(共24张PPT)
13.3.1.2等腰三角形的判定
人教版八年级上册
教学目标
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
新知导入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
新知讲解
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
A
B
C
猜想：若∠B= ∠C,则AB=AC
新知讲解
已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C,
求证：AB=AC.
C
A
B
2
1
D
（
（
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2
∠B=∠C
AD=AD
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
∴△ABD≌△ACD.
∴AB=AC.
△ABC是等腰三角形.
归纳总结
等腰三角形的判定：
如果有一个三角形的两个角_____，那么这两个角所对的边也相等.
几何语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ ____=____(等角对等边).
AB
AC
相等
注意：
1、用“等角对等边”前提是在同一个三角形中。
2、等腰三角形的定义也可以当做等腰三角形的判定。
新知讲解
C′′
思考：等腰三角形的性质定理与判定定理有什么区别
等边 等角
等角 等边
性质定理：等边对等角。
判定定理：等角对等边。
典例精析
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
典例精析
∴ AB = AC(_________ _)．
∴∠1 =∠B (_______________________ )，
∠2 =∠C (__________________ _____)．
证明：
∵ AD∥BC，
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等角对等边
∴∠B =∠C，
又∵∠1 =∠2，
证明两条线段相等，除了证明线段所在两个三角形全等外，还可以判定两条线段所在三角形是等腰三角形
总结
新知讲解
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
（1）作线段AB=a.
作法：
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
a
A
B
D
M
N
（3）在MN上取一点C，使DC=h.
C
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
新知讲解
如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
虽然满足条件的三角形可作出两个,但因它们全等,故只有一解.从这一意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
2.一个三角形的一个外角为130 ，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
B
C
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 ．
3cm
35°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E 作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．
求证：FG＝
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，
∴EF＝CF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ACD＝90°
∠AEF+∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴AF＝CF，
∵G是BC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
∴FG＝
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.综合与实践
【问题情境】数学活动课，老师带领同学们开展“测量塔高”的实践活动(同学们的身高忽略不计，且塔楼不阻碍通行)
【实践发现】如图，小明根据已有的数学知识，制订了测量步骤，并将测量数据记录如下。
① 选取塔的顶端作为参照点 A；
② 地面直线 l 上取测量点 C，在 C 处用工具测得∠ACD = 45°；
③ 沿射线 CB 的方向行走至测量点 D ，点 D 和点 C 在塔的两侧，并在 D 处用工具测得 ∠ADC = 45°；
④ 测得行走距离 CD ≈ 81.2 米.
【问题解决】请你根据小明的测量步骤，
求出塔高 AB 的长度.
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：由题意知，AB⊥DC.
∵∠ADC = 45°，∠ACD = 45°，
∴△ADC 是等腰三角形(等角对等边).
∴AB 是底边的中线 (三线合一) .
∴在 Rt△ABD 中，
∠BAD = 180° - 45° - 90° = 45° .
∴AB = DB (等角对等边) .
∴AB =CD ≈ 40.6(米).
课堂总结
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
板书设计
等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成“等角对等边”）．
2．等腰三角形的判定与性质的区别是条件和结论刚好相反．
3．运用等腰三角形的判定与性质时，应注意在同一个三角形中．
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于点O，给出下列4个条件:①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.从中选择2个条件，其中能判定△ABC为等腰三角形的组合有( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为______.
9
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°- 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，
∴ BA=BC（等角对等边）.
∵AB=20×（12-10）=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C40海里.
80°
40°
N
B
A
C
北
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,
DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C
∴AB=AC 即△ABC是等腰三角形.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。
单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法
活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念
活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念
13.1.1轴对称
活动2：例题
活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法
活动3：例题
活动2：归纳等腰三角形的判定定理
活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想
活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义
活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质
13.4课题学习最短路径问题
活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法
13.3.2.2含30°角直角三角形的性质
轴对称
活动2：例题
活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质
13.3.2.1等边三角形的性质
13.3.1.2等腰三角形的判定
13.3.1.1等腰三角形的性质
13.1.2线段垂直平分线的性质
13.2.1作轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点
活动3：例题
活动3：例题
活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质
活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义
活动1：根据北京城区示意图找点
活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤
活动2：思考如何画轴对称
活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点
活动3：证明线段垂直平分线的判定
活动2：证明线段垂直平分线的性质
活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质
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分课时教学设计
第二课时《13.3.1.2等腰三角形的判定》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 等腰三角形的判定是初中数学的一个重要定理，也是本章的重点内容．本节内容是在学生已有的平行线性质、命题以及等腰三角形的性质等知识的基础上进一步研究的问题．特点之一是它揭示了同一个三角形的边、角关系；特点之二是它与等腰三角形的性质定理互为逆定理；特点之三是它为我们提供了证明两条线段相等的新方法，为以后的学习提供了证明和计算依据，有助于培养学生思维的灵活性和广阔性．纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、全等三角形、轴对称等平面几何知识，并且具备了初步的观察、猜想、操作等活动经验的基础上讲授的．这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习平行四边形、菱形、矩形、正方形及圆等知识的基础，起着承前启后的作用．
学习者分析 八年级的学生对等腰三角形的知识已经了解很多，在日常生活中已经有所接触使用，等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是我们老师最重要的教学目的。新课标提出，要增强学生的数学应用意识，让学生体会数学的应用价值。
教学目标 1.掌握等腰三角形的判定方法. 2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.
教学重点 理解和运用等腰三角形的判定定理.
教学难点 利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 学生活动1： 学生思考回答问题活动意图说明：设置这样的悬念，使学生的学习活动有了明确的目的，从而能够积极主动地探索新知识环节二：新知探究教师活动2： 在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 如何证明？ 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，你能证明AB＝AC吗？ ①作高AD可以吗？ ②作角平分线AD呢？ ③作中线AD呢？ 师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即归纳等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”．学生活动2： 学生猜想它们所对的边相等． 教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线． 学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程． 活动意图说明：学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴．环节三：典例精析教师活动3： 例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明：∵ AD∥AC
∴ ∠1=∠B (_______________________)
∠2=∠C (_______________________)
又∵ ∠1=∠2
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC (____________) 例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 学生活动3： 学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 教师引导学生分析并写出已知与求作，教师指导学生作图． 学生发表自己的想法，教师总结学生的设想，给出正确的做法．活动意图说明：巩固所学知识，体会运用等腰三角形的判定方法进行证明的方法，学生通过例2的学习，自主探究作图的方法.
板书设计 性质1：等边对等角 性质2：三线合一
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 2.一个三角形的一个外角为130 ，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______. 4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 ． 选做题： 5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E 作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG． 求证：FG＝ 【综合拓展类作业】 6.综合与实践 【问题情境】数学活动课，老师带领同学们开展“测量塔高”的实践活动(同学们的身高忽略不计，且塔楼不阻碍通行) 【实践发现】如图，小明根据已有的数学知识，制订了测量步骤，并将测量数据记录如下。 ① 选取塔的顶端作为参照点 A； ② 地面直线 l 上取测量点 C，在 C 处用工具测得∠ACD = 45°； ③ 沿射线 CB 的方向行走至测量点 D ，点 D 和点 C 在塔的两侧，并在 D 处用工具测得 ∠ADC = 45°； ④ 测得行走距离 CD ≈ 81.2 米. 【问题解决】请你根据小明的测量步骤， 求出塔高 AB 的长度.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于点O，给出下列4个条件:①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.从中选择2个条件，其中能判定△ABC为等腰三角形的组合有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为______. 选做题： 3.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 【综合拓展类作业】 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.
教学反思 学生通过情境问题，为学习等腰三角形的判定做了知识铺垫. 之后将本节课的教学目标展示给学生，让学生做到心中有数，让学生带着问题看书，加强自主探索的能力. 通过学生观察、思考例题，自然地渗透分类讨论的数学解题思想. 通过课堂小结，让学生归纳比较等腰三角形的性质和判定的区别，同时将等腰三角形的性质定理与判定定理有机的结合起来，重在培养学生对两个知识点的综合运用，鼓励学生积极思考. 整节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是时间有点紧，课堂小结比较仓促.
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