(共41张PPT)
第四章
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数的运算性质
可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk) =logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+)
条件 a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R
性质 (1)loga(M·N)=logaM+logaN
(2)loga =logaM-logaN
(3)logaMb=blogaM
名师点睛
1.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(M·N)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”.
2.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.例如:
log23+log2 =log2(3× )=log24=2.
过关自诊
1.[人教A版教材例题]求下列各式的值:
(1) ;(2)log2(47×25).
(2)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19.
2.[人教B版教材例题]用logax,logay,logaz表示下列各式:
(2)loga(x3y5);
(2)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay.
知识点2 换底公式
一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab= .这个结论称为对数的换底公式.
名师点睛
1.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
过关自诊
1.[人教B版教材例题]求log89×log2732的值.
2.[人教A版教材例题]尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
解 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lg E=4.8+1.5M,可得lg E1=4.8+1.5×9.0,
lg E2=4.8+1.5×8.0.
于是,lg =lg E1-lg E2=(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5.
利用计算工具可得, =101.5≈32.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
3.[人教B版教材例题]求证:lobs= logab,其中a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值:
(2)lg 52+ lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3.
规律方法 对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法
收 将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数
拆 将积(商)的对数拆成对数的和(差).
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式
变式训练1计算:
=3+2lg 10=3+2×1=5.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-
=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
探究点二 换底公式的应用
【例2】 计算下列各式的值:
(1)log89·log2732;
(2)(log43+log83)
规律方法 1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式训练2计算:(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究点三 有附加条件的对数求值问题
(1) 解∵6x=5y=a,
∴xlg 6=lg a,ylg 5=lg a.
解 设ax=by=cz=k(k>0,且k≠1).
∵a,b,c是不等于1的正数,
∴x=logak,y=logbk,z=logck.
∴logka+logkb+logkc=0,
即logk(abc)=0.∴abc=1.
规律方法 条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
证明 设3x=4y=6z=m(m>0,且m≠1),
则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
探究点四 解对数方程
【例4】 解下列方程:
(1)lg x2-lg(x+2)=0;
(2)lg x-lg 3=2lg 5-lg(x-10).
规律方法 对数方程的类型与解法
(1)logaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法为将对数式转化为指数式f(x)=ab,解出x,注意检验.
(2)logf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法为将对数式化为指数式[f(x)]b=n,解出x,注意检验.
(3)形如logaf(x)=logaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法为转化为f(x)=φ(x)求解,注意检验.
(4)形如f(logax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法为换元,令t=logax,转化为关于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程logax=p,得到x=ap,注意检验.
变式训练4 解下列方程:
(1)log3(x2-10)=1+log3x;
(2)lg x+2log(10x)x=2.
原方程可化为log3(x2-10)=log33x.
所以x2-10=3x,
解得x=-2或x=5.
检验知,方程的解为x=5.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数运算性质的应用;
(2)换底公式的应用;
(3)对数方程的求解.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件.
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1.log248-log23=( )
A.log244 B.2
C.4 D.-2
C
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2.log52·log425等于( )
A.-1 B.
C.1 D.2
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B
解析 ∵4a=9b=12,
∴a=log412,b=log912,
故选B.
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5.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α和β,则α+β= ,
-log26
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6.计算:(1)3log72-log79+2log7( );
(2)(lg 2)2+lg 2·lg 500+lg 125.
解 (1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
(2)原式=lg 2(lg 2+lg 500)+3lg 5=lg 2·lg 1 000+3lg 5=3lg 2+3lg 5
=3(lg 2+lg 5)=3lg 10=3.(共14张PPT)
第四章
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
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A 级 必备知识基础练
1.2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
C
解析 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
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2.若xlog34=1,则3(4x-4-x)=( )
A.5 B.7 C.8 D.10
C
解析 因为xlog34=1,所以log34x=1,即4x=3,
所以3(4x-4-x)=3×(3- )=8.故选C.
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3.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
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4.设a=lg 2,b=lg 3,则log318=( )
C
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5.[2023湖南郴州高一期末]log23·log32+ = .
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6.设ax=M,y=logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示 = .
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B 级 关键能力提升练
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B
解析 由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ),P>0,Q>0,P>2Q.
则(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,
所以P=Q(舍去)或P=4Q,所以 =4.
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9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
A.ab+bc=2ac
B.ab+bc=ac
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10.已知实数x,y,正数a,b满足ax=by=2,且 的最小值为 .
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11.[2023福建莆田高一期末]化简求值:
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11第四章§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
A级 必备知识基础练
1.2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.若xlog34=1,则3(4x-4-x)=( )
A.5 B.7 C.8 D.10
3.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.18
4.设a=lg 2,b=lg 3,则log318=( )
A.+1 B.+1
C.+2 D.+2
5.[2023湖南郴州高一期末]log23·log32+= .
6.设ax=M,y=logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示loga= .
B级 关键能力提升练
7.若lg x-lg y=a,则lg-lg=( )
A.3a B.a C.a D.
8.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则的值为( )
A. B.4 C.1 D.4或1
9.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么 ( )
A.ab+bc=2ac
B.ab+bc=ac
C.
D.
10.已知实数x,y,正数a,b满足ax=by=2,且=-3,则-a的最小值为 .
11.[2023福建莆田高一期末]化简求值:
(1)0.252×0.5-4-3-(-π)0+0.06;
(2)lo9+lg 25+lg 2-log49×log38++ln.
参考答案
§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
2.2 换底公式
1.C 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
2.C 因为xlog34=1,所以log34x=1,即4x=3,
所以3(4x-4-x)=3×(3-)=8.故选C.
3.D ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,
=logk2,=logk3.
∵2a+b=ab,=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,∴k=18.
4.C 由已知得log318=+2,故选C.
5.3 log23·log32++2=3.
6.3x- ∵ax=M,∴x=logaM,
∴loga=logaM3-loga=3logaM-logaN=3x-y.
7.A lg-lg=3=3(lgx-lgy)=3a.
8.B 由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ),P>0,Q>0,P>2Q.
则(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,
所以P=Q(舍去)或P=4Q,所以=4.
9.AD 由题意,设4a=6b=9c=k(k>1),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
因为=log69+log64=log636=2,所以A正确,B错误;
=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误;
=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.
10.- 已知实数x,y,正数a,b满足ax=by=2,则x=loga2,y=logb2,a>0且a≠1,b>0且b≠1,
则=2log2a+log2b=log2(a2b)=-3,可得a2b=,则=8a2,
因为a>0且a≠1,所以-a=8a2-a=8(a-)2--,
当且仅当a=时,等号成立,因此,-a的最小值为-
11.解(1)0.252×0.5-4-(3-(-π)0+0.06
=()2×()-4-[()3]-1+[()3]+2
=1--1++2=
(2)lo9+lg25+lg2-log49×log38++ln
=lo32+lg52+lg2-lo32×log323++ln
=4log33+lg5+lg2-log23×3log32+
=4+lg(5×2)-log23×3log32+
=4+1-3+2=4.
