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学科：数学
专题：两角和与差的正弦、余弦和正切
知识引入
重难点易错点解析
题一
题面：设为锐角，若，则的值为 ．
金题精讲
题一
题面：函数的值域是 .
题二
题面：，，，求.
题三
题面：，，求的值.
题四
题面：已知，求.
题五
题面：是锐角，，，求.
思维拓展
题一
题面：已知x，y满足，求与的值.
参考公式：
[万能公式]
(1) (2) (3)
[和差化积与积化和差公式]
；
；
；
； ；
；
[来源:21世纪教育网]
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：.21世纪教育网
金题精讲
题一
答案：[－1,1]
题二
答案：[来源:21世纪教育网]
题三
答案： 5
题四
答案： 或
题五
答案：
思维拓展
题一
答案：；.
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学科：数学
专题：专题 两角和与差的正弦、余弦和正切
题1：
题面：已知，tan(α+β)=1，且α是第二象限角，那么tanβ的值等于_____________.
题2：
题面：函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
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题3：
题面：已知α、β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β的值为________．
题4：
题面：若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝________.
题5：
题面：已知α∈ (0，π)，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为 ( )
A．－ B．－ 或－ C．－ D． 或－
题6：
题面：已知，，则( )
A. B. C. D.
题7：
题面：证明
题8：
题面：已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
题9：
题面：已知△ABC中的三内角A、B、C成等差数列，且，21世纪教育网
求的值．
题10：
题面：已知函数f(x)＝.
(1)求f 的值；
(2)当x ∈时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．
课后练习详解
题1：
答案：－7
详解：
∵，α是第二象限角，
∴.
∴.
∴tanβ=tan［(α+β)－α］
.
题2：
答案：1－.
详解：y＝(2cos2x－1)＋sin 2x＋1＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1
∴y的最小值为1－.
题3：
答案：
详解：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝.
∴β＝.
题4：
答案：.
详解：∵cos(α＋β)＝cos αcos ( http: / / www.21cnjy.com ) β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos αcos β＝，sin αsin β＝.
∴＝，
即tan α·tan β＝.
题5：
答案：A.
详解：
当α∈(0，)时，sinα＋cosα＝sin(α＋)＞1．故α∈(，π)．
∴sinα＞0，cosα＜0．且|sinα|＞|cosα|∴|tanα|＞1．
由(sinα＋cosα)2＝sin2α＝－＝－tanα＝－或tanα＝－(舍)．
题6：
答案：C.
详解：∵，又.
联立解得或
故，或，
代入可得
或
故选C.
题7：
答案：见详解.
详解：
题8：
答案：(1)－. (2)－.
详解：(1)由tan＝＝.解得tan α＝－.
(2)＝ ＝tan α－＝－.
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题9：
答案：
详解：由已知，B＝60°，A＋C＝120°
题10：
答案：；最小值是1，最大值是.
详解：
f(x)＝ ＝
＝2cos2x＋1－2＝2cos2x－1＝cos 2x.
(1)f ＝cos 2＝cos＝cos＝.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin.
由0≤x＜，故≤2x＋＜， ∴≤sin≤1，1≤sin≤.
即g(x)的最小值是1，最大值是.
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学科：数学
专题：专题 两角和与差的正弦、余弦和正切
题1：
题面：已知角α在第一象限且，则等于( ）
A. B. C. D.
题2：
题面：若，则cosα+cosβ的取值范围是_____________.
题3：
题面：若3sin x－cos x＝2sin(x－φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝ ( )
A．－ B. C. D．－
题4：
题面：已知sin＝，则sin 2x的值为 ( )
A. B. C. D.
题5：
题面：
题6：
题面：若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝________.
题7：
题面：
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题8：
已知sin( ＋ )＝，sin( - )＝，求tan cot 的值．
题9：
题面：如图，在平面直角坐标系xOy中，以 ( http: / / www.21cnjy.com )Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B两点的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的大小．
( http: / / www.21cnjy.com )
课后练习详解
题1：
答案：C
详解：∵角α在第一象限且，
∴.
∴
=2cosα+2sinα
.故选C.
题2：
答案：［，］
详解：
令t=cosα+cosβ，①
，②
①2+②2，得.
∴∈［－2，2］.
∴t∈［，］.
题3：
答案：B.
详解： 2sin(x－φ)＝2(sin xcos φ－cos xsin φ) ＝3sin x－cos x，
∴cos φ＝，sin φ＝.
又φ∈(－π，π)，
∴φ＝.
题4：
答案：A
详解：
sin 2x＝cos＝cos 2＝1－2sin2 ＝1－2×2＝. 21世纪教育网
题5：
答案：
详解：
是锐角，
是锐角
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题6：
答案：.
详解：
∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α＋β＜， ∴sin β＝，cos(α＋β)＝－，
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝×＋× ＝.
题7：
答案：见详解.
详解： 21世纪教育网
题8：
答案：5.
详解：∵ sin( ＋ )＝，
∴ sin cos ＋cos sin ＝ ①
又sin( - )＝
∴ sin cos -cos sin ＝ ②
由①②解得sin cos ＝，cos sin ＝
∴ ＝tan cot ＝5．
题9：
答案：(1)－3. (2) .
详解： (1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝，cos β ＝.因为α为锐角，故sin α>0，21世纪教育网版权所有
从而sin α＝＝，同理可得sin β＝，因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝.
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