第一章1.2 集合的基本关系
A级 必备知识基础练
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则 ( )
A.A B B.C B C.D C D.A D
2.(多选题)下列说法错误的是( )
A.空集没有子集
B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若 A,则A≠
3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B A成立的实数a的值是( )
A.-1 B.0
C.1 D.-1或1
4.(多选题)满足{0,2,4} A {0,1,2,3,4}的集合A可以为( )
A.{0,2,4} B.{0,1,3,4}
C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4}
5.已知集合A={x|x2=4}.①2 A;②{-2}∈A;③ A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A.
则上述式子表示正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知集合A={x|=a},当A为非空集合时,实数a的取值范围是 .
7.集合{x∈N+|1
B级 关键能力提升练
8.(多选题)已知集合A={x|ax≤2},B={2, },若B A,则实数a的值可能是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
9.已知集合M={x|-A.P={-3,0,1}
B.Q={-1,0,1,2}
C.T={y|-πD.S={x||x|≤,x∈Z}
10.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B A,则实数a的取值范围是 .
11.已知集合A=xx=(2k+1),k∈±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .
12.已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求a,b的值.
C级 学科素养创新练
13.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算※,法则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是 ( )
A.27-1 B.211-1
C.213-1 D.214-1
参考答案
1.2 集合的基本关系
1.B 正方形是邻边相等的矩形.
2.ABC A错,空集的子集为空集;B错, 只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.
3.A 由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.
又B A,∴a=-1,a2=1.
4.AC 根据集合间的包含关系可知,A可以为{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,2,4}.
5.C ∵A={x|x2=4}={-2,2},故④正确;2∈A,故①错误;-2∈A,故⑤正确;{-2} A,故②错误; A,故③正确.所以正确的有3个.故选C.
6.[0,+∞) 要使集合A为非空集合,则方程=a有解,故只须a≥0.
7.14 因为{x∈N+|1所以其非空真子集的个数为24-2=14.
8.ABC 因为B A,所以2∈A,A,
即解得a≤1.满足题意的选项为ABC.
9.D 集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3 M,集合Q中的元素2 M,集合T中的元素-3 M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S M.
10.(-∞,1] 若B= ,则2a-1若B≠ ,则a-1≤2a-1,即a≥0.
要使B A,需满足解得0≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].
11.A=B 对于集合A,当k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时,x=(4n-2+1)=,n∈Z,
所以集合A={x|x=,n∈Z}.
由B={x|x=,k∈Z},可知A=B.
12.解 因为A=B,则
①若b=1+a,b2=1+2a,
则(1+a)2=1+2a,解得a=0.
则A中三个元素都是1,不符合集合元素的互异性,舍去.
②若b=1+2a,b2=1+a,
则(1+2a)2=1+a,
即4a2+3a=0,解得a=0或a=-
由①知a=0不成立,
当a=-时,b=1+2a=-,此时A=B=
13.C 由题意,当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;
当m,n不全为正奇数时,m※n=mn;
若a,b都是正奇数,则由a※b=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对有(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个;
若a,b不全为正奇数,则由a※b=16,可得ab=16,则符合条件的数对有(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),共5个.
故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}中的元素个数是13,
所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是213-1.(共39张PPT)
第一章
1.2 集合的基本关系
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.会判断两个集合间的基本关系.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
2.子集
概念 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B.那么称集合A是集合B的子集
符号表示 ,读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图形表示
性质 ①任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
② 是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有 A.
③对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C
表示所有的意思
A B(或B A)
空集
名师点睛
1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
2.用Venn图表示集合的优点是能够直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
过关自诊
1.符号“∈”与符号“ ”表示的含义相同吗
2.[人教A版教材习题]写出集合{a,b,c}的所有子集.
解 不相同,“∈”表示的是元素与集合之间的关系,“ ”表示的是两个集合之间的关系.
解 ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.
3.[人教A版教材习题]举出下列各集合的一个子集:
(1)A={x|x是某中学的学生};
(2)B={x|x是三角形};
(3)C={0};
(4)D={x∈Z|3解 (1){x|x是某中学的女生};
(2){x|x是直角三角形};
(3){0};(4){4,5,6}.(答案不唯一)
知识点2 集合相等
概念 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等
符号表示 若A B,且B A,则
图形表示
名师点睛
1.因为A B,所以集合A中的元素都是集合B中的元素;又因为B A,所以集合B中的元素也都是集合A中的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B中的元素是完全相同的.
2.证明或判断两个集合相等,只需证A B与B A同时成立即可.
A=B
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)相等集合中的元素一定是有限的.( )
(2){0}= .( )
(3)若集合A=B,则A B且B A.( )
2.已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 .
×
×
√
0
解析 由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时集合B不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
知识点3 真子集
概念 对于两个集合A与B,如果 ,且 ,那么称集合A是集合B的真子集
符号表示 A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图形表示
性质 ①任何一个集合都不是它本身的真子集.
②空集是任何非空集合的真子集.
③对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C
A B
A≠B
名师点睛
1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A B;
②存在元素x,满足x∈B,且x A.
2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,集合B一定不是集合A的子集.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]判断下列两个集合之间的关系:
(1)A={x|x<0},B={x|x<1};
(2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N};
(3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}.
解 (1)A B.
(2)B A.
(3)A=B.
2.[人教A版教材习题]指出下列各集合之间的关系,并用Venn图表示:
A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
解 (1)A B.(2)B A.(3)A=B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 写出给定集合的子集
【例1】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
解 集合{a,b,c,d}所有的子集为:
不含任何元素的子集为 ;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.
其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
(2)填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少
1
,{a}
2
,{a},{b},{a,b}
4
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
规律方法 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
变式训练1已知集合M满足{1,2} M {1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有
个.
7
解析 根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2} M {1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7},共7个.
探究点二 集合之间关系的判断
【例2】 (1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )
A.A B B.A=B
C.B A D.B A
A
解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A B.
A B
规律方法 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
A B=C
∵当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,∴A B=C.
探究点三 集合相等关系的应用
【例3】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
规律方法 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
C
探究点四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】 已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
解 (1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B A.
(2)当B= 时,2a-3≥a-2,解得a≥1.
当B≠ 时,2a-3又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1).
综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).
变式探究(1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A B 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3解 (1)不存在.因为A={x|-5(2)①当B= 时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠ 时,2a-3由已知B A,则2a-3≥2,或a-2≤-5,
解得 ,或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥1,或a≤-3}.
规律方法 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心
点表示,不含“=”用空心圈表示.
(2)涉及“A B”或“A B,且B≠ ”的问题,一定要分A= 和A≠ 两种情况进行讨论,其中A= 的情况容易被忽略,应引起重视.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)子集、集合相等、真子集的概念;
(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题;
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:易忽略对集合是否为空集的讨论;求参数范围时,端点值能否取到容易出现误判.
成果验收·课堂达标检测
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1.集合{x,y}的子集个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D
解析 (方法一)集合{x,y}的子集有 ,{x},{y},{x,y},共有4个.
(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
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2.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是( )
A.{2,4,5}
B.{1,2,5}
C.{1,6}
D.{1,3}
D
解析 由图可知B A,∵A={1,2,3},∴由选项可知{1,3} A,故选D.
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3.(多选题)已知集合A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是( )
A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2}
AC
解析 由题意知A {1,8},故选AC.
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4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x= ,y= .
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解析 ∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
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5.已知集合P={x|-2解 Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},
由P Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].(共15张PPT)
第一章
1.2 集合的基本关系
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A 级 必备知识基础练
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A B B.C B C.D C D.A D
B
解析 正方形是邻边相等的矩形.
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2.(多选题)下列说法错误的是( )
A.空集没有子集
B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若 A,则A≠
ABC
解析 A错,空集的子集为空集;B错, 只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.
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3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B A成立的实数a的值是( )
A.-1 B.0
C.1 D.-1或1
A
解析 由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.
又B A,∴a=-1,a2=1.
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4.(多选题)满足{0,2,4} A {0,1,2,3,4}的集合A可以为( )
A.{0,2,4} B.{0,1,3,4}
C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4}
AC
解析 根据集合间的包含关系可知,A可以为{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,2,4}.
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5.已知集合A={x|x2=4}.①2 A;②{-2}∈A;③ A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A.
则上述式子表示正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 ∵A={x|x2=4}={-2,2},故④正确;2∈A,故①错误;-2∈A,故⑤正确; {-2} A,故②错误; A,故③正确.所以正确的有3个.故选C.
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6.已知集合A={x| =a},当A为非空集合时,实数a的取值范围是 .
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解析 要使集合A为非空集合,则方程 =a有解,故只须a≥0.
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7.集合{x∈N+|114
解析 因为{x∈N+|1所以其非空真子集的个数为24-2=14.
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8.(多选题)已知集合A={x|ax≤2},B={2, },若B A,则实数a的值可能是
( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
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9.已知集合M={x|- ( )
A.P={-3,0,1}
B.Q={-1,0,1,2}
C.T={y|-πD.S={x||x|≤ ,x∈Z}
D
解析 集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3 M,集合Q中的元素2 M,集合T中的元素-3 M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S M.
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10.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B A,则实数a的取值范围是 .
(-∞,1]
解析 若B= ,则2a-1若B≠ ,则a-1≤2a-1,即a≥0.
要使B A,需满足 解得0≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].
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12.已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求a,b的值.
①若b=1+a,b2=1+2a,则(1+a)2=1+2a,解得a=0.
则A中三个元素都是1,不符合集合元素的互异性,舍去.
②若b=1+2a,b2=1+a,则(1+2a)2=1+a,
即4a2+3a=0,解得a=0或a=
由①知a=0不成立,
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C 级 学科素养创新练
13.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算※,法则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是( )
A.27-1 B.211-1
C.213-1 D.214-1
C
解析 由题意,当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;
当m,n不全为正奇数时,m※n=mn;
若a,b都是正奇数,则由a※b=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对有(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个;
若a,b不全为正奇数,则由a※b=16,可得ab=16,则符合条件的数对有(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),共5个.
故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}中的元素个数是13,
所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是213-1.
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