21.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）用配方法解方程，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）将方程化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（ ）
A．7 B． C． D．
5．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1、2、﹣3 B．1、2、3 C．1、﹣2、3 D．1、﹣2、﹣3
6．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学期末）判断下列关于x的方程，是一元二次方程的（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
9．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）若关于x的方程的一个根是，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
10．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是( )
A．﹣6 B．6 C． D．2
二、填空题
11．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）已知是关于x的一元二次方程，则m= ．
12．（2022秋·河北保定·九年级期末）关于的方程是一元二次方程，则 ．
13．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）已知是一元二次方程的一个根，则 ．
14．（2022秋·河北保定·九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为 ．
15．（2022秋·河北保定·九年级期末）若m是方程的一个根，则的值为 ．
三、解答题
16．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
17．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．2x2﹣1＝3x是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．x2+﹣3＝0是分式方程，故此选项不符合题意；
D．2x2﹣y＝1是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．A
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．不是整式方程，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3．D
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．B
【分析】首先移项，再确定一次项系数即可；
【详解】解：由得：，所以一次项系数为，
故选择：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何关于的一元二次方程经过整理，都可以化为的形式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项．
5．D
【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：∵一元二次方程可化为：，
∴二次项系数为1、一次项系数为﹣2、常数项为﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a≠0），其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
6．C
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
【详解】解：A、不符合一般形式，故A错误；
B、不符合一般形式，故B错误；
C、是一般形式，故C符合题意；
D、不符合一般形式，故D错误；
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
7．C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】把x＝a代入一元二次方程，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．
【详解】解：把x＝a代入一元二次方程，得
a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a=6，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．
9．A
【分析】将代入，在化简即可得出答案．
【详解】将代入，得：，
∵，
∴，即．
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握方程的解即是使等式成立的未知数的值是解题关键．
10．B
【分析】把x=代入方程x2-3x+c=0，求出所得方程的解即可．
【详解】把x=代入方程x2-3x+c=0得：3-9+c=0，
解得：c=6，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于c的方程．
11．-2
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．1
【分析】根据一元二次方程的定义，列出式子解答即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
∴，
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
13．
【分析】方程的根代入原方程能使方程左右两边相等，所以只需把代入原方程即可求解．
【详解】∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，本题逆用一元二次方程解的定义是解题的关键．
14．2020
【分析】把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
，
．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．2023
【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可．
【详解】解：由题意知：，即，
∴
=2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．
16．(1)是，理由见解析
(2)4或16
【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；
（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．
【详解】（1）解：方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程；
（2）解：由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
17．6
【分析】把代入方程，得出，再整体代入求值即可．
【详解】解： = ．
∵ a是方程的根
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 = 6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．21.2 解一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成(x+a)2=b的形式，则变形正确的是( )
A．(x+4) 2=11 B．(x-4) 2=21 C．(x-8) 2=11 D．(x-4) 2=11
4．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
5．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C．， D．，
8．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
9．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）关于x的方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
11．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）把方程x2-2x-4=0用配方法化为(x+m)2=n的形式，则m= ，n= ．
12．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的 ．
13．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）将方程化成一般形式是 ，方程根的情况是 ．
14．（2022秋·河北承德·九年级期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 ．
15．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）若a（a-3）与2（3-a）互为相反数，则a= ．
16．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）关于x的方程，若，则此方程根为 ；若此方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ；
17．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个根，则代数式x12+x22的值为 ．
18．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）已知方程x2﹣3x＋1＝0的根是x1和x2，则x1＋x2﹣x1x2＝ ．
三、解答题
19．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）解方程：
(1)用配方法解方程：；
(2)用公式法解方程：．
20．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）定义新运算“※”：a※b＝2ab（ab≠0），
(1)3※（﹣2）的值为 ；
(2)求满足x※x+2※x﹣2※4＝8的x的值．
21．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程●常数项部分看不清楚．
(1)若小红做题时把●猜成了2，请帮小红求出方程的根；
(2)若此方程有实数根，求●的取值范围．
22．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
23．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）规定：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)解方程，
(2)方程___________（填“是”或“不是”）“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”______________．
24．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）嘉嘉解方程的过程如图14所示．
(1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．
25．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）解方程：
(1) ；
(2) ；
26．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
参考答案：
1．D
【分析】根据直接开平方解方程即可．
【详解】
，
所以，．
故选：D．
【点睛】本题考查直接开平方解一元二次方程，关键是理解平方根的意义．
2．B
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．D
【分析】将一元二次方程x2-8x+5=0，移项，配方，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是本题的关键．
4．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，即可得出答案．
【详解】解：设被污染的数为a，
根据题意可得：，
解得：，
则被污染的数可能是3，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，得出．
5．D
【分析】先计算方程根的判别式得到，再计算方程的判别式得出，最后根据根的判别式意义判断方程根的情况．
【详解】有两个相等的实数根，
，
一元二次方程，即，
，
使用方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6．D
【分析】已知是“凤凰”方程，则有，方程有两个相等的实数根，则有，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，且，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“凤凰”方程的定义和方程有两个相等的实根可找出系数间的关系是解题的关键．
7．D
【分析】首先移项，将方程右边移到左边，再提取公因式x，可得，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
8．C
【分析】根据题中所给定义得到，得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可.
【详解】函数，方程，
，
，
，
，，
，，
故选：C．
【点睛】本题考查定义新运算及解二元一次方程，注意利用题中所给新定义把新运算转化为所学函数是解决问题的关键.
9．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答．
【详解】解：关于x的方程的两根分别为，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
10．C
【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得，，将整理成，代入即可求解．
【详解】解：∵，为一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键．
11． （1）-1； （2）5.
【分析】用“配方法”把方程x2-2x-4=0化为(x+m)2=n的形式即可得到m、n的值.
【详解】解：把方程，
移项得：，
配方得：，
∴，即m=-1，n=5.
故答案为（1）-1；（2）5.
【点睛】掌握“配方法解一元二次方程的一般步骤”是正确解答本题的关键.
12．②③④
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：若c是方程的一个根，则，
∴，
∴或，故①错误；
若方程有两个不相等的实根，则，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确；
若，则，即：
∴，即：，
∴它有一根为，故③正确；
若，则，
即：，
∵，∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形．
13． 有两个不相等的实数根
【分析】将原方程去括号、合并同类项化成一元二次方程的一般式即可，再根据判别式判断根的情况．
【详解】解：将方程化成一般形式是x2-5x+5=0．
∴a=1，b=-5，c=5
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：x2-5x+5=0，有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式和判别式，是基础题．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．
当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
14．
【分析】先用换元法得到一元二次方程，注意，然后用因式分解法解一元二次方程，保留有意义的根，舍去不符合题意的根
【详解】∵，
∴令，则，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案为：，
【点睛】本题考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，注意隐含条件的判断是解决问题的关键
15．3或2/2或3
【分析】根据相反数得出方程a（a-3）+2（3-a）=0，再求出方程的解即可．
【详解】解：根据题意得：a（a-3）+2（3-a）=0，
∴a（a-3）-2（a-3）=0，
∴（a-3）（a-2）=0，
∴a-3=0或a-2=0，
解得：a=3或2，
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查了相反数和解一元二次方程，能正确根据因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．
16． /
【分析】若，得到关于x的方程，解方程即可得解；若方程有两个不相等的实数根，则利用根的判别式即可得到m的取值范围．
【详解】解：若，得到关于x的方程，
∵
∴ 或
∴，
若方程有两个不相等的实数根，则
解得
故答案为：，；．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及根的判别式应用，熟练掌握方程的解法和判别式的用法是解题的关键．
17．13
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=﹣2，
所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=32﹣2×（﹣2）=13．
故答案为：13．
18．2
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
【详解】解：∵方程x2﹣3x＋1＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1＋x2＝3、x1 x2＝1，
∴x1＋x2﹣x1x2＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
19．(1)，；
(2)．
【分析】（1）移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（2）找出系数a、b、c，再计算，代入公式求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
∴，，
解得：，；
∴方程的根为：，；
（2）解：
∵，，，
∴，
∴，
∴方程的根为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法并按照要求解方程是关键．
20．(1)﹣12；
(2)x1＝﹣1，x2＝﹣1．
【分析】（1）根据a※b＝2ab，可以求得3※（﹣2）的值；
（2）根据a※b＝2ab和x※x+2※x﹣2※4＝8，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵a※b＝2ab，
∴3※（﹣2）
＝2×3×（﹣2）
＝﹣12，
故答案为：﹣12；
（2）∵a※b＝2ab（ab≠0），x※x+2※x﹣2※4＝8，
∴2x2+2×2x﹣2×2×4＝8，
整理得，x2+2x﹣12＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
21．(1)；
(2)●的取值范围为不小于的所有实数
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）设●表示的数为m，由一元二次方程有实数根的条件即可求得m的取值范围，从而可求得结果．
【详解】（1）解：由题意得原方程为：2x2＋3x－2＝0
∵
∴
∴
（2）设●表示的数为m，则方程为2x2＋3x﹣m＝0
∵此方程有实数根
∴≥0
即≥0
解得m≥
即●的取值范围为不小于的所有实数
【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的特点选择恰当的方法来解是关键，掌握一元二次方程根与判别式的关系也是关键．
22．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法解答即可．
（2）提公因式，然后解方程即可得出结果．
【详解】（1）方程可化为：，
因式分解得：，
得到：或，
解得：，．
（2），
提公因式得：，
化简得：，
得到：或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
23．(1)，
(2)不是；．（答案不唯一）
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
【详解】（1）解：原方程化为：，
则或，
∴，；
（2）解：∵，，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为，因为它的两个根是，，满足.
故答案为：不是；．（答案不唯一）
【点睛】本题考查解一元二次方程，理解题中新定义，掌握一元二次方程的解法步骤是解答的关键．
24．(1)配方法；二
(2)，
【分析】（1）根据配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；
从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法；二
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：将方程左边因式分解可得，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
（2）解：将方程左边因式分解可得，
，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
26．（1），；（2）证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】解：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1 x2，要记牢公式，灵活运用．21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
3．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）2023年是我国全面推进乡村振兴开局之年．为了解某县助推乡村振兴的投资收益情况，现对投资项目的收益进行统计，结果显示收益从2020年的1000万元，增加到2022年的1960万元，则该县平均每年的收益增长率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）某校连续三年开展植树活动，第一年植树棵，第三年植树棵，设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·河北衡水·九年级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”敦厚可爱，深受大家欢迎．某生产厂家1月份平均日产量为20000个，随着冬奥会的举行，“冰墩墩”一路走红，供不应求．为满足市场需求，工厂决定扩大产能，3月份平均日产量达到33800个，设1至3月份冰墩墩日产量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）某市2019年底森林覆盖率为45%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，弘扬“塞罕坝”精神．该市大力开展植树造林活动，2021年底森林覆盖率达到80%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）某书店第一天销售本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为本，若设每天的增长率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28 B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28 D．50（1﹣x2）＝28
9．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2020年植树造林2000亩，计划2022年植树造林2880亩．者设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的35元提到了55元．设平均每次提价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．55 （1+x）2=35 B．35（1+x）2=55
C．55（1﹣x）2=35 D．35（1﹣x）2=55
12．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( )
A． B．或 C． D．或
14．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
16．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·河北沧州·九年级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，如果设每个支干长出个小分支那么依题意，可以列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）常态化防疫形势下，某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请x个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请x个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为 ．
20．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元（新华网）．假如每一个5年里人均增长率不变，则人均增长率约为多少？设人均增长率为x，根据题意可列方程 ．
21．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量增长了，则2月份口罩的生产数量为 万个．为应对“新冠”疫情，计划通过两个月增加口罩的数量，预计到4月份时月产量达到60.5万个，设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，则可列出方程 ．
22．（2022春·河北石家庄·九年级期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm，此盒子体积是 ．
23．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，则小路的宽为 ．
24．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为 ．
25．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛．则共有 支球队参赛．
三、解答题
26．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
27．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．
(1)若某天该商品每件降价元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价元，则商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）；
(3)要使商场日盈利达到元，则每件商品应降件多少元？
28．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）2022年4月24日，第七个“中国航天日”，主题是“航天点亮梦想”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十三号”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型每降低1元，平均每天可多售出2个．
(1)若每个模型降价4元时，平均每天可售出多少个模型？此时每天销售获利多少元？
(2)在每个盈利不少于25元的前提下，要使该模型每天销售获利为1200元，同每个模型应降价多少元？
(3)该模型每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．
29．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．
（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表．
时间 第一个月 第二个月
每套销售定价（元）
销售量（套）
（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少元？
参考答案：
1．C
【分析】设每次传染x个人，再根据数量变换找到等量关系．
【详解】设每次传染x个人，则开始有1个人感染
第一次有：个人感染
第二次有：个人感染
∴
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系是本题关键．
2．D
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有（1+x）人患了流感，
故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
故B正确，不符合题意；
依题意，得1+x+x（1+x）=121，
即（1+x）2=121，
故C正确，不符合题意；
解方程，得x1=10，x2=-12（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10人．
∴经过三轮一共会有人感染，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
3．D
【分析】设平均每年的收益增长率是x，根据2020年及2022年该投资项目的收益，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每年的收益增长率是x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
答：该县平均每年的收益增长率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
4．B
【分析】设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．A
【分析】根据1月份及3月份生产的冰墩墩的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设1至3月份冰墩墩日产量的月平均增长率为x，
依题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．B
【分析】利用2021年底森林覆盖率=2019年底森林覆盖率×（1+这两年的森林覆盖率年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：45%（1+x）2=80%，
即0.45（1+x）2=0.8．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．A
【分析】根据书店第一天销售 500 本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为 720 本，列方程即可得到结论．
【详解】解：设每天的增长率为x，
依题意，得：500（1＋x）2＝720．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝28，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为，第二次降价后的售价为
由题意可得：
故选B
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
9．C
【分析】根据关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数，可分别求得二、三月份的机器台数，从而可得方程．
【详解】由题意知，二月份生产机器台数为：20(1+x)台，三月份生产机器台数为：20(1+x)2台，根据二、三月份计划共生产90台可得方程：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握好关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数．
10．A
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
2000（1+x）2=2880．
故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1-x）2=b（a＞b）．
11．B
【详解】试题分析：可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格×（1+提价的百分率）=55，把相应数值代入即可求解．
解：设平均每次提价的百分率为x，
第一次提价后的价格为35（1+x），两次连续提价后售价在第一次提价后的价格的基础上提高x，
为35（1+x）×（1+x），则列出的方程是35（1+x）2=55．
故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
12．D
【分析】种花区域矩形空地面积，剩下区域矩形空地面积，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可知，剩下区域为规则的矩形，其长为，宽为
∵种花区域矩形空地面积
∴剩下区域矩形空地面积，
∴
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程与图形问题．找到各图形面积之间的等量关系是解题关键．
13．C
【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．
【详解】解：∵在中，，AB=，BC=，
∴，
∴当四边形的面积为时，
，
设运动时间为t，则，，
∴，
解得：，，
∵点P在AB上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
14．D
【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设扩展的宽度为，
依题意，得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．D
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得剩余图形的长等于原来的长减去小路的宽，剩余图形的宽等于原来的宽减去路宽，然后再根据矩形面积公式计算．
【详解】解：利用图形平移可将原图转化为下图，设道路的宽为x米
根据题意可得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
16．B
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5-x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．
【详解】解：一边长为x米，则另外一边长为：5-x，
由题意得：x（5-x）=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
17．B
【分析】由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个(同样数目)支干，则又长出个小分支，则共有个分支，即可列方程.
【详解】设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：
故选：B
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
18．A
【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.
【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，
由题意得：.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
19．
【分析】设邀请了x个好友转发倡议书，第一轮转发了x个人，第二轮转发了个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【详解】解：由题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
20．
【分析】根据“十年间，我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元，假如每一个5年里人均增长率不变”，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21． 50 50（1+x）2＝60.5
【分析】2月份口罩生产数量=1月份口罩生产数量，即可求出2月份口罩生产数量，4月份口罩生产数量=2月份口罩生产数量，即可列出方程．
【详解】解：2月份口罩生产数量为40=40×1.25=50（万个）．
设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为x，
依题意得：，
故答案为：50；．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，列出方程即可．
22． 2 48
【分析】设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，根据长方体铁盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴该纸盒的体积为；
故答案为2，48
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．1m
【分析】设小路的宽为x m，则种草的部分可合成长为（16-2x）m，宽为（9-x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽为xm，则种草的部分可合成长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m的矩形，
依题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
整理得：x2﹣17x+16＝0，
解得：x1＝1，x2＝16．
当x＝1时，16﹣2x＝14＞0，符合题意；
当x＝16时，16﹣2x＝﹣16＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．12
【详解】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
25．7
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x 1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x 1）÷2＝21，
解得x＝7或 6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
26．（1）10%；（2）13.31万
【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；
（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
（2）（万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．
27．(1)元
(2)；
(3)元
【分析】（1）利用当天销售该商品获得的利润每件的销售利润日销售量，即可求出当天销售该商品获得的利润；
（2）利用日销售量增加的数量每件商品下降的价格，可用含的代数式表示出日销售量增加的数量；利用每件商品的销售利润每件商品下降的价格，可用含的代数式表示出每件商品的销售利润；
（3）利用商场销售该商品的日盈利每件商品的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合为了尽快减少库存，即可得出每件商品应降价元．
【详解】（1）解：
（元）．
答：若某天该商品每件降价元，当天可获利元．
（2）依题意得：商场日销售量增加件，每件商品盈利元．
（3）依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又为了尽快减少库存，
．
答：每件商品应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
28．(1)均每天可售出28件模型，此时每天销售获利1008元
(2)每件模型应降价10元
(3)该模型每天的销售获利不能达到1300元
【分析】（1）利用日销售量每件模型降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种模型获得的利润每件盈利日销售量，即可求出每天销售该种模型获得的利润；
（2）设每件模型应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种模型获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）该模型每天的销售获利不能达到1300元，设每件模型应降价y元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种模型获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即该模型每天的销售获利不能达到1300元．
【详解】（1）解：（件），
（元）．
答：均每天可售出28件模型，此时每天销售获利1008元；
（2）解：设每件模型应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵每件盈利不少于25元，
∴．
答：每件模型应降价10元；
（3）解：该模型每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：
设每件模型应降价y元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程无实数根，
即该模型每天的销售获利不能达到1300元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（1）填表见解析；（2）第二个月销售定价每套应为60元．
【分析】（1）本题先设第二个月的销售定价每套增加x元，再分别求出销售量即可；
（2）本题先设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意找出等量关系列出方程，再把解得的x代入即可．
【详解】解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表：
时间 第一个月 第二个月
销售定价（元） 52 52+x
销售量（套） 180 180-10x
（2）若设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意得：
（52-40）×180+（52+x-40）（180-10x）=4160，
解得：x1=-2（舍去），x2=8，
当x=8时，
52+x=60．
答：第二个月销售定价每套应为60元．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
