11.1 与三角形有关的线段 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图所示，以BC为边的三角形共有
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
2．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲、乙两种分法均正确 D．甲、乙两种分法均错误
3．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．5，5，5 B．3，2，1 C．5，6，12 D．3，5，8
4．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）若三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）已知一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三条边的长度不能是（ ）
A．11 B．9 C．8 D．7
7．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ）
A．6cm的木条 B．8cm的木条 C．两根都可以 D．两根都不行
9．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）下列四个图形中，线段是中边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图：用一张长为4cm，宽3cm的长方形纸片，过两个顶点剪一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不可能实现的是（ ）
A．B．C． D．
11．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）已知为的中线，且，，则和的周长之差为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，连接BE、CE，若图中阴影部分的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
13．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，点为的和的平分线的交点，，，，将平移使某顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
14．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
15．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性
16．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
17．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
二、填空题
18．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 ．
19．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是
三、解答题
20．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，已知在中，，于点D，是的中线，，，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
21．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在中，，．
(1)若是整数，求的长．
(2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
22．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）在中，，；
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为11，求的周长．
23．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F．
(1)在△BEF中，请指出边EF上的高；
(2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积；
(3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长．
24．（2022春·河北石家庄·八年级期末）已知，，点B在x轴正半轴上，且.
(1)点B的坐标为___________；在如图所示的直角坐标系中出；
(2)若将平移后点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为___________；
(3)若在y轴上存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为12，求点P的坐标.
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．
2．A
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；
按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．
∴甲分法错误，乙分法正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．
3．A
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，据此逐一判断即可找到正确选项．
【详解】解：A、5，5，5满足三角形三边关系，符合题意；
B、3，2，1因为1＋2＝3，不满足三角形三边关系，不符合题意；
C、5，6，12因为5＋6＜12，不满足三角形三边关系，不符合题意；
D、3，5，8因为3＋5＝8不满足三角形三边关系，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握“任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是解题的关键．
4．C
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
【详解】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13；
只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
5．C
【分析】根据三角形三边关系，可以得到第三边的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和，
∴第三边的取值范围是大于且小于，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
6．A
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【详解】解：设第三边长为x，由三角形三边关系定理得：，即，
故第三条边的长度不能是11．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
7．C
【分析】设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
∴，，
在中，，
∴，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
8．B
【分析】利用三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，
如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，
而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
9．C
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：A、线段不是中边上的高，则此项不符合题意；
B、线段不是中边上的高，则此项不符合题意；
C、线段是中边上的高，则此项符合题意；
D、线段不是中边上的高，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是熟记三角形的高的概念：从三角形的一顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
10．D
【分析】运用所给三角形的三边长数据，结合高进行判定即可.
【详解】A选项，长度3边上的高在纸片上，可以实现；
B选项，长度3边上的高在纸片上，可以实现；
C选项，长方形对角线长5，可以实现；
D选项，高大于3，不在纸片上，不可能实现；
故选：D.
【点睛】此题主要考查长方形中三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
11．A
【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．
【详解】解：为中线，
，
与的周长之差，
，，
与的周长之差．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
12．D
【分析】根据三角形面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则，，，进而推出即可解答．
【详解】解：∵E为AD的中点，
∴，，
∵AD为BC边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
13．B
【分析】连接AI、BI，因为点I是∠A和∠B平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的角平分线的交点，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键．
14．D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
15．D
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
16．A
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A．
【点睛】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
17．C
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
18．4．
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
19．a＞5
【详解】因为 2<2<5，
所以a 2< a+2< a+5，
所以由三角形三边关系可得a 2+a+2>a+5，
解得a>5．
故答案为：a＞5
20．(1)4.8cm
(2)12cm2
(3)2cm
【分析】（1）运用等积法求解即可；
（2）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据题意分别列出和的周长，再求解即可．
【详解】（1）∵，是边上的高，
∴，
∴
（2）∵是直角三角形，，，，
∴．
又∵是边的中线
∴
∴，即．
∴．
∴的面积是．
（3）∵为边上的中线，
∴，
∴的周长的周长
，
即和的周长的差是．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21．(1)；
(2)三角形的周长为．
【分析】（1）根据三角形三边关系，得到不等式，求解即可；
（2）根据是的中线，，再根据的周长求解即可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
22．(1)8
(2)18
【分析】（1）根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，代入数值计算，再根据是整数，即可得到的长；
（2）由BD是△ABC的中线，可得AD=CD，再根据△ABD与△BCD之间有公共边这个关系，即可得到周长．
【详解】（1）由题意得，BC－AB＜AC＜BC+AB
所以7＜AC＜9
∵AC是整数，
∴AC=8
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD
∵△ABD的周长为11，
∴AB+AD+BD=11，
∵AB=1，
∴AD+BD=10
∴△BCD的周长=BC+AD+CD=8+10=18
【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系、三角形中线的性质，熟练应用上述知识点是解题的关键．
23．(1)边EF上的高是BF；
(2)S△ACD=10；
(3)△ABD的周长为m+a-n．
【分析】（1）根据三角形高的定义即可得出边EF上的高是BF；
（2）先求得△BDE的面积，然后根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△ABE=S△BDE=5，进一步得到S△ACD=S△ABD=10；
（3）利用三角形周长公式即可求得．
【详解】（1）解：∵EF⊥BC于点F，
∴边EF上的高是BF；
（2）解：∵BD=5，EF=2，
∴S△BDE=BD EF=5．
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE=S△BDE=5，
∴S△ABD=10．
同理可得，S△ACD=S△ABD=10；
（3）解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
∵△ACD的周长为a，
∴a=AD+CD+AC=AD+CD+n，
∴AD+CD=a-n，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=m+a-n．
【点睛】本题涉及到三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，难度适中．
24．(1)，图见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意即可得出．
（2）根据平移的性质即可解得．
（3）利用三角形面积公式列出求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
【详解】（1）∵，，点B在x轴正半轴上，
∴，
∴B的坐标为 ．
故答案为
如图；
（2）∵A平移到，
∴平移距离，，
∵，
∴即．
故答案为
（3）设点P到x轴的距离为h，则，解得，
所以点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，点沿x轴、y轴平移后的坐标．11.2 与三角形有关的角 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）有下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补；④有两个角是锐角的三角形是直角三角形．其中是真命题的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）下列命题中是假命题的（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°
C．三角形的一个外角等于两个内角之和
D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=240°，则∠A等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
5．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
6．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是的外角，求证：．
证法1：如图．
∵（三角形内角和定理）
又∵（平角定义）
∴（等量代换）
∴（等式性质）
证法2：如图，
∵，，
且（量角器测量所得）
又∵（计算所得）
∴（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
7．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，中，点E在边上，，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，是的平分线，为上一点，且于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
10．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形纸条的两条对边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
12．（2022秋·河北衡水·八年级期末）如图，是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使．根据图中数据信息，下列调整大小的方法正确的是（ ）
A．增大10° B．减小10° C．增大15° D．减小15°
13．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在中，，为边上的一点，点在边上，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．15° C．10° D．30°
二、填空题
14．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，则∠B= .
15．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 ．
16．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，是的边上的高，是的角平分线．
（1）若，，则的度数为 ．
（2）若，，用含、的代数式表示的度数= ．
17．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，一副三角板按如图放置，则∠DOC的度数为 ．
18．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
19．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图是某公司开发的可调整的躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为O，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减小”） 度．
20．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，D为边上的一点，点E在边上，，若，则的度数为 ．
21．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
三、解答题
22．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过B、C．
(1)若，则 °， °， °．
(2)若，则 °．
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系．
23．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）阅读并填空将三角尺（，）放置在上（点在内），如图1所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：
若，则＝______度；＝______度；
(2)类比探索：
、、的关系是_______________________；并说明理由．
(3)变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是____________________________；并说明理由．
24．（2022秋·河北保定·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
25．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）如图，已知在中，是的角平分线，是的高，与交于点，且，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
26．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，
研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．
27．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
参考答案：
1．C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．
2．C
【分析】根据对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①对顶角相等，原命题是真命题；
②两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，原命题是真命题；
④有两个角是锐角的三角形不一定是直角三角形，原命题是假命题；
∴真命题的个数有2个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
3．C
【分析】根据平行线的判定对A、D进行判断；根据三角形内角和定理对B进行判断；根据三角形外角性质对C进行判断．
【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以A选项为真命题；
B、三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°，所以B选项为真命题；
C、三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和，所以C选项为假命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，所以D选项为真命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
4．B
【分析】根据四边形内角和为360°，得∠B+∠C的度数，由三角形内角和为180°，得∠A度数.
【详解】∠B+∠C=360－（∠1+∠2）=120°，∠A=180°－（∠B+∠C）=60°.
【点睛】本题考查解三角形，解题的关键是利用多边形内角和的度数求几个角的和，不必单独求角.
5．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．
6．B
【分析】根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答．
【详解】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
B的说法正确，符合题意；
C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意，
综上，B的说法正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键．
7．C
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DCE的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AED的度数．
【详解】解：∵，
∴∠DCE=∠A=68°，
∴∠AED=∠DCE+∠D=68°+52°=120°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及平行线的性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．A
【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】∵EF⊥BC，∠DEF=15°，
∴∠ADB=90°-15°=75°．
∵∠C=35°，
∴∠CAD=75°-35°=40°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠CAD=80°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°．
故选：A．
【点睛】考查了三角形内角和定理及外角的性质，解题关键是熟知三角形内角和是180°．
9．A
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【详解】解：由三角形的外角性质可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
10．D
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠3＝∠2＝50°，再根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1＋30°，进而得出∠1＝50° 30°＝20°．
【详解】解：如图，∵长方形纸条的对边平行，∠2＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°，
根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1＋30°，
∴∠1＝50° 30°＝20°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
11．A
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM ∠CBP=50° 20°=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
12．B
【分析】延长，交于点，根据三角形的内角和定理以及对顶角相等可得∠ECD = ∠ACB = 70°，根据三角形的外角性质可得∠DGF = 100°，根据已知条件和三角形的外角性质即可求得∠D= 10°，进而即可求得答案．
【详解】如图，延长，交于点，
∵∠ACB = 180°-50° –60° = 70°
∴∠ECD = ∠ACB = 70°
∵∠DGF = ∠DCE ＋∠E
∴∠DGF = 70° + 30° = 100°
∵∠EFD= 110°,
∠EFD = LDGF ＋ ∠D
∴∠D= 10°
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°
故选B
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质，掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
13．A
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．
【详解】解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴∠BAD=2∠EDC，
∵
∴∠BAD=20°；
故选：A
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
14．65°
【分析】首先根据三角形的内角和求出,再结合已知条件求出；
【详解】
又
故答案是：.
【点睛】本题主要考查三角形的内角和为，熟记这一特点是解决本题的关键.
15．三角形的内角和是180°
【详解】根据折叠的性质，折叠前后的两个角相等，即∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，根据把三角形的三个角转化为一个平角∠1+∠2+∠3=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因此这个定理为：三角形的内角和是180°．
故答案为三角形的内角和是180°．
点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
16． 13° （β－α）
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE=∠BAD-∠BAE计算即可得解；
（2）根据（1）的思路，把度数换为α、β，整理即可得解．
【详解】解：（1）∵∠B=47°，∠C=73°，
∴∠BAC=180°-47°-73°=60°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠BAD=90°-47°=43°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=30°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=43°-30°=13°；
（2）∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠BAD=90°-α°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=（180°-α°-β°），
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α°-（180°-α°-β°）
=90°-α°-90°+α°+β°
=（β-α）°．
故答案为：（1）13°；（2）（β-α）°．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的内角和定理，仔细分析图形，观察出∠DAE=∠BAD-∠BAE，然后分别表示出∠BAD与∠BAE是解题的关键．
17．
【分析】根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，从而得到∠OCD=15°，再由再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，
∴∠OCD=∠ACD-∠ACB=15°，
∴∠DOC=90°-∠OCD=75°．
故答案为：75°
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，根据题意得到∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°是解题的关键．
18．100°
【详解】分析：直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
详解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为100°
点睛：此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
19． 减小
【分析】延长交于F，求出，利用外角的性质即可求出的度数，进而得到答案．
【详解】延长交于F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的外角，
∴，
∴，
∵原来是，
∴图中应减小．
故答案为：减小，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出角度之间的关系是解题的关键
20．15°/15度
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+30°，∠AED=∠C+∠CDE，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．
【详解】∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+30°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠CDE=∠ADC ∠CDE=∠B+30° ∠CDE，
即2∠CDE=30°，
解得∠CDE=15°.
故答案为：15°.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质.
21． 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
22．(1)140；90；50
(2)35
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，进而整理可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得，，进而整理可求出的度数；
（3）根据三角形内角和定理有，整理得．
【详解】（1）解：∵在中，，
，
∵在中，，
，
．
故答案为：140；90；50．
（2）解：∵在中，，
，
∵在中，，
，
．
故答案为：35．
（3）解：与之间的数量关系为：．证明如下：
在中，，
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．
23．(1)90，40
(2)
(3)
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，三角形内角和等于，即可得出答案；
（2）根据直角三角形两锐角互余，三角形内角和等于，即可得出答案；
（3）根据直角三角形两锐角互余，三角形内角和等于，对顶角相等，即可得出答案；
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：90，40．
（2）结论：．
证明：∵
∴
∴
∴
故答案为：．
（3）结论：
证明：设交于，如图：
∵
∴，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和、对顶角的知识，熟练掌握三角形内角和的关系是解题的关键．
24．(1) 65°；(2) 25°
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
25．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求解的度数，利用角平分线的定义可求解的度数；
（2）结合三角形的高线，利用三角形外角的性质可求解的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴．
（2）∵是的高，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解的度数是解题的关键．
26．（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析
【分析】（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A；
（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；
根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，
∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，
∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，
理由：如图3，DA′交AC于点F，
∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可．
27．（1）∠AOC＝∠ODC，理由见解析；（2）①见解析；②70°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝（180° ∠ABC），∠OBC＝∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论；
（2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90° ∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90° ∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE＝（∠BAC＋∠ACB），∠FCB＝ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）∠AOC＝∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC＝∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠ODC＝90°+∠OBD，
∴∠AOC＝∠ODC；
（2）①∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB＝∠ACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC，
∵∠F＝35°，
∴∠BAC＝2∠F＝70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．11.3 多边形及其内角和 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）要使如图的六边形框架形状稳定，至少需要添加对角线的条数是( )
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成10个三角形，则n的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）下列多边形中，内角和为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北唐山·八年级期末）如图，六边形中，，，，，，则 ∠F等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·河北保定·八年级统考期末）下列角度不是多边形内角和的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）一个多边形边数每增加1条时，其内角和（ ）
A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定
7．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（ ）
A． B． C． D．1440
8．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）下列说法中，正确的个数有（ ）
①若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为4；
②三角形的高相交于三角形的内部；
③三角形的一个外角大于任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；
⑤对角线共有5条的多边形是五边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）已知在一个凸多边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数总和为600°，则这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．或
10．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）将一个四边形的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）．
A．180° B．180°或360°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
11．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）一个六边形ABCDEF纸片上剪去一个角∠BGD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，则∠BGD=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
12．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形，延长，，交于点，则帽子的顶部的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
13．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
14．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
15．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，，，是五边形的三个外角，边，的延长线交于点，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022春·河北承德·八年级统考期末）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）下列多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
18．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A．B． C． D．
二、填空题
19．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点可以作__________条对角线；同样，经过B点可以作__________条；经过C点可以作__________条；经过D点可以作__________条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有___________条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有_____________条对角线；
图3共有_____________条对角线；
(3)探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有_____________条对角线．(用含n的式子表示)
(4)特例验证：
十边形有__________________对角线.
20．（2022春·河北沧州·八年级统考期末）求下列多边形的边数，若一个边形的内角和是外角和的倍，则 ．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）若凸n边形的内角和为1260°，则n＝ ；该多边形的对角线条数是 ．
22．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，则x的值为 ．
23．（2022春·河北张家口·八年级统考期末）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC= ．
24．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ ．
25．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为 ．
26．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
三、解答题
27．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
(1)你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
(2)这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
28．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
29．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）一个零件的形状如图所示，按规定，，质检工人测得，就断定这个零件不合格，这是为什么？
30．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
31．（2022秋·河北沧州·八年级期末）按要求完成下列各小题．
(1)如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求的度数；
(2)如图，已知在△ABC中，AD平分，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若，，求∠B的度数．
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形具有稳定性，从一个顶点三条对角线可把六边形分成4个三角形即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴从一个顶点三条对角线可把六边形分成4个三角形．
故选C．
【点睛】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线将多边形分成三角形，掌握三角形具有稳定性，多边形的对角线将多边形分成三角形是解题关键．
2．C
【分析】：根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
【详解】解：设多边形有n条边，
则n﹣2=10，
解得n=12．
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．
3．C
【分析】根据n边形的内角和公式为，进行求解即可．
【详解】解：∵n边形的内角和公式为，
∴当°，
则．
∴四边形的内角和等于．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
4．A
【分析】延长交延长线于，由可求，再由三角形的外角定理求出，最后由多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：延长交延长线于，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质，关键是作辅助线由平行线的性质，三角形的外角定理求出．
5．C
【分析】根据多边形内角和公式判断．
【详解】解：∵多边形内角和公式为，
∴A、B、D的度数符合内角和特点，
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形内角和计算公式，熟记公式是解题的关键．
6．A
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2） 180° 判断即可．
【详解】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°，
∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式，理解多边形内角和公式是求解本题的关键．
7．A
【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和一定是180的整数倍，由此即可找出答案．
【详解】解：边形的内角和是，所以多边形的内角和一定是的整数倍．
在这四个选项中不是的倍数的是．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
8．B
【分析】根据多边形内角和公式和定理即可判断④，①；根据三角形的高和内角和定理的推论即可判断②，③；根据多边形的对角线公式即可判断⑤；即可得正确的个数．
【详解】解：①任意多边形的外角和等于360°，说法错误，不符合题意；
②只有锐角三角形的高相交于三角形的内部，说法错误，不符合题意；
③根据三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得三角形的一个外角大于任意一个于它不相邻的内角，说法错误，不符合题意；
④根据多边形内角和公式：，得一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，说法正确，符合题意；
⑤n边形的对角线条数为：，当n=5时，，说法正确，符合题意；
综上，正确个数有2个，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，多边形内角和定理，多边形的对角线，，三角形的高和三角形内角和定理的推论，解题的关键是掌握这些知识点．
9．D
【分析】本题涉及多边形的内角和、方程的思想．关键是根据内角和的公式和等量关系“一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为600°”列出方程，挖掘隐含着边数为正整数这个条件求解．
【详解】解：设边数为n，这个内角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得
（n-2） 180°-x+（180°-x）=600°，
解得n=4+，
∵n为正整数，
∴60+2x必为180的倍数，
又∵0＜x＜180°，
∴x=60或150，
∴n=5或6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及内角与外角的关系，n边形的内角和为：（n-2） 180°；多边形的内角与它的外角互为邻补角．
10．D
【分析】根据四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形解题即可．
【详解】解：四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形，
∴剩下的图形内角和为：180°或360°或540°，
故答案选：D．
【点睛】此题考查了多边形内角和，正确理解四边形去掉一个三角形后得到的图形形状是解题关键．
11．B
【详解】∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6-2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-430°=290°，
∴∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）=70°，
故选B．
12．B
【分析】首先根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，然后求出和的度数，进而可得到和的度数，最后根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：正六边形的内角和为，
∴
∴
∴
．
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形内角和，多边形内角和外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式．
13．D
【分析】根据正五边形每个内角为108°，根据长方形纸片对边平行，再根据两直线平行，同旁内角互补可求解．
【详解】∵折的图形为正五边形，
∴∠2= =108°，
又∵长方形纸片对边平行，
∴∠1+∠2=180°，
∠1=180°-∠2=180°-108°=72°
故选D．
【点睛】本题考查折纸中角的度数，熟练掌握正五边形每个内角的度数，平行线的性质是解决本题的关键．
14．D
【分析】先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，然后根据截去一个角后边上可以增加，不变，减少，确定原来多边形的边数即可．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，
则，
解得：，
截去一个角后边上可以增加，不变，减少，
原来多边形的边数是或或，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式，是解题的关键．
15．A
【分析】利用多边形的外角和为360°即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴∠DEF＋∠EDF＝360° 225°＝135°，
∵∠DEF＋∠EDF＋∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝180° 135°＝45°，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和与三角形的内角和定理，任意多边形的外角和等于360°．
16．B
【分析】延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解．
【详解】解：延长AB和DC，得∠4与∠5，
∴∠4=180°-∠B，
∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．
故选：B．
【点睛】本题考查了五边形的角度问题，平角定义，多边形外角和，掌握平角定义，多边形外角和是解题的关键．
17．B
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和为列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，即这个多边形是四边形，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．
18．C
【分析】根据镶嵌的定义计算判读即可．
【详解】∵能够铺满地面的图形是内角能拼成360°，
∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．
故选：C．
【点睛】本题考查了镶嵌问题，熟练掌握镶嵌的条件是解题的关键．
19． 1 1 1 1 2 5 9 35
【分析】(1)根据对角线的定义,四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,
(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,
(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有条对角线,
(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
【详解】(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,
(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,
(3) n边形经过任意一点可以做(n－3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有条对角线,
(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
20．8
【分析】设这个正多边形的边数为，则内角和为，再根据外角和等于列方程解答即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为，由题意得：
，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握多边形内角和定理：且为整数．
21． 9 27
【分析】根据凸n边形的内角和为1260°，求出凸n边形的边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解即可．
【详解】解：∵凸n边形的内角和为1260°，
∴（n 2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴这个多边形的对角线的条数是×9×（9 3）＝27．
故答案为：9，27．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．
22．75
【分析】直接根据四边形的内角和公式求解即可．
【详解】由四边形的内角和为（4-2）180° =360°，可得：
，
解得：，
故答案为：75．
【点睛】本题主要考查四边形的内角和，理解多边形的内角和公式是解题关键．
23．
【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．
24．32°．
【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；
【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．
故答案是：32°．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．
25．20
【分析】利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷18°=20，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．
26．120
【详解】 解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，
即一共走了12×10=120米，
故答案为：120．
27．(1)六边形，理由见解析
(2)这个多边形的内角和是外角和的2倍
【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n-2） 180°，进而可以算出这个多边形的边数；
（2）根据多边形的内角和公式（n-2） 180°，求得六边形的内角和，据此即可得到这个多边形的内角和与外角的关系．
【详解】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【点睛】本题考查多边形内角和公式和多边形的外角和的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．
28．(1)；理由见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解．
【详解】（1）解：在中，，
在中，，
（对顶角相等），
，
；
（2）解：如图3，
连接 ，则，
根据“8字形”数量关系，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
29．见解析
【分析】在五边形DHGFE中利用内角和定理求得∠GFE的度数即可作出判断．
【详解】解：∵四边形ABCD的内角和是：180×（4－2）=360°．
∠H=360°－∠A－∠B－∠C=90°
五边形DHGFE的内角和是180×（5－2）=540°．
则∠GFE =540°－∠FGH －∠EDH－∠H －∠FED =130°．
因为质检工人测得∠GFE=140°
因此这个零件不合格．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确进行角度的计算是关键．
30．（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2
【分析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；
（2）根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：（1）甲对，乙不对．
∵θ=360°，
∴（n-2）×180°=360°，
解得n=4．
∵θ=630°，
∴（n-2）×180°=630°，
解得n=．
∵n为整数，
∴θ不能取630°．
（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，
解得x=2．
31．(1)150°
(2)60°
【分析】（1）根据多边形的内角和可得∠DAB和∠DAC的度数，再根据周角是360°可得答案；
（2）先求出∠ADE＝85°，再求出∠CAD＝35°，∠BAC＝70°，即可求出∠B的度数．
【详解】（1）解：∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4＝90°．
∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴其每个内角为720°÷6＝120°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°．
∵∠EAD＝5°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝85°．
∵∠C＝50°，
∴∠CAD＝∠ADE﹣∠C＝35°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°．
【点睛】本题考查多边形的内角和、直角三角形的两锐角互余以及角平分线的定义，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键．
