(共26张PPT)
13.2.2用坐标表示轴对称
人教版八年级上册
教学目标
1.探究在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标特点.
2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形.
3.能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.
新知导入
一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？
新知讲解
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
西直门(-3.5,4)
新知讲解
x
y
O
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗
A (2,3)
A′(2,-3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
横坐标相等,纵坐标互为相反数.
新知讲解
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗
x
y
O
A (2,3)
A′(-2,3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
横坐标互为相反数,纵坐标相等.
已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D() E(4,0)
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
新知讲解
在平面直角坐标系中，画出以上列表中已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律.
A
B
C
D
A′
B′(-1,-2)
B′
A′(2,3)
C′
C′(-6,5)
D′
D′(,-1)
(E′)
E′(4,0)
A′′
A′′(-2,-3)
B′′
B′′(1,2)
C′′
C′′(6,-5)
D′′
D′′(-,1)
E′′
E′′(-4,0)
归纳总结
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.
点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)
点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___)
相等
互为相反数
互为相反数
相等
x -y
-x y
典例精析
例2 、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5,1）, B（-2,1）, C（-2,5）, D（-5,4）, 分别画出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.
典例精析
已知点 A（-5,1） B（-2,1） C（-2,5） D（-5,4）
关于x轴的 对称点 A′（-5,-1） B′（-2,-1） C′（-2,-5） D′（-5,-4）
典例精析
已知点 A（-5,1） B（-2,1） C（-2,5） D（-5,4）
关于y轴的 对称点 A′′（5,1） B′′（2,1） C′′（2,5） D′′（5,4）
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.若点P(-2, 3)与点Q关于x轴对称,则Q点的坐标是( )
A. (-2, 3) B. (2, 3) C. (-2,-3) D. (2,-3)
2.已知点P关于x轴的对称点为(a,-2)，关于y轴的对称点为(1,b)，那么点P的坐标为( )
A. (a,-b) B. (b, -a) C. (-2, 1) D. (-1,2)
C
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知点P(2a+b,-3a)与点P (8,b+2).若点P与点P 关于x轴对称，则a=____,b=_____.
若点P与点P 关于y轴对称,则a=_____,b=_______.
4.若|a-2|+(b-5)2=0,则点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为________.
2
4
6
-20
(2,-5)
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 已知点P(a，a-b)在第四象限，求:
(1)点M(-a，b)所在的象限：
(2)点M分别关于x轴、y轴、原点的对称点M 1 、M 2 、M 3 的坐标：
(3)若a=b，P点和M点所在的位置.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：(1)∵点P(a，a-b)在第四象限， ∴a>0，a-b<0 ，
∴b>a>0，-a<0 ，∴M(-a，b)在第二象限.
(2)∵M 1 、M 2 、M 3 与M(-a，b)关于x轴、y轴、原点对称，
∴M 1 (-a，-b)、M 2 (a，b)、M 3 (a，-b).
(3)当a=b时，P点的坐标为(a，0)，M(-a，a).
∵a>0， ∴P点在x轴的正半轴上，M点在第二象限角平分线上(除去原点).
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.在平面直角坐标系中, △ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（-2,3）.
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向下平移4个单位长度；
做出平移后的△A2B2C2；
（3）求四边形AA2B2C的面积.
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）△ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（-2,3）, 关于y轴对称的点分别为A1（4,1）, B1（2,1）, C1（2,3）.
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）△ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（-2,3）, 向下平移4个单位长度的点分别为A2（-4,-3）, B2（-2,-3）, C2（-2,-1）.
课堂练习
【综合拓展类作业】
（3）四边形AA2B2C为梯形, 其中上底AA2=4, 下底B2C=6, 高A2B2=2, 所以四边形AA2B2C的面积为10.
课堂总结
用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特征
在坐标系中作已知图形的对称图形
关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同
关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置
板书设计
用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标规律：
1.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）, 特点是横坐标相同, 纵坐标互为相反数.
2.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）, 特点是纵坐标相同, 横坐标互为相反数.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（ 1,4）.将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C'的坐标是（ ）
A.(3,1) B.( 3, 1) C.(1， 3） D.(3， 1）
2.如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称
轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为( )
A. (-1,-2) B. (1,-2)
C. (-1,2) D. (-2, 1)
A
A
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，
解得a＝－8，b＝－5；
(2)∵A、B关于y轴对称，
∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴(4a＋b)2016＝1.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a, b)，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是_________.
(-a,-b)
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。
单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法
活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念
活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念
13.1.1轴对称
活动2：例题
活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法
活动3：例题
活动2：归纳等腰三角形的判定定理
活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想
活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义
活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质
13.4课题学习最短路径问题
活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法
13.3.2.2含30°角直角三角形的性质
轴对称
活动2：例题
活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质
13.3.2.1等边三角形的性质
13.3.1.2等腰三角形的判定
13.3.1.1等腰三角形的性质
13.1.2线段垂直平分线的性质
13.2.1作轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点
活动3：例题
活动3：例题
活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质
活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义
活动1：根据北京城区示意图找点
活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤
活动2：思考如何画轴对称
活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点
活动3：证明线段垂直平分线的判定
活动2：证明线段垂直平分线的性质
活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质
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分课时教学设计
第二课时《13.2.2用坐标表示轴对称》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节分为两课时，这是第二课时的新授课.是在学生学习了轴对称及轴对称变换的基础进行的，体现了轴对称在平面直角坐标系中的应用，体现了数形结合的数学思想.教材从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称所引起的点的坐标的变化规律，并探讨了如何利用这种坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形.为满足不同层次学生的学习需求，又进一步探究了关于直线x=m和直线y=n对称的点坐标之间的关系.本节课目的在于让学生感受图形轴对称变换之后的坐标的变化，把“形”和“数”紧密的结合在一起，把坐标思想和图形变换的思想联系起来，为后面函数的知识的学习打下基础.通过这节课学生进一步掌握轴对称图形的知识技能，领悟数学在实际生活中的对称美.
学习者分析 学生已经拥有了一定的在平面直角坐标系中研究图形的能力和方法，并已经在本章第1节学习了轴对称图形、图形的轴对称的概念、轴对称的基本性质、线段的垂直平分线的性质等内容，另外，在本节课的教学中，给学生留足空间和时间，以指导学生自主学习为主，辅之以教师的适当帮助、指导和适时的点拨、点评，为学生对于关于直线x=m或直线y=n对称的点的坐标关系的探究尽可能消除障碍。
教学目标 1.探究在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标特点. 2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形. 3.能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.
教学重点 探究关于坐标轴对称的点的坐标规律.
教学难点 运用关于坐标轴对称的点的坐标规律.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确地告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？ 学生活动1： 学生观察图片，动手操作，先独立思考，然后进行交流．活动意图说明：创设情境，让学生感受轴对称设计中蕴含的数学之美，引导学生观察与思考，从而引出课题.环节二：新知探究教师活动2： 如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？ 问题：如图，在平面直角坐标系中,你能画出点A关于x轴的对称点吗 关于y轴的呢？ 探究：找规律 在平面直角坐标系中，画出以上列表中已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律. 再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律. 归纳： 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.
点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)
点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___) 学生活动2： 学生观察图，找到西直门的坐标 学生根据对称的画法，在坐标系中找到关于x轴以及y轴的对称点 师生共同总结规律活动意图说明：在平面直角坐标系中，运用从特殊到一般的研究方法，由具体的一个点过渡到任意一点，均通过作图探究了其关于x轴对称的点的坐标规律，渗透了数形结合的数学思想. 然后类比探究关于y轴对称的点的坐标规律，发展学生的类比思维和推理能力.环节三：典例精析教师活动3： 例1. 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，分别画出与四边形ABCD关于 y 轴和 x 轴对称的图形. 解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称点的坐标分别为
A'(__，__)，B'(__，__)
C'(__，__)，D'(__，__)
依次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'.类似地，我们可以得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形A″B″C″D″. 学生活动3： 学生先独立思考，后相互交流。活动意图说明：运用关于坐标轴对称的点的坐标规律,熟练地写出平面直角坐标系中任意一点关于x轴和y轴的对称点坐标.
板书设计 关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）, 特点是横坐标相同, 纵坐标互为相反数. 2.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）, 特点是纵坐标相同, 横坐标互为相反数.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若点P(-2, 3)与点Q关于x轴对称,则Q点的坐标是( ) A. (-2, 3) B. (2, 3) C. (-2,-3) D. (2,-3) 2.已知点P关于x轴的对称点为(a,-2)，关于y轴的对称点为(1,b)，那么点P的坐标为( ) A. (a,-b) B. (b, -a) C. (-2, 1) D. (-1,2) 3.已知点P(2a+b,-3a)与点P (8,b+2).若点P与点P 关于x轴对称，则a=____,b=_____. 若点P与点P 关于y轴对称,则a=_____,b=_______. 4.若|a-2|+(b-5)2=0,则点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为________. 选做题： 5. 已知点P(a，a-b)在第四象限，求: (1)点M(-a，b)所在的象限： (2)点M分别关于x轴、y轴、原点的对称点M1 、M2 、M3 的坐标： (3)若a=b，P点和M点所在的位置. 【综合拓展类作业】 6.在平面直角坐标系中, △ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（-2,3）. （1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向下平移4个单位长度； 做出平移后的△A2B2C2； （3）求四边形AA2B2C的面积.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（1,4）.将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C'的坐标是（ ） A.(3,1) B.(3,1) C.(1，3） D.(3，1） 2.如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为( ) A. (-1,-2) B. (1,-2) C. (-1,2) D. (-2, 1) 选做题： 3.如图,将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线: 1、m、n、p为对称轴的轴对称的图形. 【综合拓展类作业】 4.如图，等边三角形ABC的边长为3cm，D, E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在A'处，且点A'在△ABC外部，求阴影部分图形的周长.
教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
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