28.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在中，，，，则的值为( )
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC，则cosA的值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）已知在中，，，则的度数为( )
A． B． C． D．无法确定
4．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
6．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）为a．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC高约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，中，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
10．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则 ．
11．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）计算：＝ ．
12．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）如图，各三角形的顶点都在方格纸的格点上，则 ．
13．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）在中，，a，b，c分别是的对边．已知，那么 ．
14．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）已知是锐角，，则＝ ； ．
15．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．
（1）的值为 ；
（2）点A到的距离为 ．
16．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）在中，若，则的补角是 ．
三、解答题
17．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）计算：．
18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）（1）解方程
（2）计算
19．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）（1）解方程；
（2）计算．
20．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）按要求解题
(1)解方程：
(2)计算：
21．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．
（1）求的大小；
（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．
22．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为8，，求的长．
23．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，抛物线经过点A（0，3），B（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，在△ABC中，以AC为直径的交AB边于点D，在AB边上取一点E，使得，连接CE，交于点F，且．
(1)求证：BC是的切线；
(2)若的直径为4，．
①求所对应的圆心角的度数；
②直接写出阴影部分的面积．
25．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，以BC为直径的半圆O在矩形ABCD的内部，将半圆O连同直径BC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E．圆心O的对应点．
(1)如图2，当圆心落在对角线AC上时，半圆与CD边交于点M，求CM长；
(2)如图3，当半圆与AD边相切于点P时，半圆与CD边交于点M，求扇形的面积；
(3)在旋转过程中，当与直线AD有两个交点时，直接写出的取值范围．
26．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）如图（1），菱形中，，点O在边上（不可与点B重合，可与点C重合），以O为圆心，长为半径的圆O与直线交于点E，与直线交于点F，设．
(1)如图（2），当点E与点C重合时，连接．
①__________；
②求的长度．
(2)当点E在线段上时，如图（3），连接，求阴影部分的面积S与x之间的关系式．（不要求写出x的取值范围）
(3)直接写出圆O与线段只有一个交点时x的取值范围__________．
27．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，点D在上，且，以B为圆心，将顺时针旋转形成半圆，P为半圆上任意一点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若与半圆相切，求的长度；
(3)当时，求的度数以及此时扇形的面积．
参考答案：
1．C
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键．
2．A
【分析】先利用勾股定理求出AB，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC，
∴AB3，
∴cosA，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
3．A
【分析】利用求得∠A的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：中，，，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴cos∠B=，
故选C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．B
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
【详解】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA cos 30°，
∴OA2，
∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝626．
故选：B
【点睛】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．
6．C
【分析】根据∠ABC的正切函数求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，∠ABC=28°，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角函数的应用，正切掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键．
7．B
【分析】根据正切点定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.，故该选项不符合题意，
B.，故该选项符合题意，
C.，故该选项不符合题意，
D.，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正切是锐角的对边与邻边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
8．D
【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．B
【分析】根据判别式的意义得到Δ=，从而可求出α的正弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=，
解得：sinα=，
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值．
10．
【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可
【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB
∵
∴∠BOC=2∠A=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=30°又
∴∠ABO=45°
在Rt△OBD中，OB=1
∴BD==
∵OD⊥AB
∴BD=AD=
∴AB=
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键
11．3
【分析】代入特殊角三角函数值，化简零次幂，然后再计算．
【详解】解：原式＝2×1+1
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解a0＝1（a≠0），熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12．/0.5
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由题可知，点D恰在格点上，令小方格的边长为1，则BD=，CD=，求得．
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题可知，点D恰在格点上，
∴三角形ABD和三角形BCD为直角三角形，
令小方格的边长为1，
∴BD=，CD=，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，求一个角的正切值，解决问题的关键是构建直角三角形进而求解．
13．/45度
【分析】先画出图形，再求出的余弦值即可得．
【详解】解：由题意，画图如下：
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三角函数值求角的度数，熟练掌握余弦的求法是解题关键．
14． 60°/60度 /0.5
【分析】根据特殊角的三角函数值，计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵是锐角，
∴，
∴，
故答案为：60°，.
【点睛】本题考查了60°的正切和余弦，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
15． /0.5 4
【分析】（1）由已知可得的值，由旋转的性质可知，由勾股定理可知的值，即可解得．
（2）由已知可得的值，由旋转的性质可知，由勾股定理可知的值即可解得．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及三角函数的正切定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
16．/105度
【分析】根据非负数的性质，可得，再由特殊角锐角三角函数值，可得，然后根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的补角是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，非负数的性质，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
17．＋
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：原式＝2×＋×＋×－1
＝＋＋－1
＝＋
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（1）；（2）1.
【分析】（1）根据因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）分别计算绝对值，特殊角的三角函数，二次根式，负整数指数幂，然后再进行合并，即可得到答案.
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2），
.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及实数混合运算的运算法则.
19．（1）；（2）
【分析】（1）方程利用平方差公式因式分解求解即可；
（2）利用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
或，
解得；
（2）
＝
＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及特殊角的三角函数值，掌握平方差公式以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可得到答案；
（2）根据特殊角的三角函数值代入计算即可求得答案.
【详解】（1）解：因式分解得：
∴
∴或
解得：；
（2）解：原式
.
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角的三角函数值，熟记解一元二次方程的方法和特殊角的三角函数值是解题的关键.
21．（1）60°；（2）详见解析
【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；
(2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．
【详解】解：(1)连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，∴，
∴，则．
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
．
故答案为：．
(2)连接，
由(1)得，，
∵，，∴，
∴，∴．
在与中，
∴，
∴．
又点在上，故与相切．
【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；
（2）由证得，运用正弦的概念可得结论．
【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA．
∵EF=PF，
∴∠EPF=∠PEF
∵∠APH=∠EPF，
∴∠APH=∠EPF，
∴∠AEF=∠APH．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°．
∴∠OAE+∠APH=90°．
∴∠OEA+∠AEF=90°
∴∠OEF=90°
∴OE⊥EF．
∵OE是的半径
∴EF是圆的切线，
（2）∵CD⊥AB
∴是直角三角形
∵
∴
设，则
由勾股定理得，
由（1）得，是直角三角形
∴
∴，即
∵
∴
解得，
【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．
23．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）化成顶点式，可得坐标，勾股定理可求得长度；
（3）如图，作，根据，，，设，根据，求解值，进而可得点坐标；设直线的解析式为，待定系数法求解析式为，进而可设过点且平行于直线的解析式为，代入点，计算求解后可得解析式，然后与二次函数解析式联立求解即可．
【详解】（1）解：将A（0，3），B（－1，0）代入中得，
解得，a＝－1，c＝3，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵，
∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），
∴DE＝4，BE＝2，
∴，
∴BD的长是．
（3）解：存在，点P坐标为或 ．
如图，作，
由题意知，
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴；
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设过点且平行于直线的解析式为，
将点代入得，
解得，
∴过点且平行于直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，顶点式，勾股定理，正切值，二次函数与特殊三角形的综合．解题的关键在于熟练掌握二次函数的知识并灵活运用．
24．(1)见解析
(2)①60°②
【分析】（1）根据边对等角以及三角形内角和定理可得，根据已知，即可得，即可得证；
（2）①如图，连接CD，OD．证明，根据相似三角形的性质，设，则，在Rt△ACD中，，可得，根据圆周角定理可得所对应的圆心角的度数为60°；
②根据即可求解．
【详解】（1）（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵OC是的半径，
∴BC为的切线．
（2）①解：如图，连接CD，OD．
∵AC是的直径，
∴．
∵BC为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，设，则，
解得，即．
在Rt△ACD中，，
∴，
∴所对应的圆心角的度数为60°．
②∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，根据特殊角的锐角三角函数值求角度，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，则，在中，利用勾股定理可求出的长度，由，可得出，根据相似三角形的性质可求出的长度；
（2）在图3中，连接、，过点作于点．证得四边形为矩形，得到，，在中，求得，进而证得△为等边三角形，得到，进而求出，根据扇形面积公式即可求出扇形的面积；
（3）当半圆与边相切于点时，如图3，由（2）知，根据三角函数的定义得到，当半圆经过点时，如图4，过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）在图2中，连接，则．
四边形是矩形，，，
，，，
在中，
，
是的直径，
，，
，
，即，
；
（2）在图3中，连接、，过点作于点．
半圆与直线相切，
，
四边形为矩形，
，
，
在中，，，，
，．
又，
△为等边三角形，
，
，
扇形的面积；
（3）当半圆与边相切于点时，如图3，
由（2）知，
，
，
当半圆经过点时，如图4，
过作于，
，
，
，
，
故当与直线有两个交点时，的取值范围为．
【点睛】本题考查了圆的综合题，矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形、等腰三角形的性质，扇形面积的计算，直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．(1)②5；①；
(2)；
(3)或
【分析】（1）①直接利用半径等于直接的一半即可求解；
②推出，，由，，则，利用勾股定理即可求解；
（2）由，，推出，根据阴影面积等于半圆面积减去，列式计算即可求解；
（3）分当与相切于点G时，当过点A时，当过点D时，三种情况讨论，画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：①当点E与点C重合时，，
∵菱形中，，
∴，
故答案为：5；
②∵是的直径，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则，
∵，即，
解得（负值已舍），
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
又，，
∴，
∴
∴；
（3）解：当与相切于点G时，与线段只有一个交点，连接，
过A作于点Ｉ，则四边形为矩形，
由题意得，，
同理求得，
此时，；
当过点A时，连接，过O作于点H，
∵，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即当时，过点A，此时与线段有两个交点；
当过点D时，，
此时，点O在点C处，
∴，
综上，与线段只有一个交点时，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正切函数，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)
(3)，扇形的面积是
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）根据相切得到，利用勾股定理求解即可；
（3）过P作与H，根据求出，利用三角函数求出， 再利用公式求出扇形的面积．
【详解】（1）证明：∵线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵与半圆相切，
∴，
∴；
（3）过P作与H，如图，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，，
当点P在半圆的左边时，如图
∴，
∴，即，
扇形的面积．
当点P在半圆的右边时，
∴，
∴，即，
扇形DBP的面积
综上所述，或，扇形的面积是或
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角形函数求角度，扇形面积的计算公式，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．28.2 解直角三角形及其应用 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，是的高，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）如图，直线，与和分别相切于点A和点B，点M和点N分别是和上的动点，MN沿和平移，若的半径为1，，则下列结论不正确的是（ ）
A．和的距离为2 B．当与相切时，
C． D．当时，MN与相切
3．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，，．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F．设交AB于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
4．（2022秋·河北衡水·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，，则⊙O的半径长为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．cm
5．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（）
A．π B．4π C．π D．π
6．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正南方向，由点向正西方向走a米到达点，此时测得点在点A的南偏西方向上，则河宽的长为( )．
A．a米 B．米 C．米 D．米
7．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．2a·cos32°米 B．2a·tan32°米 C．米 D．米
8．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．海里 D．海里
9．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，已知内接于半径为1的，（是锐角），圆心到的距离是 ；的长为 ；若，则的面积的最大值为 ．
11．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为 ，劣弧长为 ．
12．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，以正方形的对角线AC的长为边长作等边三角形AEF，，△AEF绕点A旋转，当CF最大时，则 ，当CF最小时，阴影部分的面积为 ．
13．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在半径为2的中，弦直径，垂足为，，点为上一点，于点．
（1） ；
（2）当点在上运动的过程中，线段长度的最小值为 ．
14．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，的半径为6，是的内接三角形，连接、，若与互补，则线段的长为 ．
15．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为 cm2．
16．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）小明骑自行车以15km/h的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图，出发时，在B点他观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为 km．(参考数据：，结果保留两位有效数字)．
17．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
三、解答题
18．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，等边的边长为6，点，分别是边，上一点，将射线绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交于点．
(1)若，求证：；
(2)若，，当时，求线段的长．
19．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．
(1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
(2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
(3)已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
20．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D在边BC上，且．
(1)求的值；
(2)若BD=2CD，求的值．
21．（2022秋·河北衡水·九年级期末）如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点B出发，沿BA边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C－B－A向终点A以每秒3cm的速度运动，Q追上P时停止运动，设运动时间为t秒．解答下列问题：
(1)当______时点Q与点B重合，当______时点Q追上点P；
(2)当Q在BC边上时，求t为何值时PQ的长为cm；
(3)作为P为圆心，PQ长为半径作，是否存在这样的t值，使正好与的一边（或边所在的直线）相切？若存在直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
23．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向 旋转．当旋转角为60°时，箱盖ADE落在的位置（如图2所示），已知，，．
(1)求点到BC的距离；
(2)求E、两点的距离．
24．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若点为的中点．
①求直线的表达式；
②以为直径作交直线于点，求点的坐标；
(3)如图3，若点为的中点，点为抛物线上一点，直线与所夹锐角为，且，求点的坐标．
25．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，为了测量某座古塔的高度，小明在坡度为的斜坡的底端D处测得古塔顶端A的仰角为，从D处沿斜坡上行22，4米到达C处，此时测得古塔顶端A的仰角为（已知点A，B，C，D在同一竖直平面内），求古塔的高度，（结果精确到1米，参考数据：，，）
26．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图-1，电脑水平放置在桌面上，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员将电脑屏幕绕点O旋转，减小张角度数继续探究，最后发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．
(1)求电脑屏幕顶端A点绕O点旋转到转过的弧长（结果保留）；
(2)请在图-2中画出线段，用其长度表示旋转后顶部边缘处离桌面的高度（不说理由），并求出高度约为多少厘米（结果精确到；参考数据：，，）
27．（2022秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（≈1.41，≈1.73）
28．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图1，A、B、C是表示某特产公司三个连锁门市，三个门市之间有AB、BC、AC公路相连，点C、B分别位于点A正东和北偏东60°的方向，六位同学分别利用不同途径获得A、C两点的距离如表：
小明 丽丽 小强 图图 小红 乐乐
AC（单位：km） 54 52 56 53 56 53
他们又调查了各门市该种特产的库存情况，绘制了下列尚不完整的统计图2，3．
(1)求表中AC长度的平均数
(2)求C处特产的吨数，并补充完整图2，图3．
(3)用（1）中AC长度的平均数作为AC的长度，测得点C位于点B的东南方向，因市场原因，需将A、C两门市的库存全部都调往B处，若运送1吨特产1千米需0.5元，求运送特产所需的总费用．（取1.7，取1.4）．
29．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）正定是一座历史悠久的古城，它的标志性古建筑南城门楼，吸引了众多游客的到访．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量南城门的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得南城门最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进14m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1m．求南城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：，，，）
参考答案：
1．B
【分析】根据可得，根据求出的长度，再根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
2．B
【分析】连结，根据切线的性质和得到AB为的直径，则和的距离为2；当与相切，连结，当在左侧时，根据切线长定理得，在中，利用正切的定义可计算出，在中，由于，可计算出，当在右侧时，，所以的长为或；当时，作于E，延长交于F，易证得，则，于是可判断垂直平分，所以平分，根据角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理得到为的切线．
【详解】连结，如图1，
∵与和分别相切于点A和点B，
∴，，
∵，
∴点A、O、B共线，
∴为的直径，
∴和的距离为2；
作于H，如图1，
则，
∵，
∴，
∴；
当与相切，如图2，连结，
当在左侧时，，
在中，，即，
在中，，，即，
当在右侧时，，
∴的长为或；
当时，作于E，延长交于F，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴平分，
∴，
∴为的切线．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
3．D
【分析】由折叠的性质可得∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，可证四边形ADED'是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE＝A'E＝，可求A'F＝，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED'＝30°，进而得到α＝30°＋45°＝75°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，进而可得∠A'AF＝7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可证△AFA'∽△EFG，可判断④．
【详解】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，
∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，
∴四边形ADED'是正方形，
∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，
∴D'B＝AB AD'＝2，
∵点F是BD'中点，
∴D'F＝1，
∴EF＝，
∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，
∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，
∴A'F＝，故①正确；
∵tan∠FED'＝，
∴∠FED'＝30°，
∴α＝30°＋45°＝75°，
∴弧D'D″的长度为：，故②正确；
∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，
∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，
∴∠A'AF＝52.5°－45°＝7.5°，故③正确；
∵D'E＝D''E，EG＝EG，
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），
∴∠D'GE＝∠D''GE，
∵∠AGD''＝∠A'AG＋∠AA'G＝7.5°＋52.5°＋45°＝105°，
∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，
又∵∠AFA'＝∠EFG，
∴△AFA'∽△EFG，故④正确，
所以所有正确的序号为：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
4．C
【分析】根据根据切线与直径的性质求出∠DCB=∠DAC，得到△DCB∽△DAC，再根据相似三角形与解直角三角形的性质求出，故可求出直径，进而求解．
【详解】连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠DCB=∠ACO，
∵CO=AO，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DCB=∠DAC，
又∠D=∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴∠BAC=，
∴，
解得CD=4cm，BD=2cm，
∴AB=AD-BD=6cm，
∴半径为3cm，
故选C．
【点睛】此题主要考查圆的切线与几何综合，解题的关键是熟知切线的性质、解直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质．
5．D
【分析】连接，由，得，又，可得是等腰三角形，E为OB的中点，可得，由垂径定理得，在中，可求得，然后由，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E为OB的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、解直角三角形和求扇形面积等，熟练掌握相关定理和扇形面积公式是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意确定∠CAB的度数，再利用三角函数求解即可．
【详解】解：如图，
∵点在点A的南偏西方向上，
∴∠CAB=50°．
∵该河道为东西流向且与河岸平行，点B在点A正南方向，
∴AB⊥BC．
∵点向正西方向走a米到达点，
∴BC=a．
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到三角函数值的问题，解决本题的关键是读懂题意，能在图形中找出相应的角或线段，牢记三角函数公式等，考查了学生应用数学的意识与能力．
7．B
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出BC的长，然后根据中点的定义可得出结论．
【详解】解：∵BD=a，∠CDB=32°，AB⊥BD，
∴BC=BD tan32°=a tan32°，
∵点C是AB的中点，
∴AB=2BC=2a tan32°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
8．C
【分析】首先根据路程等于速度乘以时间，计算出AB、BC的长，又由题意得 ，则由锐角三角函数和勾股定理即可求出．
【详解】解：∵航行至A处时，岛屿P恰好在其正北方向，
，
由题意得：， ，
∵P在B北偏西30°方向，
∴可得： ，
在中，
，
，
在中，，
，
(海里) ，
∴此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 海里．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数知识是解题的关键．
9．A
【分析】根据俯角的定义（在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角）来进行判断．
【详解】根据题意，得示意图
，与选项A相符．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用之俯角类问题，正确理解俯角的定义是解题的关键．
10． /
【分析】利用垂径定理和勾股定理，在中即可求出弦心距和弦长，要使的面积最大，则高要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：过点作，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由题意可知：,
在中，，
故圆心到的距离是；
在中，，
∴；
当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大，如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；；．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法，灵活运用垂径定理、圆周角定理等性质是解题的关键．
11． π/
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长，根据弧长公式可以求出劣弧的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，如图所示：
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=1×，
∴BC=2CD=；
劣弧长为：．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，是解答此题的关键．
12．
【分析】①当CF最大时，即CF为以A为圆心AC为半径的圆的直径，过点A作AM⊥CE，垂足为点M，根据已知条件可得到△AEC为等腰三角形，进而得到，然后根据即可求解；
②当CF最小时，即点C与点F重合时，过点A作AN⊥CE，垂足为点N，根据即可求解．
【详解】解：∵AB＝1，四边形ABCD为正方形，
∴，
①当CF最大时，即CF为以A为圆心AC为半径的圆的直径，如下图所示：
过点A作AM⊥CE，垂足为点M，
∵△AEF为等边三角形，
∴AF＝AE，∠FAE＝60°，
∴AE＝AC，∠EAC＝120°，
∴△AEC为等腰三角形，
∵AM⊥CE，
∴，
在Rt△AMC中，
，即，
∴MC=，
∴；
故答案为：；
②当CF最小时，即点C与点F重合时，如下图所示：
过点A作AN⊥CE，垂足为点N，在Rt△ANC中，
，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形，解题的关键是综合运用相关知识解题．
13． /
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．
【详解】解：①如图，连接OA．
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA sin60°＝，
∴AC＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝∠CHO＝90°，
∵∠HCO＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≥﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形及直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【详解】∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°-60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3，
∴BC=2DC=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
15．1944
【分析】设QM=PN=4k，BM=CN=3k，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，
∵四边形MNPQ是矩形，tanB=tanC=，
∴设QM=PN=4k，BM=CN=3k，
∴MN=108-6x，
∴S矩形MNPQ=4k(108-6k)=-24(k-)2+1944，
∵-24＜0，
∴k=时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为1944 cm2，
此时BQ=PC=5k=45，符合题意，
∴矩形MNPQ的面积的最大值为1944cm2．
故答案为：1944．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．
16．1.8
【详解】作AD ，BC= ，设AD=x,则BD=5-x，AD=x= ,x=
17．
【详解】解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．
则∠MAN=90°-60°=30°．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，
∴AN=AM cos∠MAN=100×=海里．
故该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合等边三角形的性质证明，，即可证明；
（2）过点作于点，首先证明为等腰直角三角形，然后在和中，借助三角函数解得，，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
19．(1)等边
(2)
(3)①或，②
【分析】（1）先证明为等边三角形，得出，再根据平行线的性质得出，即可得出结果；
（2）连接，根据切线性质得出，根据等边三角形的性质，得出，，利用三角函数求出，求出劣弧长度，进行比较即可；
（3）①根据圆周角定理，分两种情况求出结果即可；
②根据切线性质结合勾股定理得出，从而得出当的长度最短时，的长取得最小值，根据等边三角形的性质和勾股定理求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：连接，
∵与与相切，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
即当时，直线与相切；
∵取3，
∴，
∵，
∴，
∴线段的长度更长；
（3）解：①根据解析（1）可知，，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
综上所述，的度数为或；
②∵与相切，
∴，
∴，
当的长度最短时，的长取得最小值，
∴当时，的长取得最小值，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本性质和定理．
20．(1)
(2)sinB=
【分析】（1）根据题意先求出CD的长，再根据勾股定理求得AD的长，最后求出；
（2）先求出BC的长，然后根据勾股定理可以得到AB的长，最后求出的值．
【详解】（1）（1）在Rt△ACD中，tan∠CAD==，AC=3，
∴CD=2，
∴AD=，
∴cos∠CAD==；
（2）∵BD=2CD，CD=2，
∴BC=6
∴在Rt△ABC中， AB=，
∴sinB=
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）先连接，根据切线的性质得出，再直角三角形斜边的中线是斜边的一半得出，继而得出，从而得出即可；
（2）先连接、，得出四边形是矩形，得出，再根据三角函数即可求出BE的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）连接、，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
，
∴．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理的推论，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，平行线的性质，判断出OE∥BD是解本题的关键．
22．(1)秒，4秒
(2)2
(3)存在，或
【分析】对于（1），根据点Q的速度和BC即可求出时间，再表示出点P的速度，根据路程相等列出方程求出t即可；
对于（2），分别表示出BQ，BP，根据勾股定理列出方程，求出解即可；
对于（3），当圆P与直线AD两次相切时，列出方程，求出t的值，并判断是否成立；当圆P与BD相切时，根据锐角三角函数列出方程，求出t．
【详解】（1）秒，4秒．
当点Q与点B重合时，（秒）；
根据题意可知CQ=3t，BP=t，当点Q在边AB上追上点P时，得
t+8=3t，
解得t=4．
故答案为：秒，4秒．
（2）依题意BQ＝8-3t，
在Rt△BPQ中， ，
即：，
解得，．
当Q在BC边上时，
∴．
当Q在BC边上时，t=2时，PQ的长为cm；
（3）存在. 或．
当点P在AB上，点Q在BC上时，圆P与直线AD相切时，
BQ=8-3t，BP=t，QP=AP=6-t，根据勾股定理，得
，
即，
解得．
∵，
∴；
当点P，Q在AB上，圆P与直线AD相切时，
，
解得t=2．
∵当Q在BC边上时，
∴不合题意舍去；
当点P，Q在AB上，圆P与直线BD相切时，
可知PE⊥BD，于点E．
则BP=t，BQ=3t-8，
∴PQ=t-(3t-8)=8-2t，
即PE=8-2t．
又，
即，
解得．
所以或．
【点睛】这是一道动点的综合问题，考查了切线的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，锐角三角函数等．注意分情况讨论．
23．(1)
(2)
【分析】（1）如图所示，过点作垂足为点H，交AD于点F，先解直角三角形求出的长，再求出FH的长即可得到答案；
（2）连接AE，，，证明是等边三角形，，只需要利用勾股定理求出AE即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点作垂足为点H，交AD于点F，
由题意得：，，
∵四边形ABCD是矩形，
∵，
∴，
在中，
又∵CE＝40cm，DE＝30cm，
∴cm，
∴
答：点到BC的距离为；
（2）解：连接AE，，，如图所示．由题意，，
∴是等边三角形，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴
在Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm，
∴，
∴，
答：E、两点的距离为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)y = x2 +2x-3
(2)①；②
(3)（0，-3）或（-5，12）或或
【分析】（1）根据直线求点A，C坐标，设抛物线的表达式：y=a（x+3）（x-1），代入点C求解；
（2）①根据B，C坐标，求出点D坐标，进而利用点A，D坐标求解直线方程；②根据垂直，设CN的表达式为：，代入C点，求得表达式，联立直线AD和CN求解；
（3）过点E作EG⊥AC于点G，延长EF交AC于点M，求得直线EG的表达式，利用，求出点M的坐标，进而求出EM的直线表达式，与抛物线联立即可求出F点坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数y=-x-3，令x = 0得y=-3，令y = 0得x=-3，
∴A（-3，0），C（0，-3），
∵B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y = a（x + 3）（x-1），
把C（0，-3）代入抛物线得：a =1，
∴抛物线的表达式为：y =（x+3）（x-1），即抛物线表达式y = x2 +2x-3；
（2）解：①∵B（1，0），C（0，-3），D为BC的中点，
∴，，
∴点，
设直线AD的表达式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得：，
∴直线AD的表达式为；
∵AC是的直径，
∴∠ANC=90°，即CN⊥AD，
∴设CN的表达式为，
把点C（0，-3）代入得：m=-3，
∴CN的表达式为，
联立直线AD和CN，得：
，
解得：，
∴点N；
（3）解：设F（x，y），
∵E是AB中点，
∴点E（-1，0），
过点E作EG⊥AC于点G，延长EF交AC于点M，如图，
设直线AC的解析式为y=k1x+b1，
∵点A（-3，0）C（0，-3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
∵EG⊥AC，
∴设直线EG的解析式为y=x+b2，
把点E（-1，0）代入得：b2=1，
∴直线EG的解析式为y=x+1，
联立直线AC和EG的解析式得：
，
解得：，
∴点G（-2，-1），
∴，
∵，
设点M（s，t），
∴，
且M在y=-x-3上，即t=-s-3，
解得：s= 0或s =-4，
当s= 0时，M（0，-3），设直线ME为y=k2x+ b2，
把点M，E代入得：，
解得：，
∴直线ME的解析式为y=-3x-3，
同理当a=-4时，点M（-4，1），直线ME的解析式为，
联立得，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点F的坐标为（0，-3）或（-5，12）或或
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数、一次函数、圆的性质、正切值等知识点，综合性比较强，解题的关键是能够掌握直角坐标系内两直线垂直，k值相乘为一1，并能熟练使用两点间距离坐标公式求解．
25．古塔的高度约为30米．
【分析】过点C分别作交的延长线于点F，于点E，则四边形是矩形，先由坡度的定义和勾股定理求出米，米，设米，则米，再由锐角三角函数的定义求出（米），米，再利用锐角三角函数求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，过点C分别作交的延长线于点F，于点E，则四边形是矩形，
∴，，
根据题意，可知，，米，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∵，∴，
∴（米），
∴米，米，
设米，则米，
在中，，
∴（米），
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故古塔的高度约为30米．
【点睛】本题考查解直角三角形 仰角俯角，及坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．(1)
(2)23厘米
【分析】(1)首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解；
(2)过点作于点D，线段的长即为旋转后顶部边缘处离桌面的高度，再求出的度数，利用解直角三角形进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
，
电脑屏幕顶端A点绕O点旋转到转过的弧长为：
；
（2）解：如图：过点作于点D，线段的长即为旋转后顶部边缘处离桌面的高度，
，
，
，
故旋转后顶部边缘处离桌面的高度约为23厘米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的性质，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解题的关键．
27．这幢教学楼的高度AB是36.1m
【分析】利用60°的正弦值可求AG长，加上1.5m即为这幢教学楼的高度AB．
【详解】解：∵∠ACG=30°，∠AFG=60°
∴∠FAC=30°
∴∠ACG=∠FAC
∴AF=CF=40m
在Rt△AFG中，∵sin∠AFG=
∴AG=AF×sin∠AFG=40×sin60°
=40× ≈20×1.73=34.6(m)
∴AB=34.6+1.5=36.1 (m)
答：这幢教学楼的高度AB是36.1m.
【点睛】构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
28．(1)54
(2)40t、见解析
(3)412元
【分析】（1）根据算术平均数的公式求解即可；
（2）先用A处的特产吨数除以所占的百分比求得总量，总量减去A，B两处的特产吨数求C处特产的吨数，并将图2，图3补充完整；
（3）先求出AB，BC的长，再根据单价、数量、总价之间的关系进行解答即可．
【详解】（1）解：AC的长度的平均数为：（千米）；
（2）解：A、B、C三地特产总量为（吨），
C所占总量的百分比为，
所以C地特产数量为40×45%=18（吨）．
补充图形如下；
（3）解：过B作于D，
设，
，，
∴，，，，
∴，
解得x=20，
∴AB=40，BC=28，
∴从A地调特产到B地的费用为（元），
从C地调特产到B的费用为（元）
160+252=412（元）
所以运输特产的总费用为412元．
【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，平均数，条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系以及平均数的计算方法是解决问题的前提．
29．观星台最高点A距离地面的高度约为10.3m
【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，设AE＝CE＝x，BE＝14+x，根据锐角三角函数即可求解．
【详解】解：如图，过A作于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵
∴，
∴，
∴AD＝AE＋DE＝x +1≈10.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为10.3m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
