第一章3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
A级 必备知识基础练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
2.已知0
A. B. C. D.
3.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是( )
A.0< B.<2
C.≥1 D.
4.[2023宁夏中卫市期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为 .
5.已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a= .
6.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.
B级 关键能力提升练
7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.(a>0,b>0)
B.(a>0,b>0,a≠b)
C.(a>0,b>0)
D.(a>0,b>0,a≠b)
8.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是( )
A. x∈R,且x≠0,有x+≥2
B. x∈R,使得x2+1≤2x
C.若x>0,y>0,则
D.若x>0,y>0,且x+y=18,则 的最大值为9
9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是 ,的最小值是 .
C级 学科素养创新练
10.若a>b,且ab=2,求证:≥4.
参考答案
3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1.D ∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.
2.B ∵00.
∴x(1-x),当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.
3.CD =2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误;
∵022=1,故C正确;
a2+b2=8,当且仅当a=b时,等号成立,
,故D正确.故选CD.
4.25 由已知可得x+y=10≥2,解得xy≤25,
当且仅当x=y=5时,取等号,此时xy的最大值为25.
5.36 由基本不等式,得4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36.
6.证明∵a>0,b>0,
+b≥2=2a,+a≥2=2b,
+b++a≥2a+2b,
a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
7.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,易得DC=,DE=,
∵DE(a>0,b>0,a≠b).故选D.
8.BCD 对于A,当x<0时,不等式不成立,故A是假命题;对于B,当x=1时,不等式成立,故B是真命题;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y时等号成立,故C是真命题;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,
9,故D是真命题.故选BCD.
9.2 因为x+2y≥2,所以4≥2,即得xy≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xy的最大值是2;因为=((5+)(5+2)=,当且仅当x=y时取等号,所以的最小值是
10.证明=(a-b)+2=4,当且仅当a=1+,b=-1+或a=1-,b=-1-时,等号成立.所以4.第一章第2课时 习题课 基本不等式的应用
A级 必备知识基础练
1.下列函数中最小值为4的函数是( )
A.y=x+ B.y=2t+
C.y=4t+(t>0) D.y=t+
2.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.9 B.12
C.16 D.10
3.(-6≤a≤3)的最大值为( )
A.9 B.
C.3 D.
4.(多选题)一个矩形的周长为L,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,L)的是( )
A.(1,4) B.(6,8)
C.(7,12) D.3,
5.若关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 .
B级 关键能力提升练
6.当x<时,函数y=4x-2+的最大值是( )
A.1 B.2
C.3 D.
7.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是( )
A.xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为
C.的最小值为4
D.的最小值为4
8.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是 ,a+b的最小值是 .
9.求函数y=x+中y的取值范围.
C级 学科素养创新练
10.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
参考答案
第2课时 习题课 基本不等式的应用
1.C A中,当x=-1时,y=-5<4,故A错误;B中,当t=-1时,y=-3<4,故B错误;C中t>0,则y=4t+2=4,当且仅当t=时,等号成立,故C正确;D中,当t=-1时,y=-2<4,故D错误.故选C.
2.C 因为a>0,b>0,所以a+4b>0,
所以不等式恒成立可转化为()·(a+4b)≥m恒成立,即[()(a+4b)]min≥m,
因为()(a+4b)=8+8+2=16,当且仅当a=4b时取等号,所以16≥m,即m的最大值为16.
3.B ∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,
由基本不等式,得,当且仅当a=-时取得等号.
4.AC 设矩形的长、宽分别为a,b,由题意L=2(a+b),S=ab,∴L=2(a+b)≥4=4,即L≥4,当且仅当a=b时,等号成立,显然A,C符合.故选AC.
5.1 关于x的不等式x+5在x∈(a,+∞)上恒成立,即为x-a+5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值为1.
6.A 由题意,x<,则5-4x>0,>0,则y=4x-2+=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,
所以当x<时,函数y=4x-2+的最大值为1.
故选A.
7.ABC xy=2xy()2=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故A正确;
4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy,则4x2+y2=1-4xy≥1-4,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故B正确;
=()(2x+y)=2+2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故C正确;
=()(2x+y)=+2,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故D错误.故选ABC.
8 1+ 由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥2
即32,
所以ab(当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号),所以ab的最小值为
由a+2b-3ab=0,可知=3,
所以a+b=()=(3+)(3+2)=1+
当且仅当,即a=,b=时取等号,
所以a+b的最小值为1+
9.解当x>1时,y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,y取得最小值,为3;
当x<1时,y=-[(1-x)+]+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时,y取得最大值,为-1.
故函数y=x+中y的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
10.解(1)设甲工程队的总造价为y元,
则y=3(150×2x+400)+7200=900(x+)+7200(2≤x≤6),
900(x+)+7200≥900×2+7200=14400.
当且仅当x=,即x=4时,等号成立.
即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.
(2)由题意可得,900(x+)+7200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即,
∴a<=(x+1)++6,
又x+1++6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
∴a的取值范围为(0,12).