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学科：数学
专题：平面向量的概念及线性运算
题1：
题面：下面四个命题：
(1)所有的单位向量相等；
(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；
(3)由于零向量的方向不确定，故与任何向量不平行；
(4)对于任何向量，，必有|+|≤||+||．
其中正确命题的序号为 （4）．21世纪教育网
题2：
题面：对于空间中的非零向量
①；②；
③；④
其中一定不成立的是 ．
题3：
题面：三棱锥P－ABC中，M为BC的中点，以为基底，则可表示为 ____.
题4：
题面：如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设，试以为基底表示．21世纪教育网版权所有
题5：
题面：在四面体中，，为的中点，
为的中点，则 (用表示)．
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题6：[来源:21世纪教育网]
题面：已知和点M满足.若存在实使得成立，则=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
题7：
题面：已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )
A.重心 外心 垂心 B.重心外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)
[来源:21世纪教育网]
题8：
题面：O是△ABC所在平面上的一定点，动点P满足λ∈[0，+∞)，则点P 形成的图形一定通过△ABC 的 ．(填外心或内心或重心或垂心)
课后练习详解
题1：
答案：(4)．
详解：(1)单位向量指模为1 的向量，方向可为任意的，故错误；
(2)由共线向量的定义，方向相反的两个向量一定是共线向量，故错误；
(3)规定：零向量与任何向量为平行向量，故错误；
(4)因为|+|2=2+2+2 ≤2+2+2|| ||=(||+||)2，故正确
故答案为：(4)．21教育网
题2：
答案：②．
详解：根据空间向量的加减法运算，
对于①：恒成立；
对于②：，即②不成立；
对于③：当方向相同时，有；21cnjy.com
对于④：当共线且与方向相反时，
有．
故答案为：②．
题3：
答案：．21世纪教育网
详解：在△ABC中，M为BC的中点，则由平行四边形法则得
题4：
答案：．
详解：∵DC∥AB，AB=2DC，E、F分别是DC、AB的中点，
题5：
答案：
详解：因为D是BC的中点，E是AD的中点，
题6：
答案：B
详解：由知，点M为△ABC 的重心，设点D为底边BC的中点，
题7：
答案： C
详解：由值，O为△ABC的外心；21世纪教育网
由知，O为△ABC的重心.
∵ ∴，∴
∴
同理 ，∴P为△ABC的垂心.
题8：
答案：垂心．
详解：，
，
∵，
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心
故答案为：垂心．
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学科：数学
专题：平面向量的概念及线性运算
知识引入
大家听说过“海盗藏宝”问题吗？
有个人，祖上是海 ( http: / / www.21cnjy.com )盗，家族几代收藏着一张藏宝图(下图)：海中某个荒岛上埋藏着珍宝.这个人历尽千辛万苦终于找到了这个荒岛，几十年的风雨，两棵橡树倒是枝繁叶茂，而十字架早已化为尘土，随风而逝了.21世纪教育网版权所有
失望之余，他把自己的故事连同藏宝图一并封在瓶中
抛入大海.公元2013年某日，在一大堆垃圾邮件中，
你发现了这个漂流瓶，你愿一试吗？
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重难点易错点解析
题一
题面：“向量平行”与“向量共线”是一回事吗？试着回答下面问题：
(1)两个向量共线，则它们一定在一条直线上吗？
(2)两个向量平行，则它们的基线一定平行吗？
(3)两个向量方向相反，则它们一定共线吗？
(4)两个向量共线，则它们一定同向或反向吗？
金题精讲
题一
题面：计算：
(1)
(2)
(3)化简：
题二
题面：(1)四棱柱中，六个面都是平行四边形，
记， ，，用、、表示.
(2)在△ABC中，D是边BC的中点，用表示.
题三
题面：如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，．21世纪教育网21教育网
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题四
题面：在△ABC中，
(1)若点M满足条件：，则点M是△ABC的 心；
(2)点M是空间中任意一点，G是△ABC的重心，求证：.
题五
题面： △ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m=
题六
题面：(1)已知：O为△ABC外心，，则点H是△ABC的 心；
(2)已知：H为△ABC垂心，，则点O是△ABC的 心；
(3)如果点O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，求证：.
思维拓展
题一
题面：在△ABC中，，，则P点的轨迹通过△ABC的 .
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：(1)不一定，可能平行 (2)不一定，可能重合
(3)一定 (4)不一定，的方向不确定
金题精讲
题一
答案： (1) (2) (3)
21世纪教育网
题二
答案：(1)
(2)，
题三
答案：，，
题四
答案：(1)重 (2)略
题五
答案： 1
题六
答案：(1)垂 (2)外 (3)略
思维拓展[来源:21世纪教育网]
题一
答案：B
橡树
橡树
十字架
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学科：数学
专题：平面向量的概念及线性运算
题1：
题面：给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数4 ．2·1·c·n·j·y
题2：
题面：计算： ．
题3：
题面：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，
，如果向量，请用表示向量．
题4：
题面：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，
若，试以为基底表示．
题5：
题面：设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
则( )
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1w
题6：
题面：已知△ABC的外接圆的圆心为O，若，则△ABC是( )21世纪教育网
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．下能确定
题7：
题面：设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，
若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )
A． 三角形区域 B．四边形区域
C． 五边形区域 D．六边形区域
题8：
题面：已知O为平面内一定点，设条件p：动点M满足
λ∈R；条件q：点M的轨迹通过△ABC的重心．则条件p是条件q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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课后练习详解
题1：
答案：4．
详解：∵向量的长度与向量的长度相等即=，∴①正确，
∵向量与向量平行，则两个向量的方向相同或相反或是有一个是零向量，∴②不正确，
∵两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；∴③正确，
∵两个有共同终点的向量，不一定是共线向量，这样的向量起点可以在以终点为圆心的圆上．
∴④不正确，21世纪教育网版权所有
∵向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D不一定在同一条直线上，
∴⑤不正确，
∵有向线段可以表示向量，向量可以用有向线段来表示，∴⑥不正确，∴有四个假命题．
故答案为：4．21教育网
题2：
答案：．
详解：．
故答案为：．
题3：[来源:21世纪教育网]
答案：．
详解：∵向量，∴，
∵，∴，∴．
题4：
答案：．
详解：由题意可得G是△BCD的重心，故
[来源:21世纪教育网]
题5：
答案：C
详解：由＝16，得＝4，＝4
而
故2
答案：C
题6：
答案：C．
详解：由可得点O为边BC的中点，
由点O为△ABC的外接圆的圆心，即BC为圆的直径，
故∠BAC为直径所对的圆周角，所以∠BAC=90°，
故△ABC是直角三角形，
故选C．21cnjy.com
题7：
答案： D
详解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.21·cn·jy·com
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题8：
答案：B
详解：条件p：动点M满足)，设BC的中点为D，
则有，故和共线，所以A、M、D三点共线，
即点M在△ABC的中线AD上，故点M的轨迹通过△ABC的重心．即p q；
反之，若点M的轨迹通过△ABC的重心，设△ABC的重心为G，
如M的轨迹为线段BG，当M在点B时，不存在λ使成立．
故选B.www.21-cn-jy.com
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