第四章§1 对数的概念
A级 必备知识基础练
1.若7x=8,则x=( )
A. B.log87 C.log78 D.log7x
2.对数logab中的实数a的取值范围与下列哪个不等式的解集相同( )
A.a>0 B.<0
C.a(a-1)≥0 D.>0
3.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.e0=1与ln 1=0
B.与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
4.使得表达式log2(1-2x2)有意义的x的取值范围是 .
5.已知a=log48,b=log24,则4a= ,a+b= (用最简结果作答).
6.求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).
7.[2023江苏南京高一期末]求下列各式的值:
(1)()6;
(2)log28-lo9+eln 3.
B级 关键能力提升练
8.已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab= ( )
A.2 B.3 C.5 D.6
9.近年来,中国加大了电动汽车的研究与推广,预计到2060年,纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C(单位:A·h),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式为C=In·t,其中n=lo2.在电池容量不变的条件下,当放电电流I=10 A时,放电时间t=57 h,则当放电电流I=15 A时,放电时间为( )
A.28 h B.28.5 h C.29 h D.29.5 h
10.若f(ex)=x,则f(2)= .
11.已知函数f(x)=+2logax+3(a>0,a≠1).
(1)若f(3)=2,求a的值;
(2)若对任意的x∈[8,12],f(x)>6恒成立,求a的取值范围.
C级 学科素养创新练
12.若log2(lo(log2x))=log3(lo(log3y))=log5(lo(log5z))=0,试确定x,y,z的大小关系.
参考答案
§1 对数的概念
1.C
2.D 对数logab中的实数a的取值要求为a>0且a≠1,
对于A,本选项显然不符合题意;
对于B,<0 0
对于C,a(a-1)≥0 a≥1,或a≤0,显然不符合题意;
对于D,>0 a(a-1)2>0且a-1≠0,所以有a>0且a≠1,显然符合题意.故选D.
3.ABD log39=2应转化为32=9.
4.(-) 式子log2(1-2x2)要有意义,则1-2x2>0,解得-5.8 ∵a=log48,∴4a==8,即22a=23,∴2a=3,∴a=b=log24,∴2b=4,即2b=22,
∴b=2,∴a+b=+2=
6.解(1)由题意知x-10>0,所以x>10.
故x的取值范围是{x|x>10}.
(2)由题意知
即所以x>1,且x≠2,
故x的取值范围是{x|x>1,且x≠2}.
7.解(1)()6==27=128.
(2)log28-lo9+eln3=3+2+3=8.
8.D 设log2a=log3b=k,则a=2k,b=3k,∴a+b=2k+3k=5,∴k=1,∴a=2,b=3,∴ab=2×3=6.故选D.
9.B 由题意可得C=57×10n,当I=15A时,则57×10n=15n·t,∴t=57×()n=57×(=57×[()-1]=57×[(]-1=57×2-1==28.5.故选B.
10.ln 2
11.解(1)因为f(3)=2,所以+2loga3+3=2,所以=0,所以loga3=-1,解得a=
(2)由f(x)>6,得+2logax-3>0,即(logax+3)(logax-1)>0,即logax<-3或logax>1.当01,因为loga121不成立,由loga8<-3可得()3<8,得1时,loga8≤logax≤loga12,则loga12<-3或loga8>1,因为loga12>loga1=0,则loga12<-3不成立,所以loga8>1,解得112.解由log2(lo(log2x))=0,得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215
由log3(lo(log3y))=0,得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310
由log5(lo(log5z))=0,得lo(log5z)=1,log5z=,
z==(56,∵310>215>56,∴y>x>z.(共27张PPT)
第四章
§1 对数的概念
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握对数式与指数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数的概念
1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以_____ 为底 的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
名师点睛
“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算.
a
N
2.两种特殊的对数
名称 定义
常用对数 当对数的底数a= 时,通常称之为 ,并将log10N简记为
自然对数 在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N
10
常用对数
lg N
过关自诊
1.[人教B版教材例题]求下列各式的值:
2.[人教A版教材例题]把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(5)10-2=0.01.
(6)e2.303=10.
知识点2 对数的基本性质
1.负数和零没有对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,loga =-1.
3.对数恒等式 =N.
名师点睛
1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.
过关自诊
1.[人教B版教材习题]用对数的形式表示下列各式中的x:
(1)10x=25;(2)2x=12;(3)5x=6;(4)4x= .
解 (1)x=lg 25.(2)x=log212.(3)x=log56.(4)x=log4 .
2.[人教B版教材例题]已知log4a=log25b= ,求lg(ab)的值.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式与对数式互化:
(1) =-3;
(2)43=64;
(3)e-1= ;
(4)10-3=0.001.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
规律方法 1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之间的同一种关系.
式子 名称 意义
a b N 指数式ab=N 底数 指数 幂 a的b次幂等于N
对数式ogaN=b 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于b
2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
变式训练1将下列指数式与对数式互化:
(1)2-2= ;
(2)102=100;
(3)ea=16;
(5)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).
(2)log10100=2,或lg 100=2.
(3)loge16=a,或ln 16=a.
(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).
探究点二 利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x;
(2)log7(x+2)=2;
(3)ln e2=x;
(4)logx27= ;
(5)lg 0.01=x.
(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49.∴x=47.
(3)∵ln e2=x,∴ex=e2.∴x=2.
(5)∵lg 0.01=x,∴10x=0.01=10-2.∴x=-2.
规律方法 指数式ax=N(a>0,且a≠1)与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.
变式训练2求下列各式中的x值:
(1)log2x= ;(2)log216=x;(3)logx27=3.
(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33.∴x=3.
探究点三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值
【例3】 求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1; (3) =9.
解 (1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2.∴x=102=100.
规律方法
1 在对数的运算中,常见的对数的基本性质:(1)负数和零没有对数; (2)loga1=0(a>0,且a≠1);(3)logaa=1(a>0,且a≠1)
2 对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用
变式训练3求下列各式中x的值:
(1)ln(lg x)=1;
(2)log2(log5x)=0;
解 (1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e.
∴x=10e.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=5.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数的概念;
(2)两种特殊对数:自然对数、常用对数;
(3)指数式与对数式的互化;
(4)对数的性质及对数恒等式.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
成果验收·课堂达标检测
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1.将log5b=2化为指数式是( )
A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5
C
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2.已知ln x=2,则x等于( )
A.±2 B.e2 C.2e D.2e
B
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
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3.(多选题)下列选项中,可以作为对数中的真数的是( )
A.0 B.-5 C.π D.7
CD
解析 根据对数的定义可知0和负数没有对数,所以选项A,B没有对数;π>0,选项C有对数;7>0,选项D有对数.
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4.已知a=log23,则2a= .
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解析 由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
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5.求下列各式中x的值:
(1)log8x=- ;(2)logx27= ;(3)log3(lg x)=1.
(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,故x=103=1 000.(共15张PPT)
第四章
1 对数的概念
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A 级 必备知识基础练
1.若7x=8,则x=( )
A. B.log87 C.log78 D.log7x
C
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2.对数logab中的实数a的取值范围与下列哪个不等式的解集相同( )
D
解析 对数logab中的实数a的取值要求为a>0且a≠1,
对于A,本选项显然不符合题意;
对于B, <0 0对于C,a(a-1)≥0 a≥1,或a≤0,显然不符合题意;
对于D, >0 a(a-1)2>0且a-1≠0,所以有a>0且a≠1,显然符合题意.故选D.
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3.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.e0=1与ln 1=0
D.log77=1与71=7
ABD
解析 log39=2应转化为32=9.
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5.已知a=log48,b=log24,则4a= ,a+b= (用最简结果作答).
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6.求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).
解 (1)由题意知x-10>0,所以x>10.
故x的取值范围是{x|x>10}.
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B 级 关键能力提升练
8.已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab=( )
A.2 B.3 C.5 D.6
D
解析 设log2a=log3b=k,则a=2k,b=3k,∴a+b=2k+3k=5, ∴k=1,∴a=2,b=3,∴ab=2×3=6.故选D.
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9.近年来,中国加大了电动汽车的研究与推广,预计到2060年,纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C(单位:A·h),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式为C=In·t,其中n= .在电池容量不变的条件下,当放电电流I=10 A时,放电时间t=57 h,则当放电电流I=15 A时,放电时间为( )
A.28 h B.28.5 h C.29 h D.29.5 h
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10.若f(ex)=x,则f(2)= .
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11.已知函数
(1)若f(3)=2,求a的值;
(2)若对任意的x∈[8,12],f(x)>6恒成立,求a的取值范围.
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