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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴对称的图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.3.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.4.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理;探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.5.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
内容分析 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上,利用轴对称,探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法,并进一步学习等边三角形。
学情分析 本章是在学习了三角形和全等三角形之后实行的，在全等三角形一章，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。所以，在这章，不但要求学生通过观察、实验、探究得出一些相关图形的结论，还要求学生对这些结论实行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性，这对学生来讲有一定的难度。
单元目标 教学目标1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质, 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质。4、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、讨论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。6、能够按要求作出简单平面图形的轴对称图形，初步学会从对称的角度欣赏和设计简单的图案。7、会利用尺规和基本作图作三角形，明白作图的道理，掌握基本的作图技能。(二)教学重点、难点教学重点：轴对称的概念和基本性质，线段的垂直平分线的概念和性质，角的平分线的性质等腰三角形的性质和判定，三个基本作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;作一个角的平分线。教学难点:轴对称，两个图形关于一条直线成轴对称 与轴对称图形的概念的区别与联系，利用轴对称与尺规作图解决路径问题，线段的垂直平分线和角的平分线的性质及探索。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 轴对称213. 2画轴对称图形213.3等腰三角形413.4课题学习最短路径1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1轴对称1、在生活实例中认识轴对称图，分析轴对称图形，理解其概念.2.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质，探究线段垂直平分线的性质.能区别轴对称和轴对称图形，并能利用线段垂直平分线的性质解决相关问题任务1.认识轴对称图形和轴对称任务2.归纳轴对称的性质任务3.探究线段垂直平分线的性质和判定13.2作轴对称图形 1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形。2.在直角坐标系中，能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，对应顶点坐标之间的关系。会作轴对称，并可以在坐标系中作轴对称，能写出点关于坐标轴对称的点的坐标任务1：通过操作对轴对称的性质进行归纳任务2.通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法任务3.用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称13.3等腰三角形1.探索等腰三角形的轴对称性质,探索并掌握等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质。2.探索并掌握等腰三角形的判定方法，探索并掌握等边三角形的判定方法学生能利用等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理解决问题任务1.探究等腰三角形的性质任务2.探究等腰三角形的判定任务3.探究等边三角形的性质任务4：探究等边三角形的判定13.4课题学习最短路径1.理解将军饮马问题的原理2.理解造桥选址问题的原理会运用两种方法解决最短路径问题任务1：出示问题任务2：归纳将军饮马问题的方法任务3：归纳造桥选址问题的方法
活动1：通过引例得出轴对称图形的相关概念
活动2：思考：通过观察图片，得出轴对称的概念
13.1.1轴对称
活动2：例题
活动1：通过问题1将军饮马的探究归纳出最短路径的一种方法
活动3：例题
活动2：归纳等腰三角形的判定定理
活动1：思考如果三角形两个角相等，边有什么关系并验证猜想
活动3：思考轴对称的性质，并得出线段垂直平分线的定义
活动1：通过两个三角板拼接找出边的关系，得出性质
13.4课题学习最短路径问题
活动2：通过问题2造桥选址的探究归纳出三条线段相加最短方法
13.3.2.2含30°角直角三角形的性质
轴对称
活动2：例题
活动1：通过等腰三角形的性质研究得出等边三角形的性质
13.3.2.1等边三角形的性质
13.3.1.2等腰三角形的判定
13.3.1.1等腰三角形的性质
13.1.2线段垂直平分线的性质
13.2.1作轴对称图形
13.2.2用坐标表示轴对称
活动2：找出相应点的对称点，总结点关于x轴，y轴对称的特点
活动3：例题
活动3：例题
活动2：通过动手操作得出等腰三角形的性质
活动1：动手剪出一个三角形，观察特点归纳定义
活动1：根据北京城区示意图找点
活动3：例题，并归纳出画轴对称的步骤
活动2：思考如何画轴对称
活动1：学生动手操作归纳出轴对称的特点
活动3：证明线段垂直平分线的判定
活动2：证明线段垂直平分线的性质
活动1：学生动手操作探究线段垂直平分线的性质
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13.1.2线段垂直平分线的性质
人教版八年级上册
教学目标
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
2.会用尺规能用尺规作已知线段的垂直平分线
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
新知导入
1.线段是轴对称图形吗？
2.什么叫线段的垂直平分线？
是
∵直线L是线段AB的垂直平分线
∴L⊥AB，AO=OB
A
B
O
L
新知讲解
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，…是l 上的点，请测量点P1，P2，… 到点A 与点B 的距离，猜想它们之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等
新知讲解
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ AC=BC，PC=PC
∴ △PCA≌△PCB (SAS)
∴ PA=PB
归纳总结
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
新知讲解
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
想一想：
你能说出线段垂直平分线性质定理的逆命题吗？
思考：
逆命题是真命题吗？
合作学习：
请同学们利用手中的材料，以小组为单位验证：点P、Q两点是否在线段AB的垂直平分线上？
新知讲解
猜想：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
已知：线段AB，PA=PB
证明：过点P作直线MN⊥AB于C，
∵ PA=PB
∴ △PAB是等腰三角形
∴PC是△PAB的中线
∴AC=BC
∴直线MN是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上
C
M
N
归纳总结
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号语言
∵PA＝PB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上
新知讲解
线段垂直平分线的性质定理
∵ P在线段AB垂直平分线上
∴ PA= PB
∵ PA= PB
∴P在线段AB垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
互逆
线段垂直平分线的性质定理与判定定理的关系：
典例精析
例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线
典例精析
∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
典例精析
例2.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：
1.分别以点A和B为圆心、以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点.
2.作直线CD.
CD就是所求作的直线.
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图. 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
新知讲解
同样，对于轴对称图，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
例如，图中的五角星,我们可以找出一对对应点A和A'，连接AA'，作出线段AA'的垂直平分线l，则Ⅰ就是这个五角星的一条对称轴.
类似地，你能作出这个五角星的其它对称轴吗
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为 ( )
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点。若EC＝7cm，则ED= cm； 如果∠ECD=300 ，那么∠EDC= 0。
4.如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.5 cm，BD＝2.5 cm，则四边形ACBD的周长为 cm.
7
30
8
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
∴OE是CD的垂直平分线.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，在公路MN和公路PQ之间有两个村庄A、B，现要修建一座仓库，使仓库到两条公路和两村庄的距离分别相等,请在图上画出仓库应建在何处，并说明理由(只保留作图痕迹,不写作法).
解:如图，点O即为仓库所建位置,
理由如下：
∵O到A、B距离相等
∴0在AB的垂直平分线上
∵O到公路的距离相等
∴O在两条公路相交形成的角的平分线上
因而O为AB垂直平分线与∠DCE的平分线的交点.
课堂总结
线段垂直平分线
性质定理
判定定理
证线段相等
到线段两端点的距离相等
点在这条线段的垂直平分线上
互逆
证点在线段垂直平分线上
板书设计
线段垂直平分线的性质
一、性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
二、判定：到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的
是（ ）
A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ．
2.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（ ）．
A．32 B．34 C．22 D．16
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
A
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____．
4.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12 cm，则△PMN的周长为_____cm．
13
12
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=4cm.
(1)作BC的垂直平分线MN，垂足为N，交AB于点M;
(2)在(1)的条件下，连接MC，求△AMC的周长.
解:(1)如图所示，MN为所求的直线.
(2)连接MC
∵MN是BC的垂直平分线..
∴BM=CM.
∴C△AMC=AM+MC+AC=AM+BM+AC
=AB+AC=6+4=10(cm)
谢谢
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分课时教学设计
第二课时《13.1.2线段垂直平分线的性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课的主要内容是进一步学习线段的垂直平分线的性质与判定。线段的垂直平分线的性质与判定在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明，方便计算。在本课的学习中，应注重联系线段的垂直平分线性质，提高综合运用知识的能力。
学习者分析 利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似之处猜想结论，体现了类比思想在发现新知识中的重要作用．启发学生画图观察，仿照角的平分线从定义、性质和判定三个角度思考，类比角的平分线定义可以得出倍半关系，类比角的平分线性质与判定分别得到线段的垂直平分线的性质与判定．在探索过程中，强调类比思想的重要性．对于性质与判定的证明，学生独立完成为主，对于确有困难的学生可以让其选取其一进行证明。
教学目标 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 2.会用尺规能用尺规作已知线段的垂直平分线 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
教学重点 线段的垂直平分线性质探究及应用
教学难点 线段垂直平分线判定的证明及应用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1.线段是轴对称图形吗？ 2.什么叫线段的垂直平分线？学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：通过问题激发学生的学习兴趣和进一步探究新知的欲望. 环节二：新知探究教师活动2： 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，…是l 上的点，请测量点P1，P2，… 到点A 与点B 的距离，猜想它们之间的数量关系． 猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等 已知：如图，直线L⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P 在L上．求证：PA=PB 归纳： 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何符号语言： ∵ PC⊥AB，PC平分AB ∴ PA=PB学生活动2： 师生共同画图，观察，比较，学生测量出距离，学生代表发言 学生独立完成，教师巡视，并请一位学生代表到黑板上来完成，根据证明过程 证明：∵ l ⊥AB ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又∵ AC=BC，PC=PC ∴ △PCA≌△PCB (SAS) ∴ PA=PB 师生共同总结归纳 活动意图说明：加深学生对定义的理解，培养学生的动手能力．学生通过证明、比较，准确掌握线段的垂直平分线的性质环节三：探究新知教师活动3： 想一想，把线段垂直平分线的性质反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢 如图，已知线段AB，点P是平点P是平面内一点，且PA=PB. 求证：P点在AB的垂直平分线上. 归纳总结： 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 符号语言：∵ PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上学生活动3： 学生大胆猜想点P在AB的垂直平分线上，教师直接把命题转化成几何的证明形式。 需要教师引导学生添加辅助线，剩下的让学生讨论之后写出证明过程，并选择一位同学代表的证明过程 证明：过点P作直线MN⊥AB于C， ∵ PA=PB ∴ △PAB是等腰三角形 ∴PC是△PAB的中线 ∴AC=BC ∴直线MN是线段AB的垂直平分线 ∴点P在线段AB的垂直平分线上 师生共同归纳总结活动意图说明：这是本节的难点，点P是否在线段AB的垂直平分线上太抽象了，既看不到又不好解决“在”的问题，线段的垂直平分线的集合定义在以后的学习中有很重要的用处，由学生归纳有一定的难度，不是本节课要解决的问题，故由老师直接归纳。 环节四：典例精析教师活动4： 例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 例2.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 同样，对于轴对称图，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.学生活动4： 学生根据所学知识动手画出图形活动意图说明：在得出线段的垂直平分线的判定定理的基础上马上安排例题，加深学生对定理的应用，这也是本节课的重点，要证明线段的垂直平分线，需要证明这条直线上有两个点到线段端点的距离相等，提高学生分析几何问题的能力。
板书设计 一、性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 二、判定：到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为 ( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ） A．50° B．70° C．75° D．80° 3.如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点。若EC＝7cm，则ED= cm； 如果∠ECD=300 ，那么∠EDC= 0。 4.如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.5 cm，BD＝2.5 cm，则四边形ACBD的周长为 cm. 选做题： 5.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 【综合拓展类作业】 6.如图，在公路MN和公路PQ之间有两个村庄A、B，现要修建一座仓库，使仓库到两条公路和两村庄的距离分别相等,请在图上画出仓库应建在何处，并说明理由(只保留作图痕迹,不写作法).
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． 2.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（ ）． A．32 B．34 C．22 D．16 选做题： 3．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为____． 4.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12 cm，则△PMN的周长为_____cm． 【综合拓展类作业】 5.如图，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=4cm. (1)作BC的垂直平分线MN，垂足为N，交AB于点M; (2)在(1)的条件下，连接MC，求△AMC的周长.
教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.
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