23.1 图形的旋转 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北承德·九年级期末）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作，如图，旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在边长为的正方形网格中，图形是由图形旋转得到的，则旋转中心的坐标为（ ）
A．(0, 1) B．(-1, 0) C．(0, 0) D．(-2, -1)
5．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在边上，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105°
8．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
10．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，在三角形中，，，将此三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形顺时针旋转，一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少是 （ ）
A．60° B．72° C．75° D．90°
14．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
15．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，四边形是正方形，P在上，旋转后能够与重合，若，则 ．
16．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，，则∠DAC的度数为 ．
17．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在正方形中，E是上一点，将绕点E顺时针旋转60°，点A的对应点F恰好落在上，则 °．
18．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图所示的图案由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为3cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为 ．
19．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为 ．
三、解答题
20．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合．
(1)旋转中心是______，旋转角是______度．
(2)连接，是什么三角形？并说明你的理由．
21．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，是边长为2的等边三角形，旋转后能与重合，
(1)写出旋转中心；
(2)求旋转角．
22．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，点O是等边内一点．将绕点C按顺时针方向旋转得，连接．已知．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究，当为多少度时，是等腰三角形，（直接写出答案即可）
23．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，是边长为4cm的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)当为直角三角形时，求t的值．
24．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）如图，在中，，以为边向外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转到的位置，E在的延长线上，若，，求的度数和的长．
25．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝ （用α的代数式表示），∠BFC的度数为 °；
（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．
26．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，点在等边三角形的边上，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，点的对应点为点，请完成下列问题：
(1)画出旋转后的图形；
(2)判断与的位置关系并说明理由.
27．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为．
(1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出并写出点B的对应点的坐标；
(2)画出绕点按逆时针方向旋转的，并写出点的对应点的坐标．
28．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
29．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为．
(1)求的长；
(2)若，求的度数．
30．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据旋转改变图形的位置不改变图形的形状和大小、同时上下和左右都颠倒进而解答．
【详解】能通过旋转得到的是A选项图案．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是熟记旋转的特点，灵活运用所学知识解决问题．
2．B
【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，
由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过点B，
旋转中心是点B．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
3．B
【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心．
【详解】解：如图，
绕某点旋转一定的角度，得到△，
连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过点，
即旋转中心是．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
4．A
【分析】根据旋转的性质，连接两组对应点，然后作出垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】如图所示，点P（0，1）即为旋转中心．
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质以及旋转中心的确定是解题的关键．
5．C
【分析】利用旋转的性质，得到，，，得到为等边三角形，进而得到，利用，即可得解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，，，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
6．B
【分析】依据旋转的性质可求得 ，AB＝AB′，求得的度数，再根据∠AB′C′＝即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得 ，AB＝AB′，，
∴，
∵，
∴∠AB′C′＝．
故选：B
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．D
【分析】先根据旋转得出△ABC≌△DEC，可得∠ACB=∠DCE=75°，利用邻补角求出∠BCE=180°-∠DCE=105°，得出旋转角和旋转方向即可．
【详解】解∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=75°，
∴∠BCE=180°-∠DCE=105°，
∴△ABC绕点C旋转，顺时针旋转105°得到△DEC，
故选D．
【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等旋转，邻补角，掌握图形旋转，三角形全等旋转，邻补角是解题关键．
8．D
【分析】根据旋转的性质和等边对等角以及三角形内角和定理，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，AB=BE，∠ABE=α，∠A=∠BED，
∴∠A=∠BEA=(180°-α)=90°-α，
∴∠A=∠BEA=∠BED=90°-α，
∴∠CED=∠BEA+∠BED=2(90°-α)==180°-α，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．B
【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.
【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故选：B.
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．
10．B
【分析】根据旋转的性质可得，旋转角为，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质可得，旋转角为．
∵为等边三角形，
∴，即旋转角为．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质找到旋转角．
11．D
【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
12．B
【分析】由旋转的性质及等腰三角形的性质可得及的面积，再由三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】由旋转的性质得：，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握旋转的性质是关键．
13．B
【分析】用圆周角除5得到每个顶点之间的角度，即为旋转后重合的角度
【详解】360°÷5=72°
故至少旋转72°后能够重合
故选：B
【点睛】本题是旋转的考查，解题关键是求解出顶点间的夹角
14．D
【分析】抛物线的顶点坐标为，开口向上，抛物线绕原点旋转后，开口向下，抛物线的开口大小不变，顶点坐标为，由此即可得．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上，
则将抛物线绕原点旋转后，顶点坐标为，开口向下，抛物线的开口大小不变，
所以旋转后的抛物线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与旋转变换，解题的关键是熟练掌握抛物线绕某点旋转得到旋转后的抛物线的开口方向相反，开口大小不变．
15．
【分析】由正方形的性质得出，由勾股定理求出，再由旋转的性质得出，得出，，证出是等腰直角三角形，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
在中，由勾股定理得
∵旋转后能够与重合，
∴，
∴，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
16．10°/10度
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝50°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠BAD＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC ∠BAD＝10°，
故答案为：10°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
17．75
【分析】根据旋转的性质得出△AEF是等边三角形，进而可证明Rt△ABE≌Rt△ADF得∠BAE=∠ADF,再根据角的和差可得结论．
【详解】解：由旋转得，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF
∴∠BAE=∠ADF
又∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=90°
∴∠DAF=
∴∠DAE=∠DAF+∠EAF=15°+60°=75°
故答案为75
【点睛】本题主要考查了旋转的性质,直角三角形全等的判定与性质,正方形的性质等知识,求出∠DAF=是解答此题的关键．
18．3
【分析】由于∠AOB为120°，由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个菱形叶片的面积和的三分之一．
【详解】解：∵三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，
而∠AOB为120°，
∴图中阴影部分的面积之和=（3+3+3）=3（cm2）．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
19．(3，﹣10)
【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6，进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，即可得出此时D点坐标．
【详解】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB=3+3=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=6，
∴D(﹣3，10)，
∵70=4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时D点与(﹣3，10)关于原点对称，
∴此时点D的坐标为(3，﹣10)．
故答案为：(3，﹣10)．
【点睛】本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键．
20．(1)，
(2)是等边三角形
【分析】（1）因为为等边三角形，所以，．
旋转后能与重合，显然是与重合，可判断是绕点顺时针旋转得到的；
（2）根据旋转角和对应边可判断是等边三角形．
【详解】（1）根据题意，与重合，所以旋转中心是点，旋转角等于．
故答案为：，；
（2）等边三角形．
∵旋转角为，即，，
∴等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，旋转的相关概念及旋转的性质，结合图形，把握旋转的对应关系是解题的关键．
21．(1)点B是旋转中心
(2)旋转角是60°
【分析】（1）根据旋转后点B没有改变即可得出答案；
（2）找出旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角的度数，再根据等边三角形的内角都是60°进行求解即可．
【详解】（1）∵旋转后点B没有改变，
∴点B是旋转中心；
（2）∵AB与BC是旋转前后对应边，
∴旋转角为∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴旋转角是60°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转中心的确定，旋转角的确定，掌握旋转的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)直角三角形，理由见解析
(3)当为或或时，是等腰三角形．
【分析】（1）利用旋转的性质，，即可证明是等边三角形；
（2）由旋转的性质得到，再根据是等边三角形，即可求解；
（3）分三种情况讨论，①，②，③，分别列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵绕点C按顺时针方向旋转得，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是由旋转后得到的，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：当为或或时，是等腰三角形，
∵是由旋转后得到的，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴①，
∴，
∴，
∴；
②，
∴，
∴，
∴；
③，
∴，
∴，
∴，
∴当为或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，以及直角三角形的判定方法，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论．
23．(1)见解析
(2)当或8s时，是直角三角形
【分析】（1）利用旋转的性质，得到，即可得证；
（2）分和，两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：①当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②当时，则：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
综上所述：当或8s时，是直角三角形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
24．，5
【分析】首先由是由绕点旋转得到的，可得：，进而可得：，，，；然后根据，可得：，进而可得为等边三角形，因而有，即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得：，
，，，．
，
，
为等边三角形，
则，
点、、在一条直线上，
，
，
为等边三角形，
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，掌握和理解旋转的性质是解题的关键．
25．（1）α﹣45°，45°；（2）图详见解析，点A到直线BE的距离为 ．
【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．
（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．
【详解】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，
∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，
而∠BAC＝45°，
∴∠CAD＝α﹣45°；
∵AB＝AD，AE＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°．
故答案为α﹣45°；45°；
（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，
而AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝2，
而AG平分∠BAE，
∴AG⊥BE，
∴AG＝BE＝，
即此时点A到直线BE的距离为．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
26．(1)见解析；(2)AB//CE，理由见解析.
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”进行证明即可.
【详解】(1)旋转后的图形如下：
①作
②截取
③连接
(2)与的位置关系是平行，
理由：由等边三角形得：
由于绕点旋转到
∴
∴即
∴
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平行线的判定，正确应用等边三角形的性质是解题关键．
27．(1)画图见解析；
(2)画图见解析；点
【分析】（1）先画出平移后的，再写出点B的对应点的坐标．
（2）先画出绕点按逆时针方向旋转的，再写出的坐标．
【详解】（1）解：如图，点，
（2）解：如图，点，
【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，正确理解平移与旋转的定义，注意旋转中心与旋转方向，旋转角度，正确作图，是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出；
（2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得．
【详解】（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设相交于点F，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
29．(1)BF=2
(2)∠AEB=135°
【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据AE=1，可得，根据勾股定理逆定理9=32=CE2得出，根据等腰直角三角形可求，再求，根据旋转性质，可得即可．
【详解】（1）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴BE=BF ，∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF为等腰直角三角形，
设 BE=BF =x，则x2+x2=（2）2 ，
解得： x=2；
（2）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴∠AEB= ∠BFC ，AE=CF=1，
在△CEF中，EF =2，CF=1，EC=3，
∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9，
∴CF2+EF2=CE2，
∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°，
∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°，
∴∠AEB=135°．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．
30．（1）BG＝AE，（2）成立：证明见解析；（3）AF＝．
【分析】（1）根据已知条件，证明△BDG≌△ADE即可得出结论；
（2）连接AD，证明△BDG≌△ADE即可得出结论；
（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；根据
可知当三点共线时候去最大值，此时旋转角度为270°时，根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）BG＝AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DA，
又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA；
∴△BDG≌△ADE；
∴BG＝AE；
（2）成立：
证明：连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE，
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE；
（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；
当三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时，
BG＝AE最大值为1+2＝3，
此时如图：
AF＝．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，线段和最值问题，掌握以上知识是解题的关键．23.2 中心对称 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
3．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
4．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点，，是三角形的顶点，是边的中点，则该图形的对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（ ）
A．B． C． D．
7．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、B两点（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
9．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知点与点关于原点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．－3；1 B．－1；3 C．1；－3 D．3；－1
10．（2022秋·河北承德·九年级期末）将抛物线绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
二、填空题
12．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是轴对称图形有 个，是中心对称图形的有 个
13．（2022秋·河北承德·九年级期末）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
14．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）点关于原点对称的点的坐标是 ．
15．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）若点与点关于原点对称．
（1）点在第 象限；
（2）的值为 ．
16．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ．
17．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(2a 1， 8)与点B( 5，3b 1)关于原点对称，则a= ，b= ．
18．（2022春·河北石家庄·九年级期末）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的函数图象为C2，则C2对应的函数表达式为 ，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围 ．
19．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）若点与点关于原点对称，则 .
三、解答题
20．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，．
(1)与关于点O成中心对称，请在图中画出，并直接写出点的坐标；
(2)在（1）的基础上，将绕点逆时针旋转后得到，请在图中画出，并直接写出点的坐标．
21．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，在建立平面直角坐标系的网格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（-1，0）．
（1）把△ABC绕点P旋转180°得到△A’B’C’，作出△A’B’C’；
（2）把△ABC向右平移7个单位长度得到△A″B″C″，作出△A″B″C″；
（3）△A’B’C’与△A″B″C″是否成中心对称？若是，则找出对称中心P’，并写出其坐标；若不是，请说明理由．
22．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项A、B、D中的图形都是中心对称图形，
选项C中的图形不是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3．A
【分析】根据中心对称图形定义解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．D
【分析】根据中心对称图形的概念分析判断后即可得解．
【详解】此图绕点旋转180度后与原图重合，所以对称中心是点．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
5．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练的利用定义判断轴对称图形与中心对称图形是解本题的关键．
6．C
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、旋转180度后两部分重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．B
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案即可．
【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，
故选B．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．
8．C
【分析】根据平面直角坐标系中点的变换规律解答即可．
【详解】解：∵点A（2，－1）与点B（－2，1）的横、纵坐标均为互为相反数，
∴点A与点B关于原点对称；
故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9．B
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，即可求得、的值．
【详解】解：点与点关于原点对称，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
10．D
【分析】先求得抛物线的顶点坐标，进而根据旋转不改变函数图象形状大小，只改变开口方向，得到新的抛物线的顶点坐标，进而求解
【详解】解：∵的顶点坐标为，绕原点旋转180°，新的抛物线的顶点坐标为，且开口朝上，大小不变，即
∴旋转后抛物线的解析式为
故选D
【点睛】本题考查了旋转的性质，的图象与性质，求得旋转后的顶点坐标是解题的关键．
11．D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：A（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称.
故选D．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
12． 5 4
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】等腰直角三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，因而有5个轴对称图形；而平行四边形、矩形、菱形、正方形则是中心对称图形，因而有4个中心对称图形；
故答案为：5，4．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握这两个概念，并知道一些常见图形是轴对称图形还是中心对称图形是解题的关键．
13．
【分析】首先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【详解】解：△是边长为2的等边三角形，
的坐标为：，的坐标为：，
△与△关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
△与△关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
△与△关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
，
，，，，，
的横坐标是：，的横坐标是：，
当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：，
顶点的纵坐标是：，
△是正整数）的顶点的坐标是：，
△的顶点的横坐标是：，纵坐标是：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键．
14．
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可得到答案．
【详解】解： 根据题意得：
点关于原点中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，熟练掌握平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是是解题的关键．
15． 二 -3
【分析】（1）根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，即可求解；
（2）根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点A（-4，3），
∴点A在第二象限；
故答案为：二
（2）∵点与点关于原点对称，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：-3
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
16．-1
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b，然后代入求解即可．
【详解】解：由点关于原点对称的点为，得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，代数式求值．解题的关键在于明确：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17． 3 3
【分析】利用关于原点对称的点的特点建立方程组即可．
【详解】解：∵点A(2a 1， 8)与点B( 5，3b 1)关于原点对称，
∴2a-1=5，3b 1=8，
∴a=3，b=3，
故答案为：3，3．
【点睛】此题是关于原点对称的点的坐标，主要考查坐标系中点的对称点的特征，熟记对称点的特征是解本题的关键，是一道简单题．
18． y＝﹣x2﹣4x ﹣2＜a＜﹣1
【分析】（1）根据关于原点对称的关系，可得C2；
（2）根据图象可得答案．
【详解】解：（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，将（-x，-y）代入C1可得y＝﹣x2﹣4x，则C2对应的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x；
故答案为y＝﹣x2﹣4x；
（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1．
故答案为：﹣2＜a＜﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是求出二次函数的表达式并准确做出图象．
19．2
【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，可得关于a、b的方程组，解方程组即可求得答案.
【详解】由题意得：，
解得：，
所以a+b=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.
20．(1)图见解析，C1的坐标为；
(2)图见解析，点的坐标为．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点、、，即可得到，从而可得的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对称点、、，即可得到，从而可得点的坐标．
【详解】（1）解：如图，点的坐标为；
（2）解：如图；点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换及中心对称变换，根据旋转的性质可知，对应点的连线段的夹角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）P'（2.5，0）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点P旋转180°的对应点A′、B′、C′位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A″、B″、C″的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用观察对应点的连线即可求解．
【详解】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，A''B''C''即为所求；
（3）如图，P'（2.5，0）．
【点睛】本题考查的是作图﹣旋转变换和平移变换，熟知图形旋转的性质及平移的性质是解答此题的关键．
22．（1）如图所示，即为所求，见解析，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求．见解析.
【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求，其中点的坐标为．
（2）如图所示，即为所求．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
