上海市宝山区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2023高二下·宝山期末）直线的倾斜角为
2．（2023高二下·宝山期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
3．（2023高二下·宝山期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 .
4．（2023高二下·宝山期末）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 .
5．（2023高二下·宝山期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （结果精确到0.1%）.
6．（2023高二下·宝山期末）若表示圆，则实数的值为 .
7．（2023高二下·宝山期末）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为 .
8．（2023高二下·宝山期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则 .
9．（2023高二下·宝山期末）已知数列的通项公式是，其前项的和为.设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是 .
10．（2023高二下·宝山期末）如图，记棱长为1的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，…，以此类推得到一系列的多面体，设的棱长为，则 .
11．（2023高二下·宝山期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
12．（2023高二下·宝山期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
二、单选题
13．（2023高二下·宝山期末）若，，则直线不经过第 象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
14．（2023高二下·宝山期末）已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．（2023高二下·宝山期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023高二下·宝山期末）已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
三、解答题
17．（2023高二下·宝山期末）已知直线，.
（1）若，求实数的值；
（2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
18．（2023高二下·宝山期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
（1）过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
（2）求曲线上的点到直线的最短距离.
19．（2023高二下·宝山期末）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：
（1）与所成角的大小；
（2）二面角的大小；
（3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由.
20．（2023高二下·宝山期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21．（2023高二下·宝山期末）已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，与轴交于点.
①若点是线段的中点，求点的轨迹方程；
②设直线与直线交于点，求证：为定值.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线与x轴垂直，由倾斜角的定义知， 直线的倾斜角为.
故答案为：.
【分析】直接利用倾斜角的定义可得答案.
2．【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】根据关于平面对称点的性质知， 点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：
【分析】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为
3．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】直线与向量垂直，所以是直线l的一个法向量，
设是直线l上任意一点，，是l的一个方向向量，
则，即，.
故答案为：.
【分析】设是直线l上任意一点，，是l的一个方向向量，利用即可得到直线方程.
4．【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题得，双曲线渐近线方程为，设渐近线的夹角为，
则，所以.
故答案为：
【分析】先由夹角公式得到渐近线夹角的正切值，再利用与的关系可得答案.
5．【答案】11.1%
【知识点】幂函数模型
【解析】【解答】设每次降价的百分比为，
则，解得，所以每次革新后成本下降的百分比是.
故答案为：.
【分析】设出每次降价的百分比，根据题意列出方程，解方程即可.
6．【答案】-2
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】由题意，，解得或，
当时，方程为，即，配方得，此时方程不表示圆；
当时，方程为，即，配方得，此时方程表示圆心为，半径为的圆.
故答案为：
【分析】方程若表示圆，的系数相等，且无交叉项，还需注意方程配方后右端需大于0.
7．【答案】（1，-2）
【知识点】恒过定点的直线；等差中项
【解析】【解答】由题意，， 直线 可化为，
即，由，得，所以定点坐标为，
故答案为：
【分析】先由等差数列的性质得到，代入直线方程得到关于的方程，分离出即可列方程组得到答案.
8．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】本题考查利用基底表示空间向量，利用，结合 、分别是、的中点即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】因为 ，
所以，
，因为数列是严格增数列，所以对恒成立，
即对恒成立，所以，.
故答案为：.
【分析】先利用裂项相消法得到，从而得到的通项，再利用是严格增数列，即对恒成立即可得到答案.
10．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，正方体各面中心为顶点的正八面体的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，
该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以，以各面的中心为顶点的正方体为，
正方体面对角线长等于棱长的，所以对角线长，，以此类推，
，，，所以各项为，奇数项是首项为1，公比为的等比数列，偶数项是为首项，为公比的等比数列，
所以， .
故答案为：.
【分析】根据条件先求出，再得到，利用归纳法得到奇数项和偶数项分别成等比数列，然后求和即可得到答案.
11．【答案】4
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知，，，， ，
所以
，当时等号成立，
所以， 的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】遇模平方，先求出的表达式，然后配方即可求得其最小值，最后开方得到 的最小值.
12．【答案】①②④
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】对于 ① 如图，连接AF1，AF2，BF1，BF2，易得，AO=BO，所以四边形是平行四边形，故①正确；
对于②，设，有对称性有，因为轴，所以，，故②正确；
对于③，若，则，所以是直角三角形，，
又，所以，，所以四边形的面积为，③错误；
对于④，若为正三角形，则，，由得，所以，故④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用对称性结合平行四边形性质可判断 ①；设，则有，，利用斜率公式计算可判断②；由已知得到是直角三角形，结合椭圆定义可得到的面积，进一步的判断③；由已知得到，，结合椭圆定义可得到关于的方程，进一步得到离心率可判断 .
13．【答案】D
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】由题可知均不为0，直线的斜率，截距，
所以直线经过第一、二、三象限，不过第四象限.
故答案为：D
【分析】将直线写成斜截式，再由已知条件分析可得答案.
14．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为三向量共面，所以存在唯一有序数对，使得，
所以，即，
解得.
故答案为：D
【分析】利用空间共面向量定理，列出方程组即可得到答案.
15．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，
可变形为，所以曲线表示一个半圆，半圆的圆心为(2，0)，半径为1，直线恒过(0，-1)，
当直线过(1，0)时，k=1，
当直线与半圆相切时，，解得或k=0（舍），
数形结合可得.
故答案为：B
【分析】首先确定曲线表示的图形，再数形结合求出临界状态时直线的斜率是解决本题的关键.
16．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设b在内的射影为l，b到的距离为d，以a与l交点O为原点，a为x轴，l为y轴，a与l的公垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意，，
所以，所以点的轨迹是双曲线.
故答案为：C.
【分析】设b在内的射影为l，以a与l交点O为原点，a为x轴，l为y轴，a与l的公垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设出P的坐标，再利用已知关系化简可得点的轨迹方程.
17．【答案】（1）解：直线，．
则，解得或，
当时，，，则直线，重合，不符合题意；
当时，，，则直线，不重合，符合题意，
故.
（2）解：当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，
满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
当时直线，显然不符合题意，
综上所述，或．
【知识点】直线的斜截式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【分析】(1)由得到，解得m再进行检验即可；
（2）分截距等于0和不等于0两种情况讨论即可.
18．【答案】（1）解：已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）解：不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先利用抛物线的定义得到曲线C的方程，再由直线方程和曲线方程联立，结合过焦点的弦长公式即可得到结果；
（2） 设抛物线上任意点，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，再利用二次函数的性质得到其最值.
19．【答案】（1）解：在正方体中，令，
以点D为原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设与所成角为，，
所以与所成角的大小是.
（2）解：平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，
则，令，得，
设的夹角为，，而二面角为锐二面角，
所以二面角大小为.
（3）解：设，则，平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，即，
所以当，即点是线段靠近点的三等分点时，与平面所成角的的正弦值为
【知识点】异面直线；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）以点D为原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，算出的坐标，利用异面直线所成角的向量公式可得结果；
（2）易得平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量， 算出，再判断二面角是锐角即可得到答案；
（3）由题设，设与平面所成角为，易得平面的一个法向量为，利用为计算得到y，从而确定出M的位置.
20．【答案】（1）解：因为，当，，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，显然a1也满足；
设等差数列的公差为，由，，
可得，解得，
所以；
（2）解：由（1）可得，
又，
则
所以
，
其中
，
则
，，
所以，，
显然是递增数列，，，所以不存在正整数，使得．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）将该写成，进一步结合等比数列的通项公式即可求出，求直接利用基本量的办法即可；
（2）先化简得到 则，先利用分组求和以及错位相减法求出，利用求出，然后再判断是否成立即可.
21．【答案】（1）解：依题意，，由点在上得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：①由（1）知，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去y得，设，
于是，设线段的中点，
则，，
当时，两式相除得，代入上式化简得，
当时，线段的中点的坐标满足上述方程，
所以的轨迹方程为(除去点)；
②由直线的方程，得点，当时，，不符合题意，
因此，当点异于、点时，设，
由，，三点共线，得，由，，三点共线，得，而，
两式相除得
，
解得，从而，为定值，
当点与点重合时，，满足，
当点与点重合时，，满足，
所以为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦距以及椭圆过点，列出方程组，解出即可得到答案；
（2）①易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到， 设线段的中点， 利用中点坐标公式得到，，消去k即可得到Q的轨迹方程；
② 依题可得点，设，则， 当点异于、点时，由，，三点共线，得，由，，三点共线，得， 两式相除结合韦达定理可得到，从而得到，在讨论 当点与点（B点）重合时的情况，从而得到证明.
1 / 1上海市宝山区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2023高二下·宝山期末）直线的倾斜角为
【答案】
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线与x轴垂直，由倾斜角的定义知， 直线的倾斜角为.
故答案为：.
【分析】直接利用倾斜角的定义可得答案.
2．（2023高二下·宝山期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
【答案】
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】根据关于平面对称点的性质知， 点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：
【分析】 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为
3．（2023高二下·宝山期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】直线与向量垂直，所以是直线l的一个法向量，
设是直线l上任意一点，，是l的一个方向向量，
则，即，.
故答案为：.
【分析】设是直线l上任意一点，，是l的一个方向向量，利用即可得到直线方程.
4．（2023高二下·宝山期末）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题得，双曲线渐近线方程为，设渐近线的夹角为，
则，所以.
故答案为：
【分析】先由夹角公式得到渐近线夹角的正切值，再利用与的关系可得答案.
5．（2023高二下·宝山期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （结果精确到0.1%）.
【答案】11.1%
【知识点】幂函数模型
【解析】【解答】设每次降价的百分比为，
则，解得，所以每次革新后成本下降的百分比是.
故答案为：.
【分析】设出每次降价的百分比，根据题意列出方程，解方程即可.
6．（2023高二下·宝山期末）若表示圆，则实数的值为 .
【答案】-2
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】由题意，，解得或，
当时，方程为，即，配方得，此时方程不表示圆；
当时，方程为，即，配方得，此时方程表示圆心为，半径为的圆.
故答案为：
【分析】方程若表示圆，的系数相等，且无交叉项，还需注意方程配方后右端需大于0.
7．（2023高二下·宝山期末）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】（1，-2）
【知识点】恒过定点的直线；等差中项
【解析】【解答】由题意，， 直线 可化为，
即，由，得，所以定点坐标为，
故答案为：
【分析】先由等差数列的性质得到，代入直线方程得到关于的方程，分离出即可列方程组得到答案.
8．（2023高二下·宝山期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则 .
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】本题考查利用基底表示空间向量，利用，结合 、分别是、的中点即可得到答案.
9．（2023高二下·宝山期末）已知数列的通项公式是，其前项的和为.设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】因为 ，
所以，
，因为数列是严格增数列，所以对恒成立，
即对恒成立，所以，.
故答案为：.
【分析】先利用裂项相消法得到，从而得到的通项，再利用是严格增数列，即对恒成立即可得到答案.
10．（2023高二下·宝山期末）如图，记棱长为1的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，…，以此类推得到一系列的多面体，设的棱长为，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，正方体各面中心为顶点的正八面体的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，
该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以，以各面的中心为顶点的正方体为，
正方体面对角线长等于棱长的，所以对角线长，，以此类推，
，，，所以各项为，奇数项是首项为1，公比为的等比数列，偶数项是为首项，为公比的等比数列，
所以， .
故答案为：.
【分析】根据条件先求出，再得到，利用归纳法得到奇数项和偶数项分别成等比数列，然后求和即可得到答案.
11．（2023高二下·宝山期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
【答案】4
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知，，，， ，
所以
，当时等号成立，
所以， 的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】遇模平方，先求出的表达式，然后配方即可求得其最小值，最后开方得到 的最小值.
12．（2023高二下·宝山期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】对于 ① 如图，连接AF1，AF2，BF1，BF2，易得，AO=BO，所以四边形是平行四边形，故①正确；
对于②，设，有对称性有，因为轴，所以，，故②正确；
对于③，若，则，所以是直角三角形，，
又，所以，，所以四边形的面积为，③错误；
对于④，若为正三角形，则，，由得，所以，故④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用对称性结合平行四边形性质可判断 ①；设，则有，，利用斜率公式计算可判断②；由已知得到是直角三角形，结合椭圆定义可得到的面积，进一步的判断③；由已知得到，，结合椭圆定义可得到关于的方程，进一步得到离心率可判断 .
二、单选题
13．（2023高二下·宝山期末）若，，则直线不经过第 象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】由题可知均不为0，直线的斜率，截距，
所以直线经过第一、二、三象限，不过第四象限.
故答案为：D
【分析】将直线写成斜截式，再由已知条件分析可得答案.
14．（2023高二下·宝山期末）已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为三向量共面，所以存在唯一有序数对，使得，
所以，即，
解得.
故答案为：D
【分析】利用空间共面向量定理，列出方程组即可得到答案.
15．（2023高二下·宝山期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，
可变形为，所以曲线表示一个半圆，半圆的圆心为(2，0)，半径为1，直线恒过(0，-1)，
当直线过(1，0)时，k=1，
当直线与半圆相切时，，解得或k=0（舍），
数形结合可得.
故答案为：B
【分析】首先确定曲线表示的图形，再数形结合求出临界状态时直线的斜率是解决本题的关键.
16．（2023高二下·宝山期末）已知空间直线、和平面满足：，，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设b在内的射影为l，b到的距离为d，以a与l交点O为原点，a为x轴，l为y轴，a与l的公垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意，，
所以，所以点的轨迹是双曲线.
故答案为：C.
【分析】设b在内的射影为l，以a与l交点O为原点，a为x轴，l为y轴，a与l的公垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设出P的坐标，再利用已知关系化简可得点的轨迹方程.
三、解答题
17．（2023高二下·宝山期末）已知直线，.
（1）若，求实数的值；
（2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
【答案】（1）解：直线，．
则，解得或，
当时，，，则直线，重合，不符合题意；
当时，，，则直线，不重合，符合题意，
故.
（2）解：当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，
满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
当时直线，显然不符合题意，
综上所述，或．
【知识点】直线的斜截式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【分析】(1)由得到，解得m再进行检验即可；
（2）分截距等于0和不等于0两种情况讨论即可.
18．（2023高二下·宝山期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
（1）过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
（2）求曲线上的点到直线的最短距离.
【答案】（1）解：已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）解：不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先利用抛物线的定义得到曲线C的方程，再由直线方程和曲线方程联立，结合过焦点的弦长公式即可得到结果；
（2） 设抛物线上任意点，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，再利用二次函数的性质得到其最值.
19．（2023高二下·宝山期末）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：
（1）与所成角的大小；
（2）二面角的大小；
（3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由.
【答案】（1）解：在正方体中，令，
以点D为原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设与所成角为，，
所以与所成角的大小是.
（2）解：平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，
则，令，得，
设的夹角为，，而二面角为锐二面角，
所以二面角大小为.
（3）解：设，则，平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，即，
所以当，即点是线段靠近点的三等分点时，与平面所成角的的正弦值为
【知识点】异面直线；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）以点D为原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，算出的坐标，利用异面直线所成角的向量公式可得结果；
（2）易得平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量， 算出，再判断二面角是锐角即可得到答案；
（3）由题设，设与平面所成角为，易得平面的一个法向量为，利用为计算得到y，从而确定出M的位置.
20．（2023高二下·宝山期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：因为，当，，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，显然a1也满足；
设等差数列的公差为，由，，
可得，解得，
所以；
（2）解：由（1）可得，
又，
则
所以
，
其中
，
则
，，
所以，，
显然是递增数列，，，所以不存在正整数，使得．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）将该写成，进一步结合等比数列的通项公式即可求出，求直接利用基本量的办法即可；
（2）先化简得到 则，先利用分组求和以及错位相减法求出，利用求出，然后再判断是否成立即可.
21．（2023高二下·宝山期末）已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，与轴交于点.
①若点是线段的中点，求点的轨迹方程；
②设直线与直线交于点，求证：为定值.
【答案】（1）解：依题意，，由点在上得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：①由（1）知，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去y得，设，
于是，设线段的中点，
则，，
当时，两式相除得，代入上式化简得，
当时，线段的中点的坐标满足上述方程，
所以的轨迹方程为(除去点)；
②由直线的方程，得点，当时，，不符合题意，
因此，当点异于、点时，设，
由，，三点共线，得，由，，三点共线，得，而，
两式相除得
，
解得，从而，为定值，
当点与点重合时，，满足，
当点与点重合时，，满足，
所以为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦距以及椭圆过点，列出方程组，解出即可得到答案；
（2）①易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到， 设线段的中点， 利用中点坐标公式得到，，消去k即可得到Q的轨迹方程；
② 依题可得点，设，则， 当点异于、点时，由，，三点共线，得，由，，三点共线，得， 两式相除结合韦达定理可得到，从而得到，在讨论 当点与点（B点）重合时的情况，从而得到证明.
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