ，
所以 ，
所以 ，
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】 (1)根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）连结OB1，EB1，由勾股定理得出OB1⊥OE，由AB1=B1C得出OB1⊥AC，于是OB1⊥平面ACE，从而平面EAC⊥平面AB1C。
21．【答案】（1）解：由正弦定理，得bsinA＝asinB，得，
又∵B为△ABC的一个内角，∴B∈（0，π），∴或；
（2）解：∵△ABC为锐角三角形：，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，所以24＝4c2+c2﹣2c2，
得（负值舍去），．∴．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，进而可求或；
（2）由已知结合余弦定理可求得，，然后结合三角形面积公式求解即可．
22．【答案】（1）解：证明：连接，
因为平面，平面，所以，因为，，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）解：因为，，所以，即，因为平面，平面，
所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，
因为平面，平面，故，因为，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，
所以，
因为
所以，所以，
因为平面，
所以为直线与平面所成角，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦为
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接 ，由平面，可得，退出平面 ，从而有，结合已知条件可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）由已知可得平面平面 ，结合已知条件可得二面角的余弦值为 ，为二面角的平面角， 所以 ，求出，，再由平面 ，可得 为直线与平面所成角， 从而可求，即可得解.
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