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分课时教学设计
第一课时《13.3.1.1等腰三角形的性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，担负着进一步帮助学生学会分析、学会证明的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用；而“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，本节课是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一．
学习者分析 在此之前，学生已经学习了轴对称图形，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。初二学生心理和认知发展规律要求在教学中要充分调动他们的激情。
教学目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质. 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
教学重点 等腰三角形的性质及应用.
教学难点 等腰三角形性质的证明
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 提问： 1.什么是等腰三角形？ 2.等腰三角形的腰，底边，顶角，底角的定义 学生活动1： 学生思考回答问题活动意图说明：通过复习引入本节课的课题，激发学生的好奇心和求知欲.环节二：新知探究教师活动2： 如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形有什么特点？ 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 猜想： 性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC. 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了性质2. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC. 学生活动2： 学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质. 学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法 活动意图说明：通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯.环节三：典例精析教师活动3： 例1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 解：∵ AB=AC，BD=BC=AD ∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角) 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得 x=36° 所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°学生活动3： 学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法活动意图说明：巩固等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，培养学生运用方程的思想解决问题，把几何知识转化为代数知识的能力.
板书设计 性质1：等边对等角 性质2：三线合一
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 若等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为 ( ) A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80° 2. 如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为 ( ) A.85° B.75° C.65° D.30° 3. 如图,在△ABC中,点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C的大小为 . 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线DE交BC于点E,交AB于点D,连接AE,若∠BAC=120°,则∠AEC的大小为 . 选做题： 5. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连接CD,DE,BE,且BD=BC=BE. (1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数; (2)设∠ACD=α,∠ABE=β,求α与β之间的数量关系,并说明理由. 【综合拓展类作业】 6.如图，在中，，，点为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，交于点，点为边上一点，连接，． (1)若，则的度数为______； (2)若点是的中点，判断与的数量关系，并说明理由
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC的度数是 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 2. 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于地面,工程人员这种操作方法的依据是 ( ) A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一” 选做题： 3.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠1=35°,则∠A+∠C= °. 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是 . 【综合拓展类作业】 5、如图，在中，，点、在上，延长至使，连接；延长至使，连接，当时，猜想线段与线段的数量关系？并说明理由．
教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。
单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法
活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念
活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念
13.1.1轴对称
活动2：例题
活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法
活动3：例题
活动2：归纳等腰三角形的判定定理
活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想
活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义
活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质
13.4课题学习最短路径问题
活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法
13.3.2.2含30°角直角三角形的性质
轴对称
活动2：例题
活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质
13.3.2.1等边三角形的性质
13.3.1.2等腰三角形的判定
13.3.1.1等腰三角形的性质
13.1.2线段垂直平分线的性质
13.2.1作轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点
活动3：例题
活动3：例题
活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质
活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义
活动1：根据北京城区示意图找点
活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤
活动2：思考如何画轴对称
活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点
活动3：证明线段垂直平分线的判定
活动2：证明线段垂直平分线的性质
活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质
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13.3.3.1等腰三角形的性质
人教版八年级上册
教学目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
新知导入
A
B
C
1.有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
2.相等的两条边叫做腰.
3.另一条边叫做底边.
5.底边与腰的夹角叫做底角.
4.两腰所夹的角叫做顶角.
腰
腰
底边
顶角
底角
等腰三角形的概念
新知讲解
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并
剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
新知讲解
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜:由这些重合的角,你能发现等腰三角形的性质吗 说一说你的猜想.
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
新知讲解
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
新知讲解
证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
分析：
构造两个全等三角形
证明角相等
1.作底边上的中线
2.作底边上的高线
3.作顶角的角平分线
新知讲解
不同方法分组证明
作底边 BC 的中线 AD.
AB = AC (已知)，
BD = CD (已作)，
AD = AD (公共边)，
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴∠B =∠C .
在 △BAD 和 △CAD 中，
方法1：作底边上的中线.
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC (已知)，
AD＝AD (公共边)，
∵ AD⊥BC，
方法2：作底边上的高线.
∴∠B＝∠C.
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
还有其他方法吗？
归纳总结
性质1：等腰三角形的两个底角相等.
符号语言：
在△ABC中
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
A
B
C
新知讲解
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
新知讲解
证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC.
分析：
假设任意一种线段为已知条件
证明三线合一
新知讲解
证明：∵AB = AC，BD = DC，
∴∠ADB =∠ADC =90°.
∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADB=∠ADC.
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴在△ABD 和△ADC 中，
AB＝AC (已知)，
AD＝AD (公共边)，
BD = DC (已知)，
这三条线是否在
任意边上都重合？
归纳总结
符号语言:
（1）∵ 在△ABC中，AB = AC ，∠BAD = ∠CAD
∴ ⊥ ， = ；
（2）∵在△ABC中， AB = AC，BD = CD
∴ ⊥ ，∴∠ = ∠ ；
（3）∵ 在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,
∴∠ =∠ ， = .
性质2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（可简记为“三线合一”）
BAD CAD
BAD CAD
AD BC
AD BC
BD CD
BD CD
归纳：知一推二
A
B
D
C
典例精析
例1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角)
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得 x=36°
所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 若等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为 ( )
A.50° B.80°
C.65°或50° D.50°或80°
2. 如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为 ( )
A.85° B.75° C.65° D.30°
D
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图,在△ABC中,点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C的大小为 .
4. 如图,在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线DE交BC于点E,交AB于点D,连接AE,若∠BAC=120°,则∠AEC的大小为 .
34°
60°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连接CD,DE,BE,且BD=BC=BE.
(1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数;
(2)设∠ACD=α,∠ABE=β,求α与β之间的数量关系,并说明理由.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解:(1)∵∠A=30°,∠ACB=70°,
∴∠ABC=180°-30°-70°=80°.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=(180°-80°)=50°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=20°.
(2)2α=β.理由如下:
设∠BCD=x,
∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE=α+x,
∴∠DBC=180°-2x,∠EBC=180°-2(α+x),
∴∠DBC-∠EBC=(180°-2x)-[180°-2(α+x)]=2α.
又∠DBC-∠EBC=∠ABE=β,∴2α=β.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，在中，，，点为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，交于点，点为边上一点，连接，．
(1)若，则的度数为______；
(2)若点是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）∵∠ACB=9，AC= BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=，∠BCG=∠ACG=，
∴∠BCG =∠CAF=，
∵，
∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=-1=，
∴∠CBG=∠ACF=，
∴∠BGC=18-∠BCG-∠CBG=18- - = 10，
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）解：CF=2DE，
理由：连接AG，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG =∠CAF，
∴△BCG≌△CAF(ASA)，
∴BG=CF，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CM⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴ADCG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，即DG=2DE，
又∵点G是BD的中点，
∴DG=BG，
∴CF=2DE．
课堂总结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
板书设计
等腰三角形
性质1：等边对等角
性质2：三线合一
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2. 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于地面,工程人员这种操作方法的依据是 ( )
A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一”
B
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠1=35°,则∠A+∠C= °.
4. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP的度数是 .
35
15°或75°
作业布置
【综合拓展类作业】
5、如图，在中，，点、在上，延长至使，连接；延长至使，连接，当时，猜想线段与线段的数量关系？并说明理由．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：．
理由：，，，
，，
，
，，
又，
≌，
，
，
．
谢谢
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