2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
A级 必备知识基础练
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
2.设a∈R,则“a>”是“a2>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
3.[2023上海普陀区期末]设p:x<5,q:x<6,那么p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
4.下列不等式:
①x<;②0
其中可以作为x2<2的一个充分条件的所有序号为 .
B级 关键能力提升练
5.命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
6.在下列电路图中,分别指出开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:
①中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
②中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
③中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
④中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件.
C级 学科素养创新练
7.求“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件.
参考答案
§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
1.B 由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
2.A 当a>时,有a2>2成立.当a2>2时,a>不一定成立,如a=-3时,满足a2>2,但a>不成立.所以“a>是“a2>2”的充分不必要条件.故选A.
3.A x<5能推出x<6,充分性成立;x<6不能推出x<5,必要性不成立,故p是q成立的充分不必要条件.故选A.
4.②③④ 由x2<2,得-5.C 若a>b,则a+c>b+c,所以命题p可以得出命题q成立;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以命题q可以得出命题p成立.
所以p是q的充要条件.
故选C.
6.①充要 ②必要不充分 ③既不充分也不必要的 ④充分不必要 ①开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;②仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;③开关A不起作用,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要的条件;④开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只需开关A或C闭合,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
7.解设x1,x2为关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0的两个不相等的正实根,
则
解得所以2因此“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件是“2A级 必备知识基础练
1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
2.若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)
3.已知集合A={x|a-2A.0≤a≤2 B.-2C.04.已知p:-15.求证:“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
B级 关键能力提升练
6.设x,y∈R,则“xA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
7.已知p:|x|0),q:-18.已知p:00),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要的条件,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
9.已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.
参考答案
第2课时 习题课 充分条件与必要条件
的综合应用
1.B 由(2x-1)x=0得x=0或x=,故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.故选B.
2.A 由x-1≤1,得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.
3.A 由A∩B= ,得故0≤a≤2.
4.(2,+∞) 由题意,命题p:-13,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
5.证明(充分性)
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,
则x1x2=<0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
(必要性)
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0.
综上可知,“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
6.B 当y=0时,由x由(x-y)·y2<0,得x-y<0,则x故“x7.(-∞,2] [3,+∞) p:-a所以故a≤2.
若p是q的必要条件,则(-2,3) (-a,a),
所以则a≥3.
8.解由p解得-m由x(x-4)<0,得解得0若p是q的充分条件,则有解得m无解;
若p是q的必要条件,则有解得m≥2.
因此当p是q的既不充分也不必要的条件时,实数m的取值范围是(0,2).
9.证明(1)充分性
因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.
(2)必要性
因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,
而a2-ab+b2=(a-)2+,
又ab≠0,
所以a≠0且b≠0,
从而(a-)2≥0,且>0,
所以a2-ab+b2=(a-)2+>0,
所以a-b=0成立.
综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.