12.1 全等三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在如图所示的四个图形中，属于全等形的是( )
A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
4．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
5．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折．
下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，，点P在线段上，以速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线上运动，且．若与全等，则点P运动的时间为（ ）
A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s
7．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当时，t的值为（ ）
A．1或3 B．2 C．2或4 D．1或2
8．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（ ）
A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等
9．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，点在上，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，已知Rt△ABD≌Rt△CDB，则∠ADB+∠C=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．无法确定
12．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
13．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
14．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，则∠BCE的度数为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．90°
二、填空题
15．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，则∠CFA= °．
16．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是 ．
17．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的长为 ．
三、解答题
18．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求OA、OB的长；
(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；
(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意；
C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查全等形的定义：完全重合的两个图形叫全等形，即形状及大小都相同．
2．B
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
3．D
【分析】全等形要求两图形大小及形状完全相同，观察发现其中两个图形恰巧是可以通过旋转得到的，结合旋转前后的两个图形是全等的，即可确定最终答案.
【详解】观察图形，经过旋转，②和④可以完全重合，因此全等的图形是②和④.
故选D.
【点睛】此题考查全等图形的概念及相关性质，熟悉全等形是解答本题关键.
4．C
【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项错误．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项正确．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别：熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键．
5．B
【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可．
【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．D
【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：当时，，
∵点P的速度为，
∴（s）；
当时，当，
∵点P的速度为，
∴（s）
故选：D．
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
7．B
【分析】可得 ，计算出t即可．
【详解】解：∵△ABP≌△PCQ，
∴BP＝CQ，AB＝PC，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12 8＝4cm，
∴2t＝4，解得：t＝2，
故选：B．
【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
8．D
【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，再由平行线的判定可推出BC∥FD，即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC≌△EFD，
∴BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，
∴BC∥FD，
即BC与DF的关系是：平行且相等；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】由题意可得，根据全等三角形的性质可得和 的值，从而可得答案．
【详解】解： 根据题意可得，
， ，
，
故选：B．
【点睛】此题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．A
【分析】根据三角形全等的性质可知，两个三角形全等，对应角相等，由三角形内角和减去已知角度即可得所求角度数．
【详解】解：因为图中两个三角形是两个全等的三角形，所以对应角相等，故，
故选：A．
【点睛】此题考查全等三角形的性质和三角形内角和，熟记全等的性质是解题的关键，注意对应边所对的角为对应角，边角关系要找到对应的．
11．C
【分析】利用全等三角形的性质求得∠C=∠A，，然后利用直角三角形的性质求得答案即可．
【详解】解：∵Rt△ABD≌Rt△CDB，
∴∠C=∠A，
∴∠ADB+∠C=∠ADB+∠A=90°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等．
12．B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13．A
【分析】根据三角形的内角和及全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：，，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC△BDE，
∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．C
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠DCE=∠ACB，然后根据∠BCE=∠DCE-∠DCB代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．
15．85°
【详解】试题解析：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=（120°-10°）÷2=55°，
∴∠ACF=∠BAC+∠B=65°，
∴∠CFA=180°-∠ACF-∠CAD=85°
16．或
【分析】分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案．
【详解】解：如下图，
①当点在上时，
∵和全等，
∴，
由题意可得，
所以（秒）；
②当点在上时，
∵和全等，
∴，
由题意得：，解得（秒）．
所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
17．6cm或12cm
【分析】先根据题意得到∠BCA=∠PAQ=90°，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵AX是AC的垂线，
∴∠BCA=∠PAQ=90°，
∴以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，
当△ACB≌△QAP，
∴；
当△ACB≌△PAQ，
∴，
故答案为：6cm或12cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．
18．(1)OA=6，OB=3；(2)S＝|6﹣t|(t≥0)；(3)t＝3或9．
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；
（2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；
（3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t的值，即可解题．
【详解】(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，
且|m﹣n﹣3|≥0，≥0
∴|m﹣n﹣3|＝＝0，
∴n＝3，m＝6，
∴点A(0，6)，点B(3，0)；
(2)连接PB，
t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，
∴S＝OP OB＝|6﹣t|；(t≥0)
(3)作出图形，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，
∴∠OBA＝∠OPE，
∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，
∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9
∴t＝3或9．
【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值非负性的性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB是解题的关键．12.2 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）下列判定两直角三角形全等的方法，错误的是( )
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
2．（2022秋·河北唐山·八年级期末）如图，，，，则能直接判断的理由是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
4．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，已知，D、E分别为AB、AC上两点，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，已知，小慧同学利用尺规作出与全等，根据作图痕迹请判断小慧同学的全等判定依据（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
6．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，、、、 在一条直线上，，，添加下列某一条件后不能判定≌的是( )
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
8．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，的面积为，平分，且于P，则的面积为（ ）．
A．10 B．8 C．7 D．6
9．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝1km，村庄A和C，A和D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有A和B之间由于间隔了一个小湖，无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座桥，测得AE＝1.2km，BF＝0.7km，则建造的桥长至少为（ ）
A．1.2km B．1.1km C．1km D．0.7km
10．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线，由此作法便可得，其依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
12．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为 ．
13．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
14．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 ．
15．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，点在同一条直线上，，请你只添加一个条件，使得．
（1）你添加的条件是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
（2）依据所添条件，判定全等的理由是 ．
16．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝7，AD＝3，则DC＝ ．
17．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出 个；
（2）如图2，∠1＋∠2＝ ．
三、解答题
18．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（2022秋·河北衡水·八年级统考期末）如图，AE与BD相交于点C，，，，点P从点A出发，沿A→B→A方向3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
(1)求证：．
(2)写出线段BP的长（用含t的式子表示）．
(3)当t为多少时，线段PQ经过点C．
20．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒．
(1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形；
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒．
21．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E．
(1)请你在图1中写出一对全等三角形：___________
(2)请证明你所写结论．
(3)尝试探究：若，；
①图1中四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，）
②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，）
(4)拓展应用：，，则B点坐标为：___________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：___________
22．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：
(1)；
(2)．
23．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，若______________，则．请在给出的三个条件：①，②，③中选择合适的两个，补充在上面的问题中，并完成解答．
24．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
(1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．
证明：延长到G，使，
在与中
∴理由：，
进而证出：__________，理由：（_______）
进而得
(2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想．
25．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）在中，，直线经过点C，且于D，于E，
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，猜想之间的关系，并请给出证明．
26．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACE．
27．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，已知，E是AD的中点，连接BE并延长交CD于点F．
(1)请找出图中与BE相等的线段，并写出证明过程；
(2)求BF的长．
28．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
参考答案：
1．C
【分析】利用全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意；
C、两个锐角对应相等，，没有边长对应相等，不能判定两个直角三角形全等，符合题意；
D、一个锐角和一条直角边对应相等，或判定两个直角三角形全等，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判断方法，是解题的关键．
2．A
【分析】根据全等三角形的判定方法解答．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法．
3．B
【分析】直角三角形全等的判定方法：，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】解：A．符合判定，故本选项正确，不符合题意；
B．全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
C．符合判定，故本选项正确，不符合题意；
D．符合判定，故本选项正确，不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．
4．D
【分析】证明△ABE≌△ACD（ASA），△BDO≌△CEO（ASA），然后根据全等三角形的对应边相对和对应角相等解答．
【详解】解：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，故A正确；
∴DB=AB-AD=EC=AC-AE，故B正确；
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO，
在△BDO与△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（ASA），
∴DO=EO，故C正确；
而没有条件证明AD=DB，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
5．B
【分析】根据作图痕迹可得，即可进行解答．
【详解】解：由图可知：
在与中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定以及尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法以及三角形全等的判定定理．
6．C
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、∵，，，
∴≌（），故选项A不合题意；
B、∵，，，
∴≌（），故选项B不合题意；
C、，，，无法判定三角形全等，
故选项C符合题意；
D、∵，
∴，
又∵，，
∴≌（），故选项D不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即.
【详解】解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
在和中，
∵,, 且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中
∵平分，
∴，
又∵,，
∴，
，
又由,知，
∴，故③正确；
连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
在中，
∵是斜边，是直角边，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故选：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:.在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点.
8．B
【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．
【详解】解：延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．
9．B
【分析】 由且公路AD是南北走向，得出，再证明，进而得出即可求解
【详解】
又
∴
∴
AC＝3km
则该桥最小长度为
故选B
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据已知得出，进而得出是解题关键．
10．A
【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定．
【详解】解：∵在和中
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
11．或BE=CF
【分析】根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴和都是直角三角形，
可以补充：，理由如下：
在和中，
∵，，
∴；
可以补充：BE=CF，理由如下：
∵BE=CF，
∴，
在和中，
∵，，
∴；
故答案为：或BE=CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等是解题的关键．
12．25°
【分析】先证明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根据三角形外角的性质求∠1即可．
【详解】∵，
∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，
∴∠1＝∠CAE；
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD＝∠2＝30°；
∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性质）
∴∠1＝25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．
13．90
【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
14．55°/55度
【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．
15． AC=DB；
【分析】有一对直角相等，可证得一对锐角相等，根据AAS或ASA只要添加任意一对对应边相等即可.
【详解】（1）添加AC=DB，则
∵∠A=∠D=∠CBE=90，
又∵，
∴，
，
∴，
在和中，
∴
(2) 依据所添条件，判定全等的理由是：.
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有SAS，AAS，ASA，SSS，根据题目给出的已知条件找到相应的判定方法是解题的关键．
16．4
【分析】利用AAS可证明△ABD≌△ACE，可得AC=AB，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，
∴AC=AB，
∵AB＝7，AD＝3，
∴CD=AC-AD=AB-AD=7-3=4．
故答案为：4
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS、AAS、SAS、ASA、HL等，注意：AAA、AAS不能判定两个三角形全等，当用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两对应边的夹角，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．
17． 4 45°/45度
【分析】（1）观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形；
（2）由图可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，从而可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
故答案为：4．
（2）由图可知△ABC≌△EDC，
∴∠1=∠3，
而∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠2=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．
18．(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据AAS证明即可；
（2）求出的长，即可解决问题．
【详解】（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
．
（2），，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)见解析
(2)当时，；当时，
(3)当线段PQ经过点C时，t的值为3s或6s
【分析】（1）根据已知条件，利用直接证明即可；
（2）根据题意分两种情形以及，列代数式表示的长即可；
（3）根据题意，列一元一次方程解方程求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：当时，；
当时，．
（3）解：由（1）得：，，
可证，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为3s或6s．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，列代数式，掌握全等三角形的的性质是解题的关键．
20．(1)① 全等，理由见解析；② 或
(2)存在，，厘米|秒
(3)5.6或6.8
【分析】（1）①当t=2时，，即可证明
②当或时，分别利用含 角的直角三角形的性质即可求解
（2）根据点N的运动速度与点M的运动速度不相等，则只能是，从而得出答案
（3）分两种情况：若点M速度快则，若点N速度快，则，从而得出答案
【详解】（1）①△BMN≌△CDM；理由：
∵点M，N的运动速度为6厘米/秒
∴ t＝2时，CM＝BN＝6×2＝12厘米，
∴ BM＝BC－CM＝20－12＝8（厘米）
∵CD＝8厘米
∴ BM＝CD．
∵△ABC是等边三角形
∴ ∠ B＝∠C＝60°．
在△BMN和△CDM中，BN＝CM，∠B＝∠C，BM＝CD
∴ △BMN ≌ △CDM（SAS）；
②∵∠B＝60°，△BMN是直角三角形，∴∠BMN＝90°或∠BNM＝90°．
∵BN＝CM＝6t
∴ BM＝BC－CM＝20－6t．
（Ⅰ）当∠BMN＝90°时，∠BNM＝30°
∴ BN＝2BM
∴
∴；
（Ⅱ）当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°
∴ BM＝2BN
∴ 20－6t＝2×6t
∴．
综上，t的值为或
故答案为或
（2）点N的运动速度与点M不相等，∴ CM ≠ BN，若要△BMN和△CDM全等，
则BN＝CD＝8厘米，BM＝CM＝10厘米
∴ 此时6t＝10
∴；
设点N的运动速度为v厘米/秒
∴
∴厘米 /秒；
（3）①若点M速度快则
/s
若点N速度快，则
故答案为5.6或6.8
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质等，将动点问题转化为线段长问题是解题关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)①，②或
(4)，或或
【分析】（1）由图可知；
（2）利用可证；
（3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和；
（4）参照1-3，在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论．
【详解】（1）解：和是一对全等三角形，
故答案为：；
（2）证明：，，
，，
，
在和中，
，
；
（3）解：①由（2）知，
，，
四边形的面积为：；
②同（2）可证，
，，
，
四边形的面积为：，
故答案为：，；
（4）解：如图所示，作轴于点D．
，，
，．
，轴，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示：
当点P在第二象限时，作轴于点H．
，轴，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
同理可得，，
综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或．
故答案为：，或或．
【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；
（2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出．
【详解】（1），
．
又，，
；
（2）为中点，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
23．①和③，解答见解析
【分析】根据三边对应相等的方法可证明两三角形全等，然后选择合适的条件即可作答．
【详解】解：①，③
，
，即
在和中
．
【点睛】本题考查了三角形全等证明的方法，熟练掌握三角形全等证明的方法与条件是解题关键．
24．(1)，
(2)仍有，证明见解析
【分析】（1）根据前面的推理提示可得答案；
（2）延长FD至点G，使，证明，证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：进而证出：，理由
（2）仍有，理由如下：
延长FD至点G，使，
∵，
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴
∴即
在和中，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
25．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）①证明，，即可利用证明；②利用全等三角形的性质得到，由此即可证明；
（2）同（1）证明得到，再由，即可证明．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
26．证明见解析
【详解】证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，
∴∠CAB＝∠DAE＝90°.
∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
27．(1)BE相等的线段为EF，理由见解析
(2)10
【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△DFE，可得BE＝EF；
（2）由全等三角形的性质AB＝DF＝8，可得CF＝6，由勾股定理可求BF的长．
【详解】（1）解： BE相等的线段为EF，
理由如下：∵ABCD
∴∠A＝∠D，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEF
∴△ABE≌△DFE（ASA）
∴BE＝EF
（2）解：∵△ABE≌△DFE
∴AB＝DF＝8
∵CD＝14，
∴CF＝6，
∵BC⊥CD，
∴∠C＝90°
∴ △BCF是直角三角形
∴BF＝＝＝10
∴BF＝10
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
28．(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
【详解】（1）证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
2．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：
①；②；③．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，已知、的角平分线相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①平分；②；③；④．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④
7．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在中，平分，则的面积为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
8．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，已知OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，PD⊥OA于点D，延长CP，与OA交于点E，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．PC＝PD B．PC＝DE C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
9．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
10．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）小明用尺规在△ABC上作图，并留下如图所示的痕迹，若AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北衡水·八年级统考期末）如图，在中，，，，BD是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）下列各点中，到两边距离相等的是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
13．（2022秋·河北沧州·八年级期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
14．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
15．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）老师在画∠AOB的平分线OP时，设计了①，②两种做法，这两种做法均可由△OMP≌△ONP得知，其全等的依据分别是（ ）
①如图1，在边OA，OB上分别取OM＝ON，调整角尺，使角尺的顶点到点M，N的距离相等，此时，角尺的顶点为P，画出射线OP；
②如图2，在边OA，OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N，作OA，OB的垂线，交点为P，画出射线OP．
A．SSS；HL B．SAS；HL C．SSS；SAS D．SAS；SSS
二、填空题
16．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ．
17．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是 ．
18．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则点D到的距离是 ．
19．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，平分．若，，，则
20．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是 ．
21．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠BAC，则△ABD与△ACD的面积比为 ．
22．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）如图所示，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是60， 70，80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则等于 ．
23．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，DC，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为 ．
三、解答题
24．（2022秋·河北保定·八年级期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
25．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）定理的回顾与应用：
(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 ．
符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 ，∴ ．
(2)解答：
已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：．
(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法）
(4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明）
26．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
(1)若，，则∠ADB＝___°．
(2)若，设△ABD和△CBD的面积分别为和，已知，则BC的长为___．
(3)如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设，求∠BHC与∠HFC的度数（用含的式子表示）．
27．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，于点E，于点F，若，，
(1)求证：平分；
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
28．（2022秋·河北石家庄·八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长．
参考答案：
1．A
【分析】过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确
【详解】解：过E作于F，如图，
∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
而，，故③错误；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正确；
∴，故④正确；
∴，故①正确．
因此正确的有①②④，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．侧重考查知识点的理解、应用能力．学生在日常学习中应从以下3个方向（【逻辑推理】【直观想象】【数学运算】）培养对知识点的理解、应用能力．
2．C
【分析】如图，过作于，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得即可．
【详解】解：如图，过作于，
∵，的平分线交于点D，，
∴，
∴点D到的距离是3；
故选C．
【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到的距离即为长是解决的关键．
3．A
【分析】过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系求解．
【详解】解：过点作于，于，于，如图，
是的三条角平分线的交点，
，
，，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握解平分线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】通过证明对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，故①正确；
∴平分，，②④正确；
∵
∴
∴，③正确；
故选：D
【点睛】此题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5．A
【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用AAS证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，
∴现有条件不能够证明，故③错误；
综上，正确的是①②．
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
6．C
【分析】①过点P做，根据平分，可以得到，再证明即可得出结论；②根据和都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到，再根据三角形外角性质，可以得到，即可得到结论；③由①可得，，故，根据，所以，代入得，即可得出结论；④由①可得，故，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作，如图，
∵是的平分线，，
∴．
∵是 的平分线，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，故①正确；
②∵和分别是和的角平分线，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴，故②正确；
③由①可得，同理又易证，
∴，
∵，四边形内角和为，
∴，
∴，故③正确；
④由①和③可得，，
∴，．
∵，
∴，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
7．C
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质作出辅助线，即可得出AB边上的高线长度，根据面积公式计算，
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC=3，
∴S△ABD= ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，根据性质作出辅助线是解答此题的关键．
8．B
【分析】利用角平分线上的任意一点到角两边的距离相等可得△OPC≌△OPD，所以A、C、D都对，B不对．
【详解】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，
∴PD=PC，∠POD=∠POC，
又∵OP=OP，
∴△OPC≌△OPD，
∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，
∴选项A、C、D正确，选项B错误
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，这种开放型的问题由已知得出结论后，要对选项逐个验证证明，做到不重不漏．
9．D
【分析】过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得ID＝IE＝IF，再根据三角形面积计算即可得解．
【详解】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
10．A
【分析】由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，
过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∵S△ABD=AB DE，S△ACD=AC DF，
∴，
∵AB=6，AC=4，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的面积，熟记角平分线的作法及性质是解题的关键．
11．A
【分析】过D点作DEBC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE= DA，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过D点作DEBC于E
BD是的角平分线，DEBC
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确作出辅助线是解题的关键．
12．B
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【详解】解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上，
∴点Q到∠AOB两边距离相等，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．C
【分析】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．
【详解】如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．
14．A
【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
15．A
【分析】根据作图过程可得MO= NO，MP= NP，再利用SSS可判定△MPO≌△PNO，可得OP是∠AOB的平分线；根据题意得出Rt△MOP≌Rt△NOP(HL)，进而得出射线OP为∠AOB的角平分线．
【详解】解：如图①：
在△MPO和△NPO中
，
∴△MPO≌△PNO (SSS)
∴∠AOP=∠BOP ，
即射线OP为∠AOB的角平分线；
如图②，在Rt△MOP和Rt△NOP中，
，
∴Rt△MOP≌Rt△NOP (HL)
∴∠MOP=∠NOP，
即射线OP为∠AOB的角平分线；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．
16．2：3：4
【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．
【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．
∵CO、BO、AO分别平分
∴
∵，，
∴
故答案为：2：3：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．
17．
【分析】过点作交于，交于点，过点作交于点，由是的平分线可得，这时有最小值，即的长度，再根据，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作交于，交于点，过点作交于点，
，
是的平分线，，，
，这时有最小值，即的长度，
，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和点的位置．
18．4
【分析】由题意可知平分，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：过点D作于点M，如图所示：
由题意可知平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴到的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．
19．12
【分析】如图，过点作于，于，由角平分线的性质可知，由，，可得，根据，可求即可．
【详解】解：如图，过点作于，于，
∵平分，，，
∴，
∴，，则，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，构造垂线是解决问题的关键．
20．
【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，
∵平分于点D，
∴，
∴的面积=，
故答案为：．
【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
21．5：3
【分析】如图：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD与△ACD的面积之比等于AB：AC，最后运用勾股定理求出AB即可解答．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC
∴=AB DE：AC DF=AB：AC
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4
∴
∴ =AB：AC=5：3．
故答案为：5：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、三角形的面积等知识点，掌握平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解答本题的关键．
22．6：7：8
【分析】根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等性质和等面积法求解即可．
【详解】解：过O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC的三条角平分线相交于O，
∴OD=OE=OF，
∵AB，BC，CA长分别是60，70，80，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．
23．2
【分析】点到的距离，指的是过点作的垂线段的长度，根据角平分线的性质，可以得到，利用AC＝6，，可以求出线段的长度，问题即可解决．
【详解】解：如图，过作于，
，
，
平分，，，
，
，AC＝6，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到的距离指的是过点作的垂线段的长度，是解决此题的突破口．
24．（1）平行，理由见解析；（2）①25°；②或
【分析】（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；
（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，再根据，即可得到中，；
②分两种情况进行讨论：当点在点的右侧时，．当点在点的左侧时，．
【详解】解：（1）平分，
，
又，
，
；
（2）①如图2，，，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即；
②分两种情况讨论：
如图2，当点在点的右侧时，．
证明：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即；
如图3，当点在点的左侧时，．
证明：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
25．(1)角两边的距离相等；，
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据角平分线性质，写出结果；
（2）作于，作于，证明，从而得出结论；
（3）作射线，交于，作，反向延长，交于；
（4）当和互补时，．
【详解】（1）解：定理直接得出结果：
角两边的距离相等；，；
（2）证明：证明：如图1，
作于，作于，
，
平分，
，
在四边形中，，，
，
，
，
，
，
（ASA）
；
（3）证明：如图2，
作射线，交于，作，反向延长，交于，
则；,
（4）解：如图3，
当和互补时，，理由如下：
作于，作于，
，
平分，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
(ASA)
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26．(1)
(2)9
(3)∠BHC＝90°＋α，∠HFC＝α
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）如图（1），过作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】（1），是的角平分线，
，
，
故答案为：71；
（2）如图，过作于，于，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：9；
（3）在中，由，可得，
平分，平分
，，
，
在中，
，
为的外角，设，
，
平分，平分，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据得出，得出，所以平分；
（2）根据证明，所以，进而可得答案．
【详解】（1）证明：于，于，
，
与均为直角三角形，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，
理由：平分，
，
于，于，
，
在与中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等．
28．（1）见解析；（2）
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）由（1）知，Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∵AB＝AE BE＝AF BE＝AC CF BE，BE＝CF，
∴AB＝AC 2BE，
∵AB＝12，AC＝20，
∴BE＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形），全等三角形的对应边相等，对应角相等．
