§3.1.1 方程的根与函数的零点
课时：1课时 编制：白少满、张慧 审核： 王峰峰 编号：017A
【学习目标】
1. 结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系；掌握判定函数零点存在的条件，并能简单应用；
2. 通过学习，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思考问题的方法.
教学重点与难点：函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。
【情景导入】
认真阅读教材P86---P87页内容，思考：通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与x轴的交点的关系归纳一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有什么关系？
【探索新知】
一、1．函数的零点的概念：
对于函数y＝f(x)，把 叫做函数y＝f(x)的零点。
注: 函数的零点是一个实数，而不是一个点。
2．方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0 函数y＝f(x)的图象
函数y＝f(x) 。
练习：
l．函数y＝x－1的零点是 ( )
A．(1,0) B．(0,1) C．0 D．1
2．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是_______
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是 ( )
A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1
4．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
二、认真阅读教材P87---P88页内容，探究：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
1观察二次函数的图象，我们发现函数在区间上有零点。计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？
2猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。
3．函数零点存在定理：
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
例1、求证:函数f(x)=2x２-3x-2 有两个零点。
【达标检测】：
1．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是 ( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(1，)和(3,4) D．(e，＋∞)
2．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点。
3.讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点。
4若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________。
【选做题】若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝lnx＋2x－6，试判断函数f(x)的零点个数。交城中学高一年级数学上017B
§3.1.2用二分法求方程的近似解教师版
课时：1课时 编制： 牛来双、吕二诚 审核： 王峰峰 编号：017B
【学习目标】
1. 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。
2. 了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
教学重点与难点：用二分法求方程的近似解。
【情景导入】
今天 大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x22x1=0；（2）lgx=3x；（3）x33x1=0。
实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。
【探索新知】
认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。回答下面问题：
1、什么叫做二分法：
2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？
例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
3．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定 ，验证 ，给定 ；
(2)求区间 ；(3)计算 ；
①若 ，则c就是函数的零点；
②若 ，则令 (此时零点x0∈(a，c))；
③若 ，则令 (此时零点x0∈(c，b))。
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
4．求函数零点的近似值时，所要求的 精确度 不同，得到的结果也不相同，精确度ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若 |a－b|<ε ，即认为已达到所要求的精确度，否则应继续计算，直到达到精确度为止。
5．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个中点坐标、 计算中点的函数值、所取区间等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间。
例2、用二分法求方程lgx=3x的近似解（精确度为0.1）。
如何判断根所属的区间：
可先把方程转化为lgx+x3=0，再设f(x)=lgx+x3，由f(2.5)＜0，f(3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内．解决了这个困难，顺利进入了不断二分区间的环节，建议可用表格形式来完成求解过程，即：
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3） <0，>0 2.5 <0
（2.5，3） f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.75)>0
（2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0
（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0
由于，所以原方程的近似解为x1≈2.5625
注：(1)若方程的根可以转化为两个函数图象交点的横坐标，也可以通过两个函数图象的交点，确定原方程的根所在的大致区间，再用二分法求解。
(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值。用二分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的条件及要求的精确度。
【达标检测】：
1. 下列函数中能用二分法求零点的是 ( C )
2.求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)。
解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：
由上表的计算可知，区间[1.6875,1.75]的长度1.75－1.6875＝0.0625<0.1，所以x4＝1.6875就是函数的一个正数零点的近似值．
3．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间 ( A )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
【选做题】中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间。选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了。表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解：取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价§3.1.2用二分法求方程的近似解
课时：1课时 编制： 牛来双、吕二诚 审核： 王峰峰 编号：017B
【学习目标】
1. 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。
2. 了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
教学重点与难点：用二分法求方程的近似解。
【情景导入】
今天 大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x22x1=0；（2）lgx=3x；（3）x33x1=0。
实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。
【探索新知】
认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。回答下面问题：
1、什么叫做二分法：
2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？
例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
3．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定 ，验证 ，给定 ；
(2)求区间 ；(3)计算 ；
①若 ，则c就是函数的零点；
②若 ，则令 (此时零点x0∈(a，c))；
③若 ，则令 (此时零点x0∈(c，b))。
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
4．求函数零点的近似值时，所要求的 精确度 不同，得到的结果也不相同，精确度ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若 |a－b|<ε ，即认为已达到所要求的精确度，否则应继续计算，直到达到精确度为止。
5．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个中点坐标、 计算中点的函数值、所取区间等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间。
例2、用二分法求方程lgx=3x的近似解（精确度为0.1）。
注：(1)若方程的根可以转化为两个函数图象交点的横坐标，也可以通过两个函数图象的交点，确定原方程的根所在的大致区间，再用二分法求解。
(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值。用二分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的条件及要求的精确度。
【达标检测】：
1. 下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
2.求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)。
3．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间 ( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25) C．(1.5,2) D．不能确定
【选做题】中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间。选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了。表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？交城中学高一年级数学上017A
§3.1.1 方程的根与函数的零点教师版
课时：1课时 编制：白少满、张慧 审核： 王峰峰 编号：017A
【学习目标】
1. 结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系；掌握判定函数零点存在的条件，并能简单应用；
2. 通过学习，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思考问题的方法.
教学重点与难点：函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。
【情景导入】
认真阅读教材P86---P87页内容，思考：通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与x轴的交点的关系归纳一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有什么关系？
【探索新知】
一、1．函数的零点的概念：
对于函数y＝f(x)，把 叫做函数y＝f(x)的零点。
注: 函数的零点是一个实数，而不是一个点。
2．方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0 函数y＝f(x)的图象
函数y＝f(x) 。
练习：
l．函数y＝x－1的零点是 ( D )
A．(1,0) B．(0,1) C．0 D．1
2．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是____4、-1____
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是 ( B )
A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1
4．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( A )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
二、认真阅读教材P87---P88页内容，探究：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
1观察二次函数的图象 我们发现函数在区间上有零点。计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？
2猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。
3．函数零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根。
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
例1、求证:函数f(x)=2x２-3x-2 有两个零点。
【达标检测】：
1．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是 ( B )
A．(1,2) B．(2,3) C．(1，)和(3,4) D．(e，＋∞)
2．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点。
解：由题意知方程f(x)＝x2－ax－b的两个根是2和3，所以a=5,b=-6,故g(x)＝-6x2－5x－1=0,解得两根为 -1/2，-1/3.因此零点为-1/2，-1/3.
3.讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点。
解：(1)当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2；
(2)当a＝时，则由(x－1)(x－2)＝0，解得x＝2，则其零点为x＝2；
(3)当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，解得x＝或x＝2，则其零点为， 2.
4若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________。
解：由f(x)＝ax－x－a＝0，可得ax＝x＋a，
设y1＝ax，y2＝x＋a，由题意可知，两函数的图象有两个不同的交点，分两种情况：
①当0
1时，如下图：
不合题意； 符合题意．
综述，a的取值范围为(1，＋∞)．
【选做题】若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝lnx＋2x－6，试判断函数f(x)的零点个数。
解法一：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝lnx＋2x－6.
∴当x<0时，－x>0，f(－x)＝ln(－x)－2x－6
即－f(x)＝ln(－x)－2x－6，
∴f(x)＝－ln(－x)＋2x＋6，
∴函数f(x)的解析式为：
f(x)＝.易得函数f(x)有3个零点．
解法二：当x>0时，在同一坐标系中作出函数y＝lnx和y＝6－2x的图象，由图象的对称性以及奇函数性质可知，函数f(x)在R上有3个零点．