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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。
单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法
活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念
活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念
13.1.1轴对称
活动2：例题
活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法
活动3：例题
活动2：归纳等腰三角形的判定定理
活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想
活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义
活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质
13.4课题学习最短路径问题
活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法
13.3.2.2含30°角直角三角形的性质
轴对称
活动2：例题
活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质
13.3.2.1等边三角形的性质
13.3.1.2等腰三角形的判定
13.3.1.1等腰三角形的性质
13.1.2线段垂直平分线的性质
13.2.1作轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点
活动3：例题
活动3：例题
活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质
活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义
活动1：根据北京城区示意图找点
活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤
活动2：思考如何画轴对称
活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点
活动3：证明线段垂直平分线的判定
活动2：证明线段垂直平分线的性质
活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质
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13.3.2.1等边三角形
人教版八年级上册
教学目标
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法.
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
新知导入
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
等边三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).
新知讲解
等边三角形是特殊的等腰三角形，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
分析：
边
等腰三角形
角
对称性
两腰相等
等角对等边
轴对称图形、三线合一
新知讲解
【问题1 】等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？
已知：如图，AB=AC=BC.
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
同理 ∠A=∠C
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
新知讲解
A
B
C
A
B
C
【问题2】等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
顶角的平分线、底边的高、
底边的中线、
三线合一
【结论】等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
归纳总结
等边三角形的性质：
1.等边三角形的三边相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.
3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
新知讲解
思考：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证.
分析：
三角相等
两角相等(等腰三角形的判定)
三角形
边
角
一角 60°
三边相等(等边三角形的定义)
新知讲解
1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A=∠B
∴ AC=BC
同理 AB=AC
∴ AB=AC=BC
即△ABC是等边三角形
判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形.
归纳总结
等边三角形的判定方法：
3. 有一个角是______的等腰三角形是等边三角形.
2. 三个角都______的三角形是等边三角形；
1. 三边都______的三角形是等边三角形；
相等
相等
60°
典例精析
例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
典例精析
方法二：
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ ∠ADE=∠AED
∴ AD=AE，且∠A=60°
∴ △ADE是等边三角形
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为( )
A.30° B.60° C.45 D.75°
D
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是_____cm.
4.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____.
5.如图，△ABC是周长为6的等边三角形,BD为中线，且BD=a,E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为________.
2
120°
2a+3
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN.
证明:∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
∵OB平分∠ABC
∴∠1=∠2=30°
∵OM//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3=30°
∴BM=OM,∠OMN=60°
同理CN=ON,∠ONM=60°
∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°
∴OM=ON=MN
∴BM=MN=CN
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3．
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF是等边三角形吗 请简要说明理由．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．
又∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，
∴∠BEC＝180°－∠2－∠BCE＝180°－(∠2＋∠ABD)＝180°－60°＝120°．
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)由(1)知∠BEC＝120°，
∴∠DEF＝60°．
同理：∠DFE＝∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
课堂总结
定义
等边三角形
__________的三角形等边三角形
判定
性质
____________的三角形是等边三角形
等边三角形的三个内角______，并且每一个内角________
三个角都相等
都相等
有____个角是___的______三角形是等边三角形
一
60°
等腰
三边都相等
等于 60°
板书设计
等边三角形
等边三角形的性质：
1.等边三角形的三边相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.
3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
等边三角形的判定方法：
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( )
A．40° B．30° C．20° D．15°
2.如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝ 时，△AOP为等边三角形．
C
a
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形.
∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三点共线，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (SAS).
∴∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.图①,图②中,点C为AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图①,线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②,AN与MC交于点E，BM与CN交于点F,
探究△CEF的形状,并证明你的结论．
图①
解：(1)AN=BM.理由如下：
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60 .
∴∠ACN=∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN=BM.
图②
作业布置
【综合拓展类作业】
图②
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE=∠FCM=60 ,
∴∠ECF=60 .
∵△ACN≌△MCB,
∴∠CAE=∠CMB.
∵AC=MC,
∴△ACE≌△MCF(ASA),
∴CE=CF.
∴△CEF是等边三角形．
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《13.3.2.1等边三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用．本课是在学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材．这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用．
学习者分析 学生在小学已经了解等边三角形的三条边相等，三个角相等，学生已经掌握等腰三角形的性质与判定，已经具备了初步的自主、合作、探究的学习能力，已经具备了初步的演绎推理能力.
教学目标 1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系. 2.掌握等边三角形的性质和判定方法. 3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
教学重点 探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用.
教学难点 等边三角形的性质与判定的运用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).学生活动1： 学生思考回答问题活动意图说明：通过问题情境引入本节课的课题，增强学生的学习兴趣环节二：新知探究教师活动2： 观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 怎样判定一个三角形是等边三角形呢？ 1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？
已知：如图，AB=AC=BC.
∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 同理 ∠A=∠C ∴ ∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 2. 等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 归纳总结： 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 学生活动2： 学生猜想等边三角形的性质． 教师引导学生，写出已知、求证，并引导学生解答 学生通过观察、思考、证明、归纳． 引导学生归纳等边三角形的性质活动意图说明：学生通过观察、思考、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察——实践——猜想——证明的创新思维过程.环节三：新知讲解教师活动3： 思考：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证. 分析： 三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？ 已知：如图，∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A=∠B ∴ AC=BC 同理 AB=AC ∴ AB=AC=BC 即△ABC是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形. 归纳总结： 等边三角形的判定方法： 1. 三边都__相等_的三角形是等边三角形； 2. 三个角都_相等_的三角形是等边三角形； 3.有一个角是60°__的等腰三角形是等边三角形.学生活动3： 学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明． 引导学生归纳等边三角形的判定活动意图说明：渗透类比的思想从边和角等角度去考虑一般三角形和等腰三角形成为等边三角形应满足的条件.环节四：典例精析教师活动4： 例1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形． 想一想：本题还有其他证法吗？ 方法二： 证明：∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴ ∠ADE=∠AED ∴ AD=AE，且∠A=60° ∴ △ADE是等边三角形学生活动4： 学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法活动意图说明：初步运用等边三角形的性质和判定，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生学习的积极性.
板书设计 等边三角形的性质 等边三角形的判定方法
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( ) A.25° B.60° C.85° D.95° 2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为( ) A.30° B.60° C.45 D.75° 3.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是_____cm. 4.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____. 5.如图，△ABC是周长为6的等边三角形,BD为中线，且BD=a,E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为________. 选做题： 6.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN. 【综合拓展类作业】 7.如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3． (1)求∠BEC的度数； (2)△DEF是等边三角形吗 请简要说明理由．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( ) A．40° B．30° C．20° D．15° 2.如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝ 时，△AOP为等边三角形． 选做题： 3. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小. 【综合拓展类作业】 4.图①,图②中,点C为AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形. (1)如图①,线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图②,AN与MC交于点E，BM与CN交于点F, 探究△CEF的形状,并证明你的结论．
教学反思 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形. 学习等边三角形的定义、性质和判定. 让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力. 让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识. 在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力.
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