13.1 轴对称 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一、以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．C．D．
2．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到给出的有字母标号的四个空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，其中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．含30°的直角三角形
5．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
7．（2022秋·河北石家庄·八年级期末）如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分，
C．△ABC与面积相等 D．直线AB、的交点不一定在MN上
9．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把纸铺平，可以看到的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·河北石家庄·八年级期末）如图，数轴上与1，对应的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北秦皇岛·八年级期末）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝70°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．40° D．37.5°
12．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE等于（ ）
A．40° B．20° C．55° D．30°
13．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，，的周长为9，的垂直平分线交于点E，垂足为D，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．9
14．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（ ）
A．7 B． C． D．
15．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
16．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．垂直平分
17．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则∠A的大小是（ ）
A．30° B．32° C．36° D．42°
18．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
19．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）已知：直线及外一点．如图求作：经过点，且垂直的直线，作法：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点．②分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点．③过点作直线．直线即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（ ）
A．这两个适当的长相等
B．①中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．②中“适当的长”指大于线段的长
D．②中“适当的长”指大于点到直线的距离
二、填空题
20．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是 （填字母序号）
A． B． C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD D．AC与BD互相平分
21．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图所示，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，，则的周长为 ．
22．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB，BC 边所在直线对称的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=9：2：1，则∠4 的度数为 ．
三、解答题
23．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）直角三角形ABC中，，直线l过点C．
(1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．，，求DE长．
(2)当，时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．
①______，当N在路径上时，______．（用含t的代数式表示）
②直接写出当与全等时t的值．
24．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图所示，在中，、、分别在、、边上，，，是的垂直平分线，试判断是哪种类型的三角形，并说明理由．
25．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，AE平分△ABC的外角∠PAC，DE垂直平分BC，分别交BC，AC，AE于点D，F，E，分别过点E作EQAP，EHAC，垂足分别为Q，H．
(1)求证：BQ＝CH；
(2)若AQ＝4，BQ＝12，求AC的长．
26．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，已知，与交于点E，．求证：点E在线段的垂直平分线上．
27．（2022秋·河北秦皇岛·八年级期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分．
28．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）如图，点是平分线上一点，，，垂足分别是，．
求证：
(1)；
(2)是线段的垂直平分线．
29．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
30．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2．B
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
其中轴对称图形有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
3．C
【分析】根据轴对称的性质对各项分析即可得出结论．
【详解】解：项将①移动到处，可以得到对称图形，故项不符合题意；
项将①移动到处，可以得到对称图形，故项不符合题意；
项将①移动到处，得到图形不对称，故项符合题意；
项将①移动到处，可以得到对称图形，故不符合题意．
故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．D
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可；
【详解】解：正方形、等边三角形、等腰直角三角形都是轴对称图形，含30°的直角三角形不是轴对称图形;
故选：D
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合
5．A
【分析】根据轴对称图形的特点即可求解．
【详解】A是轴对称图形，B,C,D均不是轴对称图形
故选A．
【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形的特点．
6．A
【详解】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．故选A．
7．B
【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE=30°，判断出④错误．
【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC 360°＝3×150° 360°＝90°，
∴，故①正确．
∴∠BAE＝∠CAD＝（360° 90° 150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确．
∵△ACE≌△ADB，
∴，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确．
在△EAD中，∠EAD＝90°，
当∠ADE=30°时，，
∵题中条件无法证明∠ADE=30°，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
8．D
【分析】根据轴对称的性质即可解答．
【详解】解：由题意△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∵对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，
∴，
∴是等腰三角形，选项A正确，不符合题意；
∵轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分，
∴垂直平分，，选项B正确，不符合题意；
∵轴对称图形对应的角、线段都相等，
∴△ABC与是全等三角形，面积也必然相等，选项C选项正确，不符合题意；
∵直线AB、关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．
∴选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
9．C
【分析】轴对称图形的定义是，在一个平面内，平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．根据定义即可得到正确答案
【详解】解：A、不是轴对称图形，答案错误；
B、不是轴对称图形，答案错误；
C、是轴对称图形，答案正确；
D、不是轴对称图形，答案错误．
故选：C
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，根据定义解题是关键．
10．D
【分析】根据轴对称的性质以及数轴上两点之间的距离进行求解即可．
【详解】解：∵1，对应的点分别为，，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
∴点表示的数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，熟练掌握轴对称的性质以及实数在数轴上的表示方法是解本题的关键．
11．C
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：是沿直线翻折变换而来，
，
是边的中点，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
12．A
【分析】先根据三角形内角和定理求得∠B,然后根据折叠的性质求得∠DEC，进而得到∠AEC，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=60°，
根据翻折不变性可知：∠CED=∠B=60°，
∴∠AED=120°
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-20°-120°=40°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、翻折的性质等知识点，掌握三角形的内角和定理成为解答本题的关键．
13．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，再由求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
由的周长为9可得，，
则，
，
故选B
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
14．C
【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得．
【详解】解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
15．D
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
16．D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵平分，，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．
17．B
【分析】根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=，∠C＝84°，
∴∠A=，
故选：B．
【点睛】此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解题的关键．
18．B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，再求出的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出的周长是解题的关键．
19．B
【分析】根据尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤理解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知①中“适当的长”指大于点到直线的距离；
②中“适当的长”指大于线段的长的一半，
四个选项说法中，只有B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤，熟练掌握尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤是解决问题的关键．
20．D
【分析】由轴对称的性质和平行四边形的判定与性质即可得出结论．
【详解】解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故选项A、B、C正确；
∵四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴AC与BD不一定互相平分，故选项D不一定正确；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键．
21．15
【分析】根据轴对称的性质得到，据此利用三角形周长公式求解即．
【详解】解：∵P点关于的对称点，
∴．
∴的周长为．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
22．90°
【分析】由题意易得∠EAB=∠CAB，∠ACB=∠DCB，由∠1：∠2：∠3=9：2：1及三角形内角和可得∠2=30°，∠3=15°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【详解】解：由△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB，BC 边所在直线对称的轴对称图形，可得：
∠EAB=∠2，∠3=∠DCB，
∠1：∠2：∠3=9：2：1，∠1+∠2+∠3=180°，
，
；
故答案为90°．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质及三角形内角和及外角的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)①；②当t=秒或5秒或秒时，△MDC与△CEN全等．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由即可表示利用轴对称的性质证明再利用即可得到答案； ②分点F沿F→C路径运动，点F沿C→B路径运动，点F沿B→C路径运动，点F沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；而，，
（2）①由题意得，AM=t，
，
，
点B与点F关于直线l对称，
当N在路径上时，
故答案为：
②由轴对称的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵，
，∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N 沿F→C路径运动时，8-t=6-3t，
解得，t=-1（不合题意），
当点N 沿C→B路径运动时，此时
8-t=3t-6，
解得，，
当点N 沿B→C路径运动时，此时
由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
当点N 沿C→F路径运动时，此时
由题意得，8-t=3t-18，
解得，，
综上所述，当t=秒或5秒或秒时，△MDC与△CEN全等．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论是解题的关键．
24．等腰三角形，理由见解析
【分析】连接、，由垂直平分线的性质可得，再利用SSS证明，可得，即可得，可证得是等腰三角形．
【详解】是等腰三角形
证明：连接、，如图所示
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
．
即是等腰三角形．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
25．(1)见解析
(2)16
【分析】（1）连接EB，EC，根据角平分线的性质得到EQ＝EH，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，即可利用HL判定Rt△BEQ≌Rt△CEH，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）结合（1），利用HL判定Rt△AEQ≌Rt△AEH，根据全等三角形的性质得到AQ＝AH，结合BQ＝CH，利用线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：连接EB，EC，如图所示：
∵AE平分∠PAC，EQ⊥AP，EH⊥AC，
∴EQ＝EH，
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∵在Rt△BEQ和Rt△CEH中，
∴Rt△BEQ≌Rt△CEH（HL），
∴BQ＝CH．
（2）解：∵EQ⊥AP，EH⊥AC，
∴∠AQE＝∠AHE＝90°，
∵在Rt△AEQ和Rt△AEH中，
∴Rt△AEQ≌Rt△AEH（HL），
∴AQ＝AH，
由（1）知BQ＝CH，
∴AC＝AH＋CH＝AQ＋BQ，
∵AQ＝4，BQ＝12，
∴AC＝16．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
26．见解析
【分析】证明，可得，从而得到，，即可．
【详解】证明：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
27．见解析
【分析】利用角平分线的性质证得，再由全等证得，即可证得垂直平分．
【详解】证明：设、的交点为K，
平分，，，
，，
在和中，
，
（HL），
，
是线段的垂直平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等的性质和判定，垂直平分线的判定，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理．
28．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再判定，得出；
（2）由（1）得到点在的垂直平分线上，再根据，可得点在的垂直平分线上，进而得到是的垂直平分线．
【详解】（1）证明：是的平分线上一点，，，
．
在和中，
，
．
．
（2），
点在的垂直平分线上．
又，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
29．见解析．
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
【详解】解：作出线段AB的垂直平分线；作出l1、l2夹角的角的平分线．它们的交点即为所求作的点C（2个）．
【点睛】本题考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．
30．AB垂直平分线与的角平分线交点P处，图见解析
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．故如图，作的角平分线，再连接，作的垂直平分线，两线的交点即为发射塔P应建的位置．
【详解】解：如图所示，点P即为所作．
∴发射塔P应建在垂直平分线与的角平分线交点P处．
【点睛】本题考查作角平分线与作线段的垂直平分线，角平分线与线段的垂直平分线的性质的应用，掌握角平分线与线段的垂直平分线的性质是解题关键．13.2 画轴对称图形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点Q位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（m+1，5）与点B（3，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝－4，n＝5 B．m＝－4，n＝3 C．m＝2，n＝5 D．m＝－2，n＝5
二、填空题
7．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）已知和关于x轴对称，则的值为 ．
8．（2022春·河北石家庄·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点．若点，且y轴．
（1） ；
（2）点M关于y轴对称的点的坐标为 ．
9．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点M(2，4)关于x轴的对称点的坐标为 ，关于y轴的对称点的坐标为 ．
10．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在中，，垂直平分，点P为直线上的任意一点，则的最小值是 ．
三、解答题
11．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标：
(2)求的面积：
(3)在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置．
12．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)请画出关于轴对称的图形（其中分别是、、的对应点，不写画法）；
(2)直接写出三点的坐标；
(3)平面内一点关于直线轴对称点的坐标为___________．
(4)若点为轴上动点，当周长最小时，画出点的位置（不写画法，保留作图痕迹）．
13．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．将经过一次对称后得到，图中标出了点A的对应点．
(1)补全；
(2)画出边上的中线；
(3)画出边上的高线；
(4)求的面积．
14．（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的小正方形，的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，4）．
(1)请在网格内画出与关于轴成轴对称的；
(2)请分别写出三个顶点的坐标．
15．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
(3)△A1B1C1的面积为 ；
(4)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）
16．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请作出关于x轴对称的，并写出三个顶点坐标，即______，______，______；
(2)计算的面积．
(3)若P为y轴上一点，求作点P，使的周长最小（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
17．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A与A1、B与B1、C与C1对应）；
（2）直接写出点A1、B1、C1的坐标．
18．（2022春·河北承德·八年级统考期末）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
(1)分别写出A，B，C三点的坐标；
(2)作△ABC关于y轴对称的（不写作法）；
(3)在（2）的条件下，若△ABC内一点P的坐标为（a，b），写出内点P的对应点P′的坐标．
19．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图：
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1并写出A1，B1，C1三个点的坐标．
(2)并请求△ABC的面积；
(3)判断△ABC的形状(提示：构造全等直角三角形)
20．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴对称的，并写出点为（___，___）
(2)在y轴上存在一点P使得最小，在图中画出点P的位置，则P点的坐标为（___，___）
(3)在y轴正半轴上存在一点M，使得，则点M的坐标是（___，___）．
21．（2022秋·河北衡水·八年级期末）如图，三个顶点的坐标分别为
(1)若与关于y轴成轴对称，在图中画出，点坐标为__________；
(2)若直线与y轴相交于点，在y轴上是否存在点Q．使得，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，点P的坐标是____________．
22．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（﹣1，5），（﹣1，0），（﹣4，3）．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形（其中分别是A，B，C的对应点）；
(2)在x轴上找出一点P，使点P到B，C两点的距离相等，则点P的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点P，使得PB+PC的值最小．（要求：不写画法，保留画图痕迹）．
23．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1，﹣1)，B(﹣4，﹣2)，C(﹣1，﹣4)．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
【详解】解：该图形沿直线l4折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故该图形的对称轴是l4，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．D
【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，对称轴有1条；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形，对称轴有2条；
故选：D．
【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
【详解】如图所示：
从编号为① ④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
4．B
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】解：点M关于轴对称的点的坐标是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系是解题关键．
5．A
【分析】关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；确定好对称点的坐标，再确定所在象限即可解答．
【详解】解：∵点关于x轴对称的点Q的坐标为：，
∴点Q位于第一象限；
故选：A．
【点睛】本题主要考查关于x轴对称点的坐标特征，做题的关键是掌握点坐标的变化规律．
6．A
【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案．
【详解】解：∵点A（m+1，5）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m+1=-3，n=5，
∴m=-4，n=5，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
7．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
8． -2
【分析】（1）根据y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得；
（2）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且y轴，
∴点M与点N的横坐标相等，即m﹣1＝﹣3，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）由（1）可得点M的坐标为（﹣3，﹣1），
所以点M关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点睛】本题考查点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．
9． (2， 4) ( 2，4)
【分析】根据关于x轴对称的点的规律，关于y轴对称的点的规律，可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点M(2，4)，关于x轴的对称点坐标是(2， 4)，关于y轴对称的点的坐标为( 2，4)，
故答案为：(2， 4)，( 2，4)．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
10．
【分析】易得关于对称，得到，得到当三点共线时，有最小值，即为的长，即可得解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴关于对称，
∴，
即：当三点共线时，有最小值，为的长，
∵，
∴的最小值是；
故答案为：．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
11．(1)画图见解析，，，；
(2)的面积为；
(3)作图见解析
【分析】（1）分别确定，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可，再根据，，的位置可得其坐标；
（2）根据割补法利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可；
（3）先作A关于y轴的对称点，再连接与y轴的交于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，是所求作的三角形；
∴，，；
（2）；
（3）如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查的是画关于x轴对称的三角形，利用割补法求解三角形的面积，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，坐标与图形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．
12．(1)见解析
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据轴对称线的性质找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（3）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；
（4）根据对称性，连接，交于点轴于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）三点的坐标：；
（3）平面内一点关于直线轴对称点的坐标为，
故答案为：．
（4）根据对称性，连接，交于点轴于点，则点即为所求，如图所示，
【点睛】本题考查了轴对称作图，关于轴对称轴的坐标特征，轴对称求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)8
【分析】（1）连接，作利用格点找出的垂线，即为对称轴，再作出点B，点C的对称点，顺次连接即可得到；
（2）利用格点找出的中点D，连接即可；
（3）利用格点作，使得，交于点E，利用全等三角形的性质可证，即为所求；
（4）利用格点和三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如下图所示；
（2）解：边上的中线如下图所示；
（3）解：边上的高线如下图所示；
理由如下：
由格点可知，，
又，
，
，
，
，
，
为边上的高线；
（4）解：,
即的面积为8．
【点睛】本题考查格点作图，涉及作轴对称图形、作三角形的中线、高线、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题的关键是利用格点构造．
14．(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）根据轴对称的性质作出与关于轴成轴对称的即可；
（2）结合点A的坐标，确定点B、C的坐标，然后根据平面直角坐标系中两点关于y轴对称的性质“横坐标互为相反数，纵坐标相等”确定、、三点坐标即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）∵点A的坐标为，
∴，，
∴，，．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形以及坐标与图形变化-轴对称等知识，熟练掌握平面直角坐标系中两点关于坐标轴对称的性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)y轴，（﹣2，3）
(3)
(4)见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（2）利用轴对称的性质求解问题即可．
（3）利用分割法的思想，将三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
（4）连接交轴于点，连接，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，△即为所求．
（2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为．
故答案为：轴，．
（3）解：△的面积为．
故答案为：．
（4）解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
16．(1)画图见解析，
(2)
(3)画图见解析，
【分析】（1）分别确定 关于x轴对称的对称点再顺次连接再写出的坐标即可；
（2）利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可；
（3）确定关于轴对称的，再连接交轴于 再根据的位置可得的坐标．
【详解】（1）解：如图，是所求作的三角形，
故答案为：
（2）解：的面积为
（3）解：如图，确定关于轴对称的，再连接交轴于
则的周长为
此时周长最小，
则即为所求作的点，
．
【点睛】本题考查的是画轴对称图形，利用轴对称的性质确定使三角形周长最小时，点的位置，轴对称与坐标的变化规律，三角形面积的计算，掌握以上知识进行作图是解本题的关键．
17．（1）见解析；（2），，
【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特点画出△即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出点、、的坐标即可．
【详解】解：（1）根据关于轴对称的特点作图如下所示；
（2）由图可知，，，．
【点睛】本题考查的是作图轴对称变换，解题的关键是熟知关于轴对称的点的坐标特点．
18．(1)A（-3，3），B（-4，1），C（-1，0）
(2)见解析
(3)P'的坐标为（-a，b）
【分析】（1）结合图象直接写出各点坐标即可；
（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）由题意可知，点P与点P'关于y轴对称，即可得出点P'的坐标．
【详解】（1）解：由图可得，A（-3，3），B（-4，1），C（-1，0）；
（2）解：如图所示，△A'B'C'即为所求．
；
（3）解：由题意可知，点P与点P'关于y轴对称，
∵P（a，b），
∴P'（-a，b）．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．(1)图见解析，A1(3，2)，B1(4，－3)，C1(1，－1)
(2)
(3)等腰直角三角形
【分析】（1）根据轴对称的性质找到点A1，B1，C1的坐标并作图．
（2）用割补法将△ABC构造在梯形AMNB中，从而根据“大-小”求得面积．
（3）先证明Rt△AMC≌Rt△CNB，找到等边，再根据全等性质找出∠ACB=90°，进而判断△ABC的形状．
【详解】（1）△A1B1C1如图所示，
由对称性可知：A1(3，2)，B1(4，－3)，C1(1，－1)．
（2）如图所示，S△ABC=S梯形AMNB－S△AMC－S△NBC
（3）在Rt△AMC和Rt△CNB中
∵AM=CN=2
∠AMC=∠CNB=90°
MC=NB
∴Rt△AMC≌Rt△CNB(SAS)
∴∠ACM=∠CBN，AC=BC
而∠CBN+∠BCN=90°
∴∠ACM+∠BCN=90°
即∠ACB=180°－(∠ACM+∠BCN)=180°－90°=90°
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形面积的计算、全等三角形的证明和性质，解决本题的关键是熟悉轴对称的性质，熟练证明三角形全等．
20．(1)画图见解析；－3，2
(2)画图见解析； 0，2
(3)0，3
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，进而可得点C1；
（2）连接AB1交y轴于点P即可；
（3）过点B作AC的平行线交y轴于点M，或过点A作BC的平行线交y轴于点M即可．
【详解】（1）解：如图所示：
C1（－3，2），
故答案为：－3，2
（2）如图所示，连接交y轴于点P，此时的值最小，
设的解析式为，将点代入得：
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
∴P（0，2），
故答案为：0，2
（3）如图所示：过点A作BC的平行线交y轴于点M，
此时，线段AM相当于由线段BC向上平移2个单位，再向左平移一个单位得到，
∴M（0，3），
故答案为：0，3
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，平行线间的距离，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21．(1)图见解析，B1（﹣4，2）
(2)存在，或
(3)P（2，0）
【分析】（1）作出点、 、关于y轴的对称点、、，即可；
（2）设Q（0，m），求出，得到，根据，得到，求得或，得到或；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，此时PA+PB的值最小，取点F(1,-2)，连接CF，，设CF与x轴的交点为E，证明△CPE是等腰直角三角形，运用等腰直角三角形性质求出PE的长度，即可确定点P的坐标．
【详解】（1）∵与关于y轴成轴对称，三个顶点的坐标分别为， ，，
∴，，,
在网格图中画出，点坐标为（﹣4，2）；
（2）存在．设Q（0，m），
∵，
∴，
∴
解得或，∴或．
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，此时PA+PB的值最小，
取点F(1,-2)，连接CF，，设CF与x轴的交点为E，
则CF=3，，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴PE=CE=1，
∴OP=OE+PE=1+1=2，
∴P（2，0）．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路径问题、三角形的面积，等腰直角三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称性质，三角形面积计算公式，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定和性质．
22．(1)画图见解析
(2)
(3)画图见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）作线段BC的垂直平分线交x轴于点P，点P即为所求；
（3）连接交y轴于点P，连接CP，点P即为所求．
【详解】（1）解：点A，B，C的坐标分别是（﹣1，5），（﹣1，0），（﹣4，3），
∵△ABC关于y轴的对称图形 △A′B′C′
∴点A′、B′、C′的坐标分别为（1，5），（1，0），（4，3），
在平面直角坐标系中描点A′、B′、C′，顺次连结A′B′、B′C′、A′C′，
如图，是所求作的三角形，
（2）解：如图，作线段的垂直平分线交轴于点，则点即为所求，
由网格正方形的性质及点的位置可得：
故答案为：
（3）解：如图，连接，交轴于点
则
此时：最短；
所以点即为所求作的点.
【点睛】本题考查的是作关于轴对称的三角形，利用网格正方形的性质作线段的垂直平分线，利用轴对称的性质求作使两条线段和取最小值时点的位置，掌握“轴对称的作图与轴对称的性质”是解本题的关键.
23．（1）（1，﹣1）（2）作图见解析；点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4）（3）
【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点，即可完成解答;
(2)先根据关于y轴对称的点的坐标特点确定A1，B1，C1的坐标，然后连接即可;
（3）在方格纸上确定△A1B1C1的底和高，直接计算即可;
【详解】（1）点A关于y轴对称的点的坐标是：（1，﹣1），故答案为（1，﹣1）；
（2）点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4），作出的△A1B1C1如图所示：
（3）△A1B1C1的面积为：×3×3＝．
【点睛】本题考查了轴对称图形与坐标的关系，理解点关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是解答本题的关键.13.3.1 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）等腰三角形的周长为16，其中腰为x，则x不可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中为含有角的三角板，直线是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板的直角顶点，、分别交、于点E、F．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
3．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（ ）
A．10 B．13 C．13或17 D．17
4．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，中，，与的平分线交于点P，过P作的平行线，分别交，与点M，N，则图中等腰三角形的总个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．17 B．18 C．17或22 D．22
6．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）已知：如图，在， 中， ， ， ，点 三点在同一直线上，连接 ， ；以下四个结论： ；；； ；其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在中，，，CD平分，，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，等腰直角三角形的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点B的坐标为，则线段的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．7.5
9．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、填空题
10．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）（1）如图，在△ABC中，．已知线段的垂直平分线与边交于点P，连接，若，，则 ，
（2）以点B为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点Q，连接，若，则的度数为 ．
11．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）等腰三角形的一个角为，则它的顶角为 ．
12．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图的个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）.
13．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．
14．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，点A在y轴上，是等腰三角形，，点B关于y轴的对称点的坐标为，则点A的坐标为 ．
15．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3的度数为 ，∠1＋∠2的度数为 ．
16．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图．在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）点D从B向C的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）在点D的运动过程中，当的度数是 时，是等腰三角形
17．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图在第二个△A1BC中，∠B=40°，A1B=BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E…如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为 ．
18．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是 （填写序号）．
三、解答题
19．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，，
(1)求证：
(2)当时，求的度数．
20．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，点是的边上一点，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．
(1)求和的度数；
(2)求证：是等腰三角形．
22．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：．
23．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）（1）利用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，如图，做法如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点N、M；
②分别以点M、N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内相交于点P；
③作射线，即为的平分线．
请根据作图痕迹写出已知、求证，并证明．
（2）请你只利用有刻度的直尺（不能利用有刻度的直尺作垂直），在下图上画出的角平分线，根据你的作图写出已知、求证，不写证明过程．
24．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图1，中，，点D在AB上，且．
(1)求的大小；
(2)如图2，于E，于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF：
②猜想三条线段AE，DB，BF之间的数量关系，并对你的猜想进行说明．
25．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，在等腰中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．（友情提示：连接CF）
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变？若不变，请求出四边形的面积；若改变，试说明理由．
26．（2022秋·河北衡水·八年级统考期末）如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使，连接BG．
①BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；
②求OF的长；
(3)如图2，若点F的坐标为，E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且点P的坐标为，是否存在点E使为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
27．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，D为BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
(1)如图1，过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，求证：△ACD≌△CBF；
(2)如图2，若D为BC的中点，CE的延长线交AB于点M，连接DM．求证：∠BDM=∠ADC．
参考答案：
1．A
【分析】根据等腰三角形的周长和三角形的三边关系逐项求解即可．
【详解】解：A、当时，三边分别为4，4，8
∵，
∴不能围成三角形，
∴腰不能为4，故选项符合题意；
B、当时，三边分别为5，5，6
∵，
∴能围成三角形，
∴腰能为5，故选项不符合题意；
C、当时，三边分别为6，6，4
∵，
∴能围成三角形，
∴腰能为6，故选项不符合题意；
D、当时，三边分别为7，7，2
∵，
∴能围成三角形，
∴腰能为7，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
2．A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，故①符合题意，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出②符合题意，根据全等三角形对应边相等可得、，求出，根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出③不符合题意；根据全等三角形的面积相等可得，从而求出，判断出④不符合题意．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点D为中点，
∴，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，故①符合题意；
∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，故②符合题意；
∴、，
∴是等腰直角三角形；
同理：，
∴，
∵，
∴，故③不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵、都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，故④不符合题意；
综上，正确的有①②．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，同角的余角相等的性质，熟记三角形全等的判定方法并求出和全等是解题的关键．
3．D
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，
所以这个三角形的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
4．D
【分析】根据等边对等角得到，根据平行线的性质即可证明，得到，则是等腰三角形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到都是等腰三角形，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴都是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形一共有5个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键．
5．D
【分析】分9长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．
【详解】解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，，
∴三角形的周长为：；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，分类讨论并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．
6．D
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项正确；
即：，本选项正确；
，本此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．D
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，求出，求出，根据平行线的性质得出，，，推出，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴、、、、都是等腰三角形，共5个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，根据题意求出，，是解题的关键．
8．C
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
【详解】解：∵B（5，2），BE⊥x轴，
∴OE=5，BE=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．B
【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，得到∠DBA=∠A=40°，最后根据角的和差即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=，
∵MD是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10． 5 /36度
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到，再结合图形求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到，设，由题意得到等式，利用三角形内角和定理求解即可得到答案
【详解】（1）∵线段的垂直平分线与边交于点P，，
∴，
∵，
∴；
（2）根据题意，得，
所以，
设，
所以，
所以，
在中，，
解得，即.
故答案为：①5；②．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．
11．或
【分析】分的角为顶角和底角两种情况讨论即可作答．
【详解】解：当的角为底角时，此时顶角为；
当的角为顶角时，此时顶角为；
即该三角形的顶角为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的知识，主要分类讨论是解答本题的关键．
12．②⑤
【分析】根据等腰三角形的性质，即可．
【详解】过点作的角平分线，
∵，，
∴，
∴，，
∴和是等腰三角形，
∴正确；
不能分成两个小等腰三角形；
过点作的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴正确；
把点分成和的角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴正确；
不能分成两个小等腰三角形．
∴不能分成两个小等腰三角形
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
13．4
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置．
【详解】解：如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键．
14．（0，6）
【分析】过B作BC⊥AO于C，由点B关于y轴的对称点的坐标为得出点B的坐标，依据等腰三角形的性质即可得到AC=OC=3，最后求得点A的坐标．
【详解】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，
∵点B关于y轴的对称点的坐标为，
∴B，
∵AB=OB，BC⊥AO，
∴AC=OC=3，
∴点A的坐标为（0，6），
故答案为：（0，6）．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
15． 135°/135度 90°/90度
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠2=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠3=45°，进而可得答案．
【详解】解：如图：
∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4=∠2，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故答案为：135°，90°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
16． 小 110°或80°
【分析】（1）由题意易得，由点D从B向C的运动过程中，逐渐变大可求解问题；
（2）由题意可分①若时，②若时，③若时，则点D与点B重合，点E与点C重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解；
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点D从向的运动过程中，逐渐变大，
∴逐渐变小；
故答案为：小；
（2）若时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
若时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
若时，则点D与点B重合，点E与点C重合，与题意矛盾，故不符合题意；
综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
【详解】解：在△CBA1中，∠B=40°，A1B=CB，
∴∠BA1C=（180°-∠B）=70°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×70°，
同理可得∠EA3A2=（）2×70°，
∠FA4A3=（）3×70°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n-1×70°．
故答案为：70°×．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
18．①②/②①
【分析】根据PR=PS，易证△APR≌△APS，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得∠PQS=∠BAC，结论②成立，△BPR和△QSP只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等；
【详解】解：△APR和△APS中，PR=PS，AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°，
∴△APR≌△APS，
∴AR=AS，∠PAR=∠PAS，
故①结论正确；
△QAP中，QA=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠PQC=∠QAP＋∠QPA=2∠QAP，∠QAB=2∠QAP，
∴∠PQC=∠QAB，
∴QP∥AR，
故②结论正确；
△BPR和△QSP仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等；
故答案为：①②
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出，再利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的性质并确定出全等三角形是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解．
【详解】（1）证明：
，
即 ，
在和中，
；
；
（2）由（）知：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得；
（2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则，．
（2）解：∵E是的中点，，
∴，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
22．见解析
【分析】先由，点D是的中点，推导得出垂直平分，则，，再由，得到，最后通过等量代换，证得．
【详解】证明：∵，D是的中点，
∴
∴垂直平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的相关性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）步骤①②③即为已知，求证是为的平分线．利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；
（2）先分别在量取线段，再连接，利用刻度尺找出的中点，然后作射线即可得，最后据此写出已知、求证即可．
【详解】解：（1）已知：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、；分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内相交于点；作射线．
求证：为的平分线．
证明：由作图可知，，
在和中，，
，
，
为的平分线；
（2）如图，即为的角平分线．
已知：分别在量取线段，连接，利用刻度尺找出的中点，作射线．
求证：为的角平分线．
证明：由作图可知，，为边上的中线，
为的角平分线（等腰三角形的三线合一）．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
24．(1)；
(2)①见解析；②三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：，理由见解析．
【分析】（1）设，则，进而由三角形的外角性质得，从而可得 ，，最后由三角形的内角和定理即可求解；
（2）①得，，即可证明CD垂直平分EF；②在CA上截取，连接DG，如图2所示，先证明得，，再由，， 得，从而得，即可得出结论．
【详解】（1）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①证明：由（1）得：，，
，
，，
，
，
，
，，
∴D点、C点均在EF是垂直平分线上，
∴CD垂直平分EF；
②三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：，理由如下：
在CA上截取，连接DG，如图2所示，
∵，
，，
，
，
，，
，
，
，，
由（1）得：，，
，
，
，
，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的判定及性质以及作出恰当辅助线转化线段的和差是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)不变，16
【分析】（1）连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF，所以△DEF是等腰直角三角形；
（2）由割补法可知S四边形CEFD=S△AFC，再利用面积公式计算．
【详解】（1）解：连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
（2）不变，理由是：
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF，
∴S四边形CEFD=S△AFC==16．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是根据题目添加辅助线，简化思路．
26．(1)A（3，0），B（0，6）；
(2)①BG⊥y轴，理由见解析；②OF=1.5．
(3)E（0，4）．
【分析】（1）先求出m，n的值，再确定A、B点的坐标即可；
（2）①先判断出△BDG≌△ADF，得出BG=AF，∠G=∠DFA，最后根据平行线的性质得出∠DFA=45°，∠G=45°，进而得到∠FBG=90°即可；②利用等腰三角形的性质，列立方程求解即可；
（3）如图2，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．由P点坐标可得NP=6，先证Rt△FME≌Rt△ENP可得ME=NP=6，进而得出OE即可确定点E的坐标．
【详解】（1）解：∵n2-12n+36+|n-2m|=0
∴（n-6）2+|n-2m|=0，
∴n=6，m=3，
∴A（3，0），B（0，6）．
（2）①BG⊥y轴，理由如下：
在△BDG与△ADF中，
∴△BDG≌△ADF
∴BG=AF，∠G=∠DFA
∵OC平分∠ABC，
∴∠COA=45°，
∵DE//OC，
∴∠DFA=45°，∠G=45°．
∵∠FOE=90°，
∴∠FEO═45°
∵∠BEG=45°，
∴∠EBG=90°， 即BG⊥y轴；
②从①可知，BG=FA，△BDG为等腰直角三角形．
∴BG=BE．
设OF=x，则有OE=x，
3+x=6-x，
解得x=1.5，
即：OF=1.5．
（3）解：如图2，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．
∵P（6，-6），F
∴NP=6，MO=10
要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF=EP，且∠FEP═90°，
∵∠FEP═90°
∴∠FEM+∠PEN=90°，又∠FEM+∠MFE=90°
∴∠PEN=∠MFE
∴Rt△FME≌Rt△ENP
∴ME=NP=6，
∴OE=10-6=4．
即存在点E（0，4），使△EFP为等腰直角三角形．
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、非负的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质等知识点，确定A、B的坐标是解答本题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由BF⊥BC，CE⊥AD，可得∠CAD=∠BCF，在利用ASA即可证明△ACD≌△CBF；
（2））过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，由△ACD≌△CBF，得∠ADC=∠F，CD=BF，再结合D为BC的中点，∠ACB=90°，AC=BC，利用SAS可推出△BDM≌△BFM，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BF⊥BC，CE⊥AD，
∴∠AEC=∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
在△ACD与△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（ASA）；
（2）证明：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，
由（1）知，△ACD≌△CBF，
∴∠ADC=∠F，CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠FBM=90°-45°=45°，
∴∠DBM=∠FBM，
在△BDM与△BFM中，
，
∴△BDM≌△BFM（SAS），
∴∠BDM=∠F，
∴∠BDM=∠ADC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，正确证出辅助线构造两个全等三角形是解题的关键．13.3.2 等边三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等 B．等腰三角形的两底角相等
C．对顶角相等 D．等边三角形的每个角都等于60°
2．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接，，，与交于点E，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．是等边三角形 D．垂直平分
4．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，直线，相交于点，夹角为．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离为，则度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．2.8
7．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
8．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向，与灯塔的距离为30海里的处，轮船沿正南方向以每小时20海里的速度航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则此时轮船从处到处所用的时间为（ ）
A．1小时 B．2小时 C．2.5小时 D．3小时
9．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．无法确定
10．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，是等边三角形，，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定形状
二、填空题
11．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在等边中，，D是边上一点，，则CD的长为 ．
12．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为 ．
13．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°，∠A=30°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）∠ABE== ；
（2）若BE=2，则AC= ．
14．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，中，，D、E是边上两点，且垂直平分平分，若，则的长为 ．
15．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．
（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是 三角形；
（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为 ．
16．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图所示，，点P为内一点，，分别作出点Р关于OA，OB的对称点，，连接交OA于M，交OB于N，则的周长为 ．
17．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，P是内一点，点M，N分别在边OA，OB上运动．若，，则的周长最小值为 ，此时的度数为 ．
18．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，和都是边长为3的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的长为 ．
三、解答题
19．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，中，，是中线，延长至E，使，若，求证：是等边三角形．
20．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．
(1)甲同学提出：___________度；
(2)乙同学提出：的面积为：___________；
(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，则有，请写出的直接依据：___________；
(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F，H，则有．请你为丁同学说明理由．
21．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图所示，点在内，点，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．
图1 图2
(1)猜想是哪种类型的三角形，并说明理由．
(2)的周长与的长有什么关系，请说明理由．
(3)拓展：若，，点在内，点，分别是点关于，的对称点，点，分别是射线、上的一点，连接、和．求周长的最小值．（用含的代数式表示）
22．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）在中，，点D、E分别是、上的点，且．
(1)图中有______对全等三角形．
(2)求的度数．
23．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
24．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，已知线段AC，BD相交于点E，连接AB，DC，BC，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．
(1)求证：AC＝BD；
(2)当∠CED＝120°时，猜想△BCE的形状，并说明理由．
25．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）如图所示，点是线段的中点，，．
(1)如图1，若，求证：是等边三角形；
(2)如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，①求证：；②求的长度；
(3)如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，请直接写出点的运动路径的长度．
26．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在中，，D、E是内两点，AD平分，，且．
（1）求的度数；
（2）若，求ED的长．
27．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？ ；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点D运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
28．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
参考答案：
1．C
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定与性质，对顶角的定义，等边三角形的判定与性质判断四个逆命题的真假即可．
【详解】解：A、“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形全等”，
此逆命题为真命题，不符合题意；
B、“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“两底角相等的三角形为等腰三角形”，
此逆命题为真命题，不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，
此逆命题为假命题，符合题意；
D、“等边三角形的每个角都等于60°”的逆命题为“每个角都等于的三角形为等边三角形”，
此逆命题为真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
2．C
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，此时最小，
∵是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∴，
即就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，最短线路问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．D
【分析】利用作图方法得到，，垂直平分，然后依次对四个选项进行判断．
【详解】由题中作图方法可知，，垂直平分，
∴，即和都是直角三角形．
A、在和中，∴，则该选项的结论正确，不符合题意；
B、在和中，∴，则该选项的结论正确，不符合题意；
C、∵，∴是等边三角形，则该选项的结论正确，不符合题意；
D、无法判断是否垂直平分，则该选项的结论错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作线段垂直平分线的应用、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握这些判断方法、性质，尤其是要正确理解垂直平分线的判定内容．
4．D
【分析】连接，得出，根据已知条件得出是等边三角形，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
依题意，，
∴，即
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点，，
∴，
∵，，之间的距离为2.8，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，得出是等边三角形是解题的关键．
5．C
【分析】根据，可得是的外角，是的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是，即可得到答案．
【详解】解：，
，
是等边三角形，
，
．
又，
．
故选C
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质是解题的关键．
6．A
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质知是等腰三角形；然后证明是直角三角形，利用30度角所对的直角边是斜边的一半即可求得与间的数量关系，最后通过等量代换即可求得，从而求得线段的长度．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题综合考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及三角形内角和定理．利用含30度角的直角三角形的性质得出是解题的关键．
7．A
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2≤AP≤4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
8．D
【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用含30°直角三角形的性质可求得AB的长，从而得到答案．
【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
∴AB=2AP=60(海里)，
∴轮船从A处到B处所用的时间为=3(小时)，
答：则此时轮船从A处到B处所用的时间为3小时，
故选：D．
【点睛】本题考查含30度的直角三角形的性质，方位角，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据正六边形的外角等于60°，可得，即可求解．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，
∴，
△GAF是等边三角形，
故选B
【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定，掌握正多边形的每个外角相等是解题的关键．
10．B
【分析】先证明△A BE≌△A CD得AE=AD，∠EAD=∠BAE=60°，从而得△ADE的形状是等边三角形，即可得出结论．
【详解】解： △ABC是等边三角形，
AB=AC，∠BAC= 60°，
在△ABE与△ACD中，
，
△A BE≌△A CD ( SAS)，
AE=AD，∠EAD=∠BAE=60°，
△ADE的形状是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△ACD是解题的关键.
11．
【分析】根据等边三角形的性质得出，，再根据三角形的内角和可求出，然后根据三线合一得出即可得出答案．
【详解】为等边三角形
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和、等腰三角形三线合一，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．6
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE=30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=30°，
∵EC=1.5，
∴CD=2EC=3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD=CD=3，
∴AB=AC=AD+CD=6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．掌握等边三角形的性质是解题的关键．
13． 30°/30度 3
【分析】（1）根据中垂线的性质求解即可；
（2）由EB=EA，BE=2，可知AE=2，进而可知∠ABE=30°，DE⊥AB，则，由∠C=90°，∠A=30°，则∠ABC=60°，则∠CBE=∠ABE=30°，由BE⊥BC，DE⊥AB，知CE=DE=1，则AC=AE+CE=3．
【详解】解：（1）∵直线DE是边AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠ABE=∠A=30°，
故答案为：30°；
（2）∵EB=EA，BE=2，
∴AE=2，
∴∠ABE=30°，DE⊥AB，
∴，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABE=30°，
∴∠CBE=∠ABE=30°，
∵BE⊥BC，DE⊥AB，
∴CE=DE=1，
∴AC=AE+CE=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查中垂线的性质，含30°角的直角三角形的三边关系，能够熟练掌握含30°角的直角三角形的三边关系是解决本题的关键．
14．6
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE=CB，∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠BCD=∠ACB=30°，则∠A=30°，然后可得答案．
【详解】解：∵CD垂直平分BE，
∴CE=CB，∠BDC=90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD=∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE，而∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB=30°，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵，
∴AB=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15． 等边 6
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；
（2）证明△ACE≌△CBG（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AAS），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．
【详解】解：（1）∵BC＝2BD，
∴BD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∵点D关于直线AC的对称点为点E，
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：等边；
（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．
∴△ACD≌△ACE，
∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，
∵BG＝CD，
∴CE＝BG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，
∴∠ACD＝∠GBC＝120°，
∴∠ACE＝∠GBC＝120°，
∴△ACE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，
∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，
∴∠BCE+∠BGC＝180°，
∴BG∥CE，
∴∠G＝∠FCE，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△CEF≌△GBF（AAS），
∴CF＝GF，
∴CF＝CG＝AE＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
16．8
【分析】连接P2O、P1O，点P关于OA，OB的对称点为P1，P2，可得∠PON=∠P2ON，∠POM=∠P1OM，OP2=OP=8=OP1，P2N=PN，P1M=PM，根据∠MON=30°，知∠P2OP1=60°，从而△P2OP1是等边三角形，即得P2P1=OP2=OP1=8，故△PMN的周长为PN+MN+PM=P2N+MN+P1M=P2P1=8．
【详解】连接P2O、P1O，如图：
∵点P关于OA，OB的对称点为P1，P2，
∴∠PON=∠P2ON，∠POM=∠P1OM，OP2=OP=8=OP1，P2N=PN，P1M=PM，
∴∠P2ON+∠P1OM=∠PON+∠POM=∠MON=30°，
∴∠P2OP1=（∠P2ON+∠P1OM）+∠MON=30°+30°=60°，
∴△P2OP1是等边三角形，
∴P2P1=OP2=OP1=8，
∴△PMN的周长为PN+MN+PM=P2N+MN+P1M=P2P1=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键．
17． 120°
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，∠MCO=∠MPO；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠NDO=∠NPO，
∴，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=，∠NDO=∠NPO=60°，∠MCO=∠MPO=60°；
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=，∠MPN=∠MPO+∠NPO=120°；
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，解题的关键是理解△PMN周长最小的条件．
18．
【分析】根据等边三角形的性质可得CD＝CB，再根据等边对等角的性质求出∠BDC＝∠DBC＝30°，然后求出∠BDE＝90°，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝3，BE＝6，
∴BD＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，求出△BDE是直角三角形是解题的关键．
19．见解析
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而求出，，因为在中，，即可证明是等边三角形．
【详解】
∵中，，是中线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形
【点睛】本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的性质的知识．解题的关键是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数．
20．(1)
(2)25
(3)角平分线的性质
(4)见解析
【分析】（1）利用等边对等角，进行计算即可；
（2）过点作，交于点，根据所对的直角边，是斜边的一半，求出的长，再利用面积公式进行计算即可；
（3）利用等腰三角形三线合一，以及角平分线的性质，作答即可；
（4）利用等积法，进行证明即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（2）解：过点作，交于点，则：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：连接，
法一：∵，点D为边的中点，
∴平分，
∵，，
∴（角平分线上的性质）；
故答案为：角平分线的性质；
法二：∵，点D为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴（全等三角形的性质）；
综上：可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到；
故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质；
（4）证明：连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
即：，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，含的直角三角形，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形等边对等角，三线合一，是解题的关键．
21．(1)等腰三角形，见解析
(2)的周长等于的长，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明为等腰三角形即可；
（2）根据、分别是点关于、的对称点得到，，进而得到
的周长等于的长；
（3）根据得到，进而可求得周长的最小值．
【详解】（1）解：是等腰三角形
如图，连接，
点，分别是点关于，的对称点，
，，
，
即是等腰三角形；
（2）解：的周长等于的长，
、分别是点关于、的对称点，
，，
的周长；
（3）解：最小值为
，
，
为等边三角形，
，
由（2）知，当点，恰在上时，的周长最小，此时，．
的周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
22．(1)2
(2)
【分析】（1）利用可证明，，即可得出结论；
（2）由，得是等边三角形，则，证即可得，则，即可由三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴图中有2对全等三角形；
（2）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
23．(1)＝
(2)＝，解答过程见解析
(3)CD＝1或3
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EFBC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线上时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，AE＝BE，
∵ED＝EC，
∴∠BDE＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝DB．
故答案为：＝．
（2）过E作EFBC交AC于F，如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝DB，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AMEN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AMEN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，∠BAM＝30°，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AMEN，
∴∠BEN＝∠BAM＝30°，
∴BN＝BE＝（AB＋AE）＝，
∴MN＝BN－BM＝1，
∴CN＝MN－CM＝1，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意不要漏解．
24．(1)见解析
(2)△BCE为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由“ASA”可证△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得，根据等角对等边可得BE=EC，进而根据∠CED＝120°，可得∠CEB＝60°即可判定△BCE为等边三角形．
【详解】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；
∴AC＝BD
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴，
∴EB=EC，
∠CED＝120°，
∠CEB＝60°
∴△BCE为等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②18
(3)18
【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，根据等边三角形的判定定理证明结论；
(2)①根据等边三角形的性质及角的计算，即可证得△BAD≌△BCQ；②根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAD=60°，根据含30°的直角三角形的性质计算即可；
(3)取BC的中点H，连接OH，连接CN，分M在BH上、M在HC上两种情况，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∵点是线段中点，，
∴
∴是等边三角形．
（2）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，
∴
②解：∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵点是线段中点，，
∴，
∴．
（3）解：取BC的中点H，连接OH，连接CN，
分两种情况讨论：
当M在线段BH上时，如图2，
∵H是BC的中点，，
∴，
∴是等边三角形，OH=OC
∵是等边三角形，
∴，OM=ON，，
∴，，
∴
在与中，
∴，
，
∴点N从起点到C做直线运动，
∵当点M在点B时，CN=BH=9，
∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；
当点M在线段HC上时，如图3，
∵H是BC的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，OM=ON，，
∴，
∴，
在与中，
∴，
，
∴点N从到终点做直线运动，
∵当点M在点C时，CN=CH=9，
∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；
综上所述，点N的路径长度为：9+9=18，
故点N的运动路径的长度为18．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，30°直角三角形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
26．（1）；（2）
【详解】（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于点H，由可得是等边三角形，从而得到，．由，AD平分可得，从而可得，根据对顶角相等即可得到；
（2）由可得，根据等腰三角形的性质（三线合一）可得，从而可得．在中，由可得，由此即可求出ED的长．
答案：解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于点H，如图．
∵，∴是等边三角形，∴，．∵，AD平分，∴，即，
∴，∴；
（2）∵，∴．
∵，AD平分，
∴，∴．
在中，∵，∴，
∴．∴ED的长为．
易错：．
错因：没有找对角的对边．
满分备考：由联想到构造等边三角形是解决本题的关键．
27．（1）等边三角形；（2）AC+CD＝CE，证明见解析；（3）点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2．
【分析】（1）由旋转变换的性质即可求解．
（2）证明△ABD≌△ACE得到BD＝CE，结合△ABC是等边三角形即可求解．
（3）△DEC的周长≥BC+DE，且当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小代入数值即可求解．
【详解】（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）AC+CD＝CE，
证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，
当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE，
当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE，
∴△DEC的周长≥BC+DE，
∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，
∴AD的最小值为，
∴△DEC的周长的最小值为4+2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质等知识点，以及三角形有关的动点问题，理解题意将题目中的线段转化是解题的关键．
28．（1）①AE＝BF；②见解析；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF
【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF＋CD；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF，
故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邯郸·八年级期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.
A． B．
C． D．
4．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，正方形网格中有M、N两点，在直线上求点P使最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）某市计划在公路旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是( )
A．13 cm B．6.5 cm
C．30 cm D．6cm
二、填空题
10．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是 ．
三、解答题
11．（2022秋·河北沧州·八年级期末）如图．
(1)画出关于y轴对称的图形；
(2)若点在内，其关于y轴对称的点的坐标为______；
(3)在y轴上作出一点M，使的值最小．
12．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）计算：在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作关于y轴成轴对称的，并写出的坐标；
(2)在y轴上有一点P，使的值最小，请在坐标系中标出点P的位置．
13．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测的灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？
14．（2022秋·河北唐山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．
(1)将向右平移3个单位，得，画出，并写出点的坐标；
(2)在轴上找一点，使得的值最小；
(3)分别作关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形，它们的对应点的坐标之间有什么关系？
15．（2022秋·河北石家庄·八年级期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，若点，则点的坐标________；
(2)若将向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点的坐标变为________；（无需画图）
(3)图中格点的面积是________；
(4)在轴上找一点，使得最小，请画出点的位置，并直接写出的最小值是________．
16．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图所示，△ABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）
(1)直接写出点A的坐标A（ ， ）；
(2)画出△ABC关于轴对称的；
(3)在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积．
(4)在直线y轴上找一点P，使得PA+PC最小，请画出点P．（用虚线保留画图痕迹）
17．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）在中，，，，点D、点E分别在边和边上，且，，请在边上确定一点M，使得的周长小．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案：
1．C
【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可．
【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽，
连接，与另一条河岸相交于F，作于点E，
则且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
2．C
【分析】根据轴对称的性质及最短路径问题解答．
【详解】解：解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．
3．C
【分析】根据轴对称分析即可得到答案.
【详解】根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，
故选：C.
【点睛】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.
4．C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
【详解】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值的最小值，
，
当时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
5．B
【分析】根据题意点B关于直线的对称点为点C，故当点P在上时，有最小值，求解即可．
【详解】连接，
垂直平分，
，
，
当A、P、C在一条直线上时，有最小值，最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题的应用，明确A、P、C在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
6．C
【分析】利用轴对称思想，作出点M关于直线的对称点E，连接，其经过的点是C点，判断选择即可．
【详解】作出点M关于直线的对称点E，连接，
其经过的点是C点，
故选C．
【点睛】本题考查了线段和最短问题，熟练掌握轴对称性质，准确构造对称确定点的位置是解题的关键．
7．B
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．
【详解】作点A关于直线的对称点，连接交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．
故选B
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．
8．D
【分析】连接BE，依据是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
【详解】如图，连接BE，
∵点D是AB边的中点， l⊥AB，
∴l是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，
∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
9．B
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，解直角三角形即可得AC的值．
【详解】解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）
∴∠ADC=30°（外角性质）
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键．
10．3
【分析】由于点G关于直线EF的对称点是A，所以当B、P、A三点在同一直线上时，BP+PG的值最小,此时△BPG的周长的最小．
【详解】解：由题意得AG⊥BC，点G与点A关于直线EF对称，
连接PA，则BP＋PG＝BP＋PA，
所以当点A，B，P在一条直线上时，BP＋PA的值最小，最小值为2．
由题可得BG＝1，
因为△BPG的周长为BG＋PG＋BP，
所以当BP＋PA的值最小时，△BPG的周长最小，最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置时，使PC+PD的值最小是关键．
11．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用关于轴对称点的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）点在内，其关于轴对称的点的坐标为；
故答案为：；
（3）如图所示：点即为所求．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
12．(1)见解析，
(2)见解析
【分析】（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点，连接即可；
（2）连接，与y轴交点即为点P．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：连接交y轴于一点，即为所求的点P．
【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换和最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
13．（1）轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；（2）14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【分析】（1）根据轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上，可以得到BA=BM，从而可以得到答案；
（2）计算出BC的长度，根据∠CBM=60°可以判断△ABM为等边三角形，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意可知BA=28×0.5=14海里，
因为此时灯塔M在北偏东60°的方向上，
根据三角形外角定理可以得到∠BAM=∠M
所以BA=BM=14海里，
即轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（1）
轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，
所以BC=28×05=14海里，
所以BC=BM
又因为∠CBM=60°
所以△ABM为等边三角形
所以CM=14海里
所以灯塔M在轮船的南偏东60°方向
【点睛】本题考查的是等腰三角形判定与性质和等边三角形的判定与性质，能够判断出△BAM为等腰三角形和△BCM为等边三角形是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析，
【分析】（1）首先确定、、三点向右平移3个单位后对应点的位置，再连接即可得到，写出点的坐标；
（2）作点关于轴对称的点，连接交轴于点，点即为所求；
（3）由直线上各点的横坐标都为1可得为直线，确定、、三点关于对称对应点的位置，再顺次连接即可，由轴对称的性质可得对应点的坐标之间的关系．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）作点关于轴对称的点，连接交轴于点，点即为所求；
（3）直线上各点的横坐标都为1，
直线为直线，
如图所示，即为所求，
上的点关于直线对称的点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，轴对称变换，最短距离，解题的关键是掌握平移的性质，轴对称变换的定义和性质，找到变换后的点的位置是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)5
(4)见解析，
【分析】（1）根据第一象限点的坐标特征写出点坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律求解；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积；
（4）作点关于轴的对称点，然后计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，点点坐标为；
故答案为：；
（2）解：由平移的法则，则
将向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点的坐标变为；
故答案为：；
（3）解：图中格点的面积是：
；
故答案为：5；
（4）解：如图，点P为所作：
∴最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图——平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了最短路径问题．
16．(1)A（ -2，3）
(2)见解析
(3)3.5
(4)见解析
【分析】(1)根据坐标与象限的关系，确定坐标即可．
(2)确定A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，再确定(2，3)， (5，2)， (1，1)，依次连接即可．
(3) 利用构造矩形后用分割法计算面积．
(4) 先确定点A关于y轴的对称点，连接对称点与点C，与y轴的交点即为所求．
【详解】（1）根据题意，得点A在第二象限，
∴A(-2，3)，
故答案为：-2，3．
（2）如图，∵A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，
∴它们关于y轴的对称点，依次为(2，3)， (5，2)， (1，1)，
∴顺次连接 ，，，
则即为所求．
（3）如图，补形矩形DEF，
∴的面积为：4×2-
=．
（4）如图，
∵点A关于y轴的对称点是，
∴连接C，交y轴于点P，
则点P的位置即为所求．
．
【点睛】本题考查了坐标与象限，点关于y轴对称，坐标系中图形面积的计算，线段和最小的构造法，熟练掌握点的对称点的坐标特点，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
17．见解析
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作E关于AC的对称点E1，根据两点之间线段最短，连接E1D，可得M点的位置．
【详解】①作E关于AC的对称点E1，
②连接E1D交AC于点M，M点即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，明确 在同一直线时的周长最小是解题的关键．
