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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。
单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法
活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念
活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念
13.1.1轴对称
活动2：例题
活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法
活动3：例题
活动2：归纳等腰三角形的判定定理
活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想
活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义
活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质
13.4课题学习最短路径问题
活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法
13.3.2.2含30°角直角三角形的性质
轴对称
活动2：例题
活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质
13.3.2.1等边三角形的性质
13.3.1.2等腰三角形的判定
13.3.1.1等腰三角形的性质
13.1.2线段垂直平分线的性质
13.2.1作轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点
活动3：例题
活动3：例题
活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质
活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义
活动1：根据北京城区示意图找点
活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤
活动2：思考如何画轴对称
活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点
活动3：证明线段垂直平分线的判定
活动2：证明线段垂直平分线的性质
活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质
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分课时教学设计
第一课时《13.4课题学习 最短路径问题》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在生产和经营中，为了省时省力常寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课在学生学习了轴对称之后，以“造桥选址问题”为载体，进一步开展对“最短路径问题”的研究，让学生经历实际问题抽象为数学中线段和的最小值问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，为以后线段最值问题的学习打下基础。
学习者分析 在学习本节课内容之前，学生已具有将实际问题抽象为数学问题的经验，且已学移、两点之间线段最短等相关知识，为本节课的学习做好铺垫。
教学目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
教学重点 应用所学知识解决最短路径问题.
教学难点 选择合理的方法解决问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？ 能用学过的数学知识解释这个问题吗？学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：为了体现本节课内容与已有知识间联系，采用多媒体直观显示图片，讲授法通过情境回顾旧知，引入课题。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小. 探究：现在假设点A,B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 探究：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
思考： 1.通过怎样的操作可以把同侧两点转化为异侧两点来解决呢？ 2.CB 与CB′的长度相等吗？ 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′. ∴ AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′ ∴ AC+BC＜AC′+BC′ 即AC+BC最短.学生活动2： 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识. 学生独立思考，画图分析，并尝试回答 学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充 师生共同分析然后学生说明证明过程，教师板书 活动意图说明：经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.环节三：新知讲解教师活动3： 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？ 如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. 你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？ 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 证明：如图，由平移的性质可知： AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′ 在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B ∴ A′N+NB＜AM′+N′B ∴ AM+NB＜AM′+N′B ∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B 学生活动3： 学生思考，画出图形，抽象出数学问题 学生观察当点Ｎ在直线b上的位置的改变时，AM、MN、NB 的长度变化情况，明确线段MN的长度不变，但AM+NB会发生变化的,体会选址的意义. 学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法 活动意图说明：通过问题串的设计为学生搭建脚手架，让更多的学上能够参与到课堂的活动中，逐步引导学生进行思考，并且通过前后知识类比学习，建立前后知识之间的联系，同时逐步学会用转化的思想将新问题转化成能够解决的问题，从而达到解决新问题的目的，培养学生的应用意识和推能力环节四：典例精析教师活动4： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 学生活动4： 师生共同总结 活动意图说明：让学生归纳，体会解决最短路径问题的基本策略，感悟转化思想.
板书设计 一、将军饮马问题 二、造桥选址问题
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某开发商的经适房的三个居民小区 A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和 150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在 ( ) A.小区 A B. 小区 B C.小区 C D. AC 的中点 2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ) 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 。 4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是 。 选做题： 5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ 【综合拓展类作业】 6.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l 的码头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l 的码头 C，最后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置。
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ） A．3 B． C．4.5 D．6 2.如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4 ， QD=3 ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 选做题： 3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上. (1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； (2) △ABC 的面积是______； (3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短. 【综合拓展类作业】 4.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
教学反思 本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高. 不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.
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13.4课题学习 最短路径问题
人教版八年级上册
教学目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
新知导入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
新知讲解
从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全程最短
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
新知讲解
l
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小.
C
新知讲解
如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。
A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
.C
那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？
新知讲解
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
B ′
连接AB ′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
C
新知讲解
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′ = AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
新知讲解
最短路径问题：
两点之间，线段最短
依据
利用轴对称实现线段的转移
关键
需要注意的细节：
区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程.
新知讲解
如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
新知讲解
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
新知讲解
A
B
M
N
a
b
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
新知讲解
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
A
B
M
N
a
b
A′
新知讲解
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
A
B
M
N
a
b
A′
你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？
新知讲解
证明：在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
N′
A
B
M
N
a
b
A′
M′
新知讲解
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.某开发商的经适房的三个居民小区 A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和 150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在 ( )
A.小区 A B. 小区 B
C.小区 C D. AC 的中点
2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
B
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 。
4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是 。
5
（0，3）
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′.
同理，BE=GE′.
由两点之间线段最短可知，GF最小.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l 的码头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l 的码头 C，最后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置。
湖岸 l
湖岸 l2
(1)
湖岸 l
湖岸 l
解：如图(2)示.
课堂总结
将军饮马问题
造桥选址问题
最短路径
利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题
板书设计
课题学习 最短路径问题
一、将军饮马问题
二、造桥选址问题
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A．3 B． C．4.5 D．6
2.如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4 ， QD=3 ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
A
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上.
(1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′；
(2) △ABC 的面积是______；
(3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短.
12.5
解：(1)如右图所示；
(3)如图，连接 BA′ 交 l 于点 P，P 即为所求.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为最小值.
作业布置
【综合拓展类作业】
由四边形内角和360°可得:
∠P1PP2=360°-90°-90°-40°=140°
∵BP=BP1，AP=AP2.
∴∠P1=∠BPP1，∠P2=∠APP2
∵∠P1+∠P2=180°-140°=40°
∴∠BPP1+ ∠APP2=40°
∴∠APB=∠P1PP2-∠BPP1-∠APP2=100°
谢谢
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