3.1.1函数的概念 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
3.1.1
必修第一册
函数的概念
01
课前导入
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，大家还记得初中所学的函数的概念嘛？
1、初中函数定义：
如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x为自变量,y是x的函数。
回忆 在初中我们学习过哪些函数？
（1）一次函数
（2）正比例函数
（3）反比例函数
（4）二次函数
01
课前导入
要解决以上这些问题，我们就需要进一步学习函数的概念。在高中，我们要用更加精确的集合语言来定义函数。
思考 正方形的周长l与边长x有着什么样的对应关系？
追问2 这个函数与正比例函数y=4x相同吗？
追问3 你能用已有的函数知识判断y=x与y=x2/x是否相同吗？
02
新知讲授
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，都有唯一确定的路程S的值与之对应。
S=350t
追问2 根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km。你认为这个说法正确吗？
追问1 这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况。
错误原因是没有关注到t的变化范围。
02
新知讲授
t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}
追问3 大家认为如何表述s与t的对应关系才更加精确？
追问4 已知，对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应。我们如何用更加精确的集合语言来刻画这句话呢？
对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系S=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应。
A1={t|0≤t≤0.5}
S=350t
B1={S|0≤S≤175}
自变量的集合
函数值的集合
对应关系
02
新知讲授
问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，且每周付一次工资。
追问1 该怎样确定一个工人每周的工资？
对于任一个工作天数d，都有唯一确定的工资w和它对应，所以w是d的函数。
工资ω是一周工作天数d的函数，其对应关系是ω=350d
追问2 一个工人的工资ω(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
追问3 你能仿造问题1中S与t对应关系的精确表示，给出这个问题中ω和d对应关系的精确表示吗？
02
新知讲授
A2={1,2,3,4,5,6}
B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
自变量的集合
函数值的集合
对应关系
对应关系虽然相同，但是自变量的范围和函数值的范围不同。
d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}
ω的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
ω=350d
追问4 问题1中的S=350t与问题2中的ω=350d是否为同一函数？如果不是，请说明理由。
02
新知讲授
问题3 如图是北京市2016年11月23日的空间质量指数(AQI)变化图。
追问1 如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数的值I？
追问2 你能在图中找到中午12时的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？
02
新知讲授
追问3 你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I和t的对应关系吗？
t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}，I都在数集B3={I|0因此，这里的I是t的函数.
02
新知讲授
问题4 国际上常用恩格尔系数r（r=食物支出金额/总支出金额）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。该表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况.
追问1 你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？
追问2 请仿照前面的方法给出精确的集合语言刻画？
02
新知讲授
y的取值范围: A4={2006,2007,2008,2009,2011,2012,2013,2014,2015}
恩格尔系数r: B4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857}
表
追问3 如果我们引入B4={r|0对于数集A4中的任意一个年份y，根据表所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应。所以，r是y的函数。
02
新知讲授
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合
问题1 A1={t|0≤t≤0.5} S=350t B1={S|0≤S≤175}
问题2 A2={1,2,3,4,5,6} =350d B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
问题3 A3={t|0≤t≤24} B3={I|0问题4 A4={2006,2007,2008,2009,2011,2012,2013,2014,2015} B4={r|0B1
B2
C3 B3
C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857}
图
表
02
新知讲授
问题5 你能由表格分析上述问题1-问题4中的函数有哪些共同特征？并由此概括出函数概念的本质特征吗？
（1）都包含两个非空数集，用A,B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。
函数的概念:设A，B是非空的实数集，如果对于集合A内的任意一个数x，按照某种确定的关系f，在集合B中有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B上的一个函数（function），记作
y=f（x）, x∈A.
x：自变量
x的取值范围A: 函数的定义域
与x的值相对应的y值: 函数值
y的取值范围—函数值的集合{f(x)|x∈A}: 函数的值域（range）。
03
函数的概念
函数三要素：对应关系、定义域、值域。
判断 y=x与y=x2/x是否为同一函数？
说明：只要函数三要素中有一个要素不同，两个函数就不为同一函数。
思考：根据函数的定义，一个函数的构成要素是什么？
定义域、对应关系和值域.
判断两个函数是否为同一个函数：
值域是由定义域和对应关系所决定的.
03
相同函数
只需判断定义域与对应关系是否一致.
判断：以下两个函数是否为同一个函数？
（1）y=350x(x∈R), y=350x (x∈{1,2,3,4,5,6,7})
（2）u=t2(x∈R), y=x2(x∈R)
定义域不同
定义域、对应关系相同
例2 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数
定义域不同
对应关系不同
定义域不同
判断函数是否相同
f可以看作是对“x”施加的某种运算或法则,
例如： ，f 就是对自变量x求平方。
符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积,不同函数中的f表示的含义不一样。
03
函数的概念
思考 f 究竟是什么含义？
y=f（x）, x∈A
函数值
自变量
对应关系
定义域
思考：在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？
例如：
定义域为{1，2，3}，值域为{1，4，9}
值域是集合B的子集
03
函数的概念
03
函数的概念
问题6 如果让你用函数的定义重新认识正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数，你会怎么样来表述这些函数？
R
x≠0
R
1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x,y的值也不同
③ f(1)表示当x=1时函数f(x)的值，是一个常量
④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
B
巩固练习
2 下列可作为函数y= f (x)的图象的（ ）
　Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
D
巩固练习
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a{x|a≤x[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
04
区间与无穷大
设a,b 是两个实数，且a半开半闭区间
半开半闭区间
开区间
闭区间
定义 符号 数轴表示
{x|a≤x}
{x|a{x|x≤a}
{x|x[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
04
区间与无穷大
“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 实数集R可表示为(-∞,+∞)
例2 已知函数 ，
（1）求函数的定义域；
（2）求 的值；
（3）当a>0时，求f (a)，f (a-1)的值
求函数值
求定义域（具体函数）