27.1 图形的相似 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如果线段，，那么和的比例中项是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北保定·九年级期末）太原市轨道交通2号线一期于2020年12月26日1200开通初期运营，从此山西驶入地铁时代全线23个站厅的设计，有机融合了“晋阳古八景”、“锦绣太原城”等文化元素，打造成一条亮丽的“地下艺术走廊”．在一幅比例尺为的设计图纸上，测得地铁线路全长约，则地铁线路的实际长度约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．1 B．22 C．55 D．1010
6．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）下列图形一定相似的为（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形
C．两个矩形 D．两个平行四边形
8．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）把左图放大2倍，可以得到的图形是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正八边形都相似
10．（2022秋·河北承德·九年级期末）图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形
11．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
12．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则的最短边长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
15．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
16．（2022秋·河北保定·九年级期末）如图，在中，、、分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A．4：3 B．3：2 C．3：4 D．2：4
17．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，下列给出的条件中，一定能判定的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．甲、乙、丙都可以 B．只有甲和丙
C．只有乙和丙 D．只有丙
18．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（ ）
A． B． C． D．1
19．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
20．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）若，则 ；
21．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）若，，则
22．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）已知，且，则的值为 ．
23．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系xOy中的射线CA和射线CB．若点P（0，t）（0＜t＜4）是y轴上一点，过点P作MN∥x轴交CA，CB于点M，N，连结OM，ON，则的比值为 ，△MON的面积最大值为 ．
24．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，则等于 ．
25．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，直线，直线和被所截，，则的长为 ．
26．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：AB为 ．
三、解答题
27．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若=2，AC=6，求AE的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得出答案．
【详解】A.由，得出，本选项不符合题意；
B.，得出，本选项符合题意；
C.，得出，本选项不符合题意；
D.，得出，本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2．A
【分析】根据已知条件设x=3k，y=2k，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴设x=3k，y=2k，
则，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数k表示出x，y的值是解题关键．
3．D
【分析】由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，即可求解．
【详解】解：设它们的比例中项是xcm，根据题意得：
x2=2×18，
解得：（线段是正数，负值舍去）．
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例中项的平方等于两条线段的乘积是解题的关键．
4．C
【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．
【详解】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：200000=11.8：x，
解得：x=2360000，
2360000厘米=23.6km．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算．
5．C
【分析】利用黄金分割的比值关系进行运算即可．
【详解】解：由黄金分割可得：
∴
整理得：
解得：，(舍去)
故答案为：
【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系，熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关键．
6．D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵，
∴四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
7．B
【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；
B．∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意；
C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意；
D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．D
【分析】根据相似图形的性质即可得出结论．
【详解】设一个小正方格边长为1cm，
因为把左图放大2倍，即放大前后的图形对应边的比是1∶2，
所以得到的图形为宽4cm，长6cm．
所以选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查相似图形的理解与实际运用能力．利用相似，可以将一个图形放大或缩小．性质：相似图形的相似比等于对应高、对应边、周长的比．灵活运用相关性质进行分析判断是解本题的关键．
9．C
【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．
【详解】解：A、所有的等边三角形的角都为，都相似，不符合题意；
B、等腰直角三角形都相似，不符合题意；
C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意；
D、正八边形都相似，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
10．B
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5＝3：5，1：1.5＝2：3，
∴甲和丙相似，
故选B．
【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例．
11．D
【分析】根据相似多边形的定义对各选项进行判定.
【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似；
B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，∴不一定相似；
C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似；
D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似．
故选D．
12．B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵，，，，
∴，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
13．C
【分析】设四边形最短边长为x，根据相似多边形的性质列得2：x=5：15，，从而求出x．
【详解】设四边形最短边长为x，
∵四边形相似四边形，
∴2：x=5：15，
解得x=6，
故选：C．
【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．
14．B
【分析】由相似多边形的性质知AB：：1，据此设，，，根据面积比得出，整理可得答案．
【详解】矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
：：1，
设，，
，
则，
整理，得：，
则，即AE：：1，
故选B．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质．如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比等于相似比；对应面积的比等于相似比的平方.
15．B
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设这个多边形的最短边是x，
∵两个多边形相似，
∴，
解得：x=8．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
16．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17．D
【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进行判断即可；
【详解】解：由，又，所以，得，不能得，因此甲不可以；
由，并不能得出，因此乙不可以；
由，根据定理可得，因此丙可以；
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，能在图形中找到对应线段是应用定理的关键．
18．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4，
∴ 即，解得DF=．
故选：B．
【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
19．C
【详解】解∶∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得
，即，
解得：EF=6，
故选：C．
20． /0.5 2
【分析】由，得，代入所求的式子化简即可．
【详解】解：由，得，
∴，，
故答案为：，2．
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．
21．2
【分析】根据题意可得： ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意得到 是解题的关键．
22．12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
23． 4 5
【分析】由图1可知：直线CA和CB的解析式，进而可求，，由MN∥x轴可得，，代入数据可得的比值；设点P（0，t），则有点M（，t）, 点N（，t）,求出MN，由三角形面积公式可得S△MON，根据二次函数最值问题即可求解．
【详解】由图1可知：直线CA：，直线CB：（x＞0），
将分别带入直线CA，得：，
解得：，
∴点A（，0），
同理可得：点B（2，0），
∴，，
∵MN∥x轴，
∴，
∴，
∵点P（0，t）（0＜t＜4），
∴点M（，t）, 点N（，t）,
∴，，
∴，
∴当时，S△MON有最大值5；
故答案为：4；5．
【点睛】本题考查一次函数相关问题，涉及到三角形面积、平行线分线段成比例、二次函数最值问题，解题的关键是由图1可知：直线CA和CB的解析式．
24．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
25．
【分析】先根据线段和差可得，再根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】解：，
，
，
，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
26．1：3：6
【分析】构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到，由此可解．
【详解】解：如图，利用网格构建，
∴ ，
故答案为：1：3：6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键．
27．（1）如图所示，∠ADE为所作.见解析；（2）AE=4 .
【分析】(1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠ADE=∠B;
(2)先利用作法得到∠ADE=∠B，则可判断DE//BC.然后根据平行线分线段成比例定理求解.
【详解】（1）如图所示，∠ADE为所作.
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
∴=.
∵=2，AC=6，
∴AE=4 .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及基本作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.27.2 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（点不与点，重合），，交于点，则下列一定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）下面是两位同学对一道习题的交流，下列判断正确的是（ ）
在中，，，，是边上一点，且，点在边上， 连接，若以A，，为顶点的三角形与相似，求的长． ：如图，∵，∴． ∵，，，，∴． ：小明的解答过程中比例式写错了，并且小明考虑的不周全．
结论Ⅰ：上述过程中，比例式应改为；
结论Ⅱ：小明考虑的不周全，在另一种情况下，的长度为
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
5．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则在BC上存在2个点P，使与相似；
乙：若，则的最大值为
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
6．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，ABCD，若BO＝6，DB＝9，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为C．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图所示，添加一个条件 ，△ADB ∽△ABC．
11．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，已知的面积为4，，分别为，的中点．则四边形的面积是 ．
12．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知两个相似三角形，其中一个三角形的三边的长分别为2，5，6，另一个三角形的最长边为15cm，则它的最短边是 cm．
13．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，已知在中，，，点在边上（点与点，不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点．
（1）若，则的长为 ；
（2）当是等腰三角形时，的长为 ．
14．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，中，，点在上，，作交于点，交于点，则的长为 ．
15．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 米．
16．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m．
三、解答题
17．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且，求证：．
18．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E．
(1)求证：
(2) ， ．
19．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）．
发现：
(1)___________；
(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
(3)当时，的面积为___________；
(4)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
拓展：
(5)当时，求出此时t的值．
20．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，E为上一点，，，，连接．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的长．
21．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图1，在中，，分别为边上的点，且．已知，．
(1)的长为______；与的周长比为______；
(2)将绕点旋转，连接．
①当旋转至图2所示的位置时，求证：；
②如图3，当旋转至点在上时，，直接写出及的长．
22．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，P是边上的一个动点，连接，，过点B作射线，交线段的延长线于点E，交边于点M，且使得．
(1)若，求证；
(2)若，求的长．
23．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）在矩形中，，，以点C为圆心，以3为半径作半圆C，交及其延长线于点E、F．
(1)在半圆C上取一点M，则DM的最小值为______；
(2)绕点E逆时针旋转半圆C得到半圆，半圆的直径为，设旋转角为
①当半圆与矩形的边相切时，切点为N，求弧的长；
②若D落在上，半圆交于G，求的长；
24．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）（1）【基础巩固】:如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，求证：；
（2）【尝试应用】如图，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
（3）【拓展提高】在中．，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上．若，求的长．
25．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，，，P为AB上一点，，连接CD．
(1)若，求BD的长；
(2)若CP平分，求证：．
26．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求的长．
(2)求灯泡到地面的高度．
27．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．
(1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？
(2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动_____米.
参考答案：
1．D
【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
2．B
【分析】首先根据等边三角形的性质得到，，然后根据角的和差关系得到，即可证明出．
【详解】∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，等边三角形的性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
3．A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵，
又∵和分别是和的高，，，
∴与的相似比为，
∴与的面积的比为．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4．D
【分析】分两种情况分析；，，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图所示：
∵，
∴．
∵，，，，
∴
；
故结论Ⅰ正确；
第二种情况：如图所示：
∵，
∴．
∵，，，，
∴
；
故结论Ⅱ正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用相似三角形的性质求解，结合图形进行分类讨论是解题关键．
5．B
【分析】（1）由与相似，，分与两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误．
【详解】解：甲：∵与相似，，
∴分与两种情况求解：
①当时，设，则，
∴，即，
解得：或，
②当时，设，则，
∴，即，
解得：，
综上所述，当，在上存在3个点P，使与相似，故甲错误；
乙：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
即，
∴，
∵，
∴当时，最大，且，故乙正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式．
6．B
【分析】根据角平分线和平行可得，从而可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求出，，进而求出，最后进行计算求出即可解答．
【详解】解：∵为中点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识．理解和掌握相似三角形判定和性质是解题的关键．
7．C
【分析】证明△ABO∽△CDO，得到，代入已知条件即可求解．
【详解】∵ABCD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∵BO＝6，DB＝9，
∴OD=BD-BO=3,
∵CD=2，
∴，
∴AB=4，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．A
【分析】先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴
∴，即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
9．C
【分析】利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
设所成的像的高度为
由题意可得：，
解得：，
∴所成的像的高度为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，理清题意，正确得出比例关系是解题关键．
10．∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【分析】根据两个三角形有公共角，添加条件即可．
【详解】解：∵∠A=∠A．
∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定；
添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件．
11．3
【分析】由，分别为，的中点知为的中位线，可得，且相似比为：，利用相似三角形的性质可得，再利用，即可求出四边形的面积．
【详解】解：，分别为，的中点
∴为的中位线，
∴，，
∴，且相似比为：，
则：，
∵
∴
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及三角形中位线的定义，牢记“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．
12．5
【分析】首先根据相似三角形的性质求出相似比，找出最长边和最短边，然后求出另一个三角形的最短边．
【详解】解：由题意知，两个三角形的相似比是；
设另一个三角形的最短边为x；
则得到；
解得．
则它的最短边是．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和相似比的求法．
13． /2.4 5或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，利用外角的性质及得出，根据相似三角形的判定得出，最后利用相似三角形的性质建立等式求解可得．
（2）设，分类讨论，当，时的两种情况．由（1）已知，利用相似三角形的判定与性质，结合是等腰三角形，得出时，根据相似三角形的性质建立等式关系求解；得出，利用等腰三角形的性质即可得出．
【详解】解：（1）在中，，，
．
，，
．
．
，
．
，即，
．
故答案为：．
（2）如图所示，若，设，
，
，．
．
是等腰三角形，
，，是等腰三角形．
．
，，
．
，即，
．
如图所示，若，设，
，
，．
．
是等腰三角形，
，，是等腰三角形．
，
是等腰三角形．
，
，即．
故答案为：5或．
【点睛】本题考查三角形动点问题的综合应用能力．涉及平行线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点．两直线平行，内错角相等．等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）．相似三角形对应角相等，对应边成比例．两角分别相等的两个三角形相似．注重分类思想，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
14．
【分析】由相似三角形的判定和性质求出，根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可求得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，平行线的性质．根据相似三角形的判定和性质求出是解题的关键．
15．14
【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论．
【详解】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM=12.5，
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD=EN=1.5米，
∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）．
故旗杆MN的高度为14米，
故答案为：14．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
16．5.5
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
17．证明过程见详解
【分析】根据平行四边形的性质可知，，且，根据三角形的外角性质可知，由此即可求证．
【详解】证明：在平行四边形中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判断，平行四边形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)ADG，AFE，ACD
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【详解】（1）解：证明：如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又，，，
∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°，
∴ADGAFE，
∴∠3=∠AGD=∠AEF，
∴∠ADC=∠CGD=∠AEB，
又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C，
∴
故答案为：ADG，AFE，ACD．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
19．(1)5
(2)相遇点在边上，1
(3)1
(4)不能，见解析
(5)
【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；
（3）直接求出边长来求面积即可；
（4）解方程时通过求根公式来说明不能取到值；
（5）先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值．
【详解】（1）在中，
∴；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
（3）当时，，即
∴
故答案为1；
（4）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半．
（5）由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平行线中线段成比例列方程．
20．(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据直角三角形的性质，可证得，据此即可证得结论；
(2)首先根据平分，可得，据此即可证得，再根据相似三角形的性质可求得的长．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
21．(1)，
(2)①证明过程见详解；②，
【分析】（1）根据平行分线段成比例，周长比等于相似比，，，即可求解；
（2）①根据两边对应成比例，其夹角相等，即可求证两三角形相似；②根据（1），①的结论可求出四边形为矩形，根据矩形的性质，直角三角形中根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴与的周长比为，
故答案为：，．
（2）解：①证明：由（1）可知，，
∴，
根据图形旋转的性质得，，
∴；
②由（1）可知，，，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查平行线分线段，图形旋转，三角形相似的判定和性质的综合，掌握平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出的长，推出，即可证明；
（2）先证明，再根据，得出，从而求出的长．
【详解】（1）四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．
23．(1)1
(2)①；②．
【分析】（1）连接，根据三角形的三边关系，可得，即可求解最小值；
（2）①如图，设半圆与相切于点，连接，可知得，，易证得是矩形，可知，再利用弧长公式即可求解；
②连接，作于，根据由勾股定理得，，，由是矩形，可证得，利用相似三角形的性质，可得，，再由勾股定理可得的长度，进而根据可求解．
【详解】（1）解：连接，
由题意可知，，，
由三角形的三边关系，可知：（当、、在一条直线上是取等号）
故答案为：1．
（2）①如图，设半圆与相切于点，连接，则，
∴，，
∵，
∴，
∴是平行四边形，
又∵，
∴是矩形，
∴，
∴的长为：；
②连接，作于，
由题意知，，，由勾股定理得，
则：，
∵是矩形，
∴
则：，即：
∴，
由勾股定理可得：，
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，图形旋转，切线性质，勾股定理，弧长公式及三角形的三边关系，掌握几何图形的性质，巧用辅助线是解决问题的关键．
24．（1）见解析；（2）5；（3）10
【分析】（1）利用一线三等角模型，证明 ，从而得证即可．
（2）如图中，延长交的延长线于点证明∽，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）过点作与交于点，使，由同理得∽，可知，再利用∽，可得答案；
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：如图中，延长交的延长线于点．
，
，，
，
，
故，
，
，
，
，
，
，
，，
．
（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
25．(1)BD的长为；
(2)见解析
【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答；
（2）利用角平分线的性质可得∠PCD=∠ACP，从而可得∠PCD=∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答．
【详解】（1）解：∵AB=9，AC=3，
∴BP=AB-AP=9-3=6，
∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD，
∴∠ACP=∠BPD，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPD，
∴，即，
∴BD=，
∴BD的长为；
（2）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD=∠ACP，
∵∠ACP=∠DPB，
∴∠PCD=∠DPB，
∵∠CPD=∠B，
∴△CPD∽△PBD，
∴，
∴PD2=CD BD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．
26．(1)；
(2)．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
【详解】（1）解：由题意可得：，
则，
故，
即，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴的长为；
（2）∵，
∴（），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（），
∴灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
27．(1)14米
(2)0.5
【分析】（1）作EM⊥CD于M，交于N，根据三角形相似求出长，再加上长即可；
（2）类似（1）的方法求出即可；
【详解】（1）解：作于M，交于N，
可得，米，米，米．
∴米，米，
∵，
∴，
∴，即
∴米，
米，
答：大楼的高度为14米．
（2）类似（1）可得，
∴，
∵米，米，米，米，
∴米，
∴，
∴米，
相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动（米），
答：相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动0.5米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及其应用，解题关键是恰当作辅助线，构建相似三角形．27.3 位似 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）如图，已知，任取一点，连，，，分别取点，，，使，，，得，有下列说法：
①与是位似图形；
②与是相似图形；
③与的周长比为；
④与的面积比为．
则正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
3．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，线段A1B1是线段AB以某个点为位似中心,放大2倍得到的，则这个点是（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
5．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
6．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，若△AOB的面积为4，则△OEF的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2022秋·河北衡水·九年级期末）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与周长比是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
9．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
10．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）如图，在的正方形网格中，以点O为位似中心，把放大为原来的2倍，则点B的对应点为（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
11．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，若△ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若点的坐标为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图中的两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为．
（1）与 ；（填“位似”或“不位似”）
（2）屏幕图形的高度为 ．
16．（2022秋·河北沧州·九年级期末）已知平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，点的对应点为点，则点的坐标为 ．
17．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中占C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为 ．
18．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，在平直角坐标系中，的顶点都在坐标轴上，．若是以原点为位似中心，的位似图形（为点 的对应点），且与相似比为，则点的坐标为 ．
19．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为 ．
20．（2022秋·河北承德·九年级期末）如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
三、解答题
21．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出与的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；
(2)若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的相似比为2（只画出一个三角形即可）．
22．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】直接利用位似图形的性质以及相似图形的性质分别分析得出答案．
【详解】解：∵任取一点，连，，，分别取点，，，使，，，
∴与的相似比为：，
∴①与是位似图形，正确；
②与是相似图形，正确；
③与的周长比为，正确；
④与的面积比为，正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是熟知位似的特点．
2．D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，直接利用位似图形的性质得出答案．
【详解】解：如图，位似中心是点P．
故选D
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
3．A
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是．
故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
4．B
【分析】连接AA1，BB1，则交点即为它们的位似中心．
【详解】如图，连接AA1，BB1，则交点即为它们的位似中心．
∴位似中心是点D.
故选B.
【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.①位似图形对应线段的比等于相似比；②位似图形的对应角都相等；③位似图形对应点连线的交点是位似中心；④位似图形面积的比等于相似比的平方；⑤位似图形高、周长的比都等于相似比；⑥位似图形对应边互相平行或在同一直线上.
5．B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，
∴．
∵∠AOB=∠FOE，
∴．
∴△AOB和△FOE的相似比是2．
∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4．
∵△AOB的面积是4．
∴△FOE的面积是1．
故选：C．
【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
7．A
【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∵，
∴相似比为：，
∴与周长比等于相似比；
故选A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质．熟练掌握位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，是解题的关键．
8．C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
9．B
【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
10．A
【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，延长线经过点，且，
以点为位似中心，把放大为原来的2倍，
点的对应点为点，
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
11．D
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．
12．B
【分析】由点的坐标为，利用勾股定理可求OA的长度，再根据，利用位似图形的性质即可求解．
【详解】解：∵的坐标为，
∴，
∵与位似，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键．
13．B
【分析】过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心．
【详解】解：如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(4,-2)．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，熟记“过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心”这一方法是解题的关键．
14．C
【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心．
【详解】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0, 1)，
故选：C．
【点睛】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键．
15． 位似
【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知：
，
，
与位似．
故答案为：位似．
（2）过点作于点，线段的延长线交与点，
，，
，
由题意：，，，
由（1）得，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
16．或/或
【分析】先根据平行四边形的性质求出点坐标，再根据根据以为位似中心且位似比为，得出点的坐标为：或，计算即可求出点的坐标．
【详解】∵平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，点的对应点为点，
∴点的坐标为：
或，
∴点的坐标为：或
故答案为：或
【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
17．或
【分析】根据位似变换的概念计算即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，点D与点B对应，点B的横坐标为3，
∴点D的横坐标为3×或3×，即点D的横坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
18．或
【分析】根据位似图形的性质，可得到，从而得到 ，即可求出点的坐标．
【详解】解： ∵是以原点为位似中心，的位似图形（为点 的对应点），
∴点 在 轴上，
∵与相似比为，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴点的坐标为 或．
故答案为： 或．
【点睛】本题主要考查了位似图形与坐标，熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k是解题的关键．
19．
【分析】连接交于，根据坐标系求出点的坐标，再根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接交于，则点为位似中心，
设的解析式为：，将，，
代入可得：，解得：，
∴的解析式为：，
当时，
∴点的坐标为，
则位似中心的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．还考查了待定系数法求一次函数解析式．
20．（8，0）
【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
【详解】解：连接BB1，A1A，易得交点为（8，0）．
故答案为：（8，0）．
【点睛】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．
21．(1)见解析；M点的坐标为
(2)见解析
【分析】（1）连接、、，它们的交点即为M点，写出M点的坐标即可；
（2）把、、点的横纵坐标都除以2或得到点、、坐标，然后描点即可．
【详解】（1）解：如图，点M为所作，M点的坐标为；
（2）解：如图，为所作．
【点睛】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者，也考查了位似的性质．
22．作图详见解析；A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，写出新图形各点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【点睛】本题考查作图——位似变换．
