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学科：数学
专题：平面向量的数量积及向量应用
题1：
题面：△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，
则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
题2：
题面：在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则的值为________．
题3：
题面：若为的内心，且满足，
则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.正三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形
题4：
题面：已知点P是△ABC的内心(三个内角平分线交点)、外心(三条边的中垂线交点)、重心(三条中线交点)、垂心(三个高的交点)之一，且满足，则点P一定是△ABC的( )21cnjy.com
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
题5：
题面：已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大、小值分别是( )
A．4，0 B．4，2
C．16，0 D．4，021世纪教育网
题6：
题面：如图所示，在平行四边形ABCD中，，垂足为P，且，
则_______.
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题7：
题面：如图，已知， ， ，GB的长为，求GA，GC的长．
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课后练习详解
题1：
答案：D
详解：.如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝.
又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，
∴AD＝.
∴＝＝(a－b)＝a－b.
所以选D
题2：
答案：4
详解：||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.21·cn·jy·com
题3：
答案：A
详解：，
，
是以为一组邻边的平行四边形的一条对角线，
而是另一条对角线，
表明这两条对角线互相垂直，
故以为一组邻边的平行四边形为菱形.
即△ABC为等腰三角形
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题4：
答案：B
详解：设D为BC的中点，可得
∵
∴点P满足
∵向量，∴，
移项得，即，得．
结合D为BC的中点，可得P在BC的垂直平分线上
又∵点P是△ABC的内心、外心、重心和垂心之一
∴结合三角形外接圆的性质，得点P是△ABC的外心
故选：B21世纪教育网版权所有
题5：21世纪教育网
答案：D
详解：由于|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝8－4(cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋)，
易知0≤8－8cos(θ＋)≤16，故|2a－b|的最大值和最小值分别为4和0.
题6：
答案：18
详解：设，则，
题7：
答案：见详解
详解：因为，所以点G为△ABC的重心，取BC的中点，连结GD，并延长GD到点E，GD=GE，连结BE，CE，21教育网
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所以四边形GBEC为平行四边形，
，所以，
在△BGE中，由正弦定理得，
所以，，
所以，.
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学科：数学
专题：平面向量的数量积及向量应用
知识引入
是什么意思？
怎么计算？
能计算吗？
等式“”的两边能约分吗？为什么？
重难点易错点解析
题一
题面：在中，是边的中点，，求的值.
21世纪教育网
金题精讲
题一
题面： ，，是中点.计算：
(1) ；(2) ；
(3)
题二
题面： 是单位向量，夹角为.一般记.
(1) ；(2)= ；
(3)= ；(4)与的夹角是 .
题三
题面：若点满足条件：，则点H是△ABC的_____心.
[来源:21世纪教育网]
题四
题面：已知向量与的夹角为，则等于 .
题五
题面：直角三角形ABC中，∠A是直角，A为EF中点，且EF与BC夹角为，，，则的值为_______.21世纪教育网版权所有
[来源:21世纪教育网]
思维拓展21世纪教育网
题一
题面： 求证：平行四边形的对角线平方和等于四条边的平方和.
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：
金题精讲
题一
答案：(1) 0 (2)16 (3)－9
题二
答案：(1)7 (2) (3) (4)120o
题三
答案：垂
题四
答案：4.
题五
答案：1或－3.
思维拓展
题一
答案：略
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学科：数学
专题：平面向量的数量积及向量应用
题1：
题面：在△ABC中，AB＝2， AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D.
题2：
题面：已知平面上三点A、B、C满足||＝6，||＝8，||＝10，
则的值等于( )
A．100 B．96
C．－100 D．－ 96
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题3：
题面：已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
题4：
题面：已知点O，N，P在△ABC所在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的 ( )21世纪教育网版权所有
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
题5：
题面：已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
[来源:21世纪教育网]
题6：
题面：已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则 ( )
A． B． C． D．
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题7：
题面：已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 = = ，求证：．
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课后练习详解
题1：
答案：A
详解：.∵·＝1，且AB＝2，
∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－.
在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B，
即9＝4＋|BC|2－2×2×.
∴|BC|＝. 所以答案选A.
题2：
答案：C
详解：∵||＝6，||＝8，||＝10，
62＋82＝102.
∴△ABC为Rt△.
即＝0.
答案：C
题3：
答案：B
详解：将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得：a·b＝0；
将|a－b|＝|a|两边同时平方得：b2＝a2.
所以cos
＝＝＝.
所以＝60°.
答案：B
题4：
答案：C
详解：由||＝||＝||知O到A、B、C三点的距离相等，即为外心．
由＋＋＝0，设D为BC中点，则有＋2＝0.
则N为中线靠近中点的三等分点，即为重心．
由·＝· ·(－)＝0 ·＝0，同理，有·＝0，·＝0.则P为垂心，故选C.21教育网
题5：21世纪教育网
答案：
详解：∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2
且|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
∴cos ＝＝.
而∈[0，π]，∴ ＝.
答案：
[来源:21世纪教育网]
题6：
答案：A
详解：∵，
，
又∵，且，，
，
∴，
，
所以，解得.所以选A.
题7：
答案：见详解
详解：设= a， = b， = c，
则= c b， = a c， = b a
由题设： = = ，
化简：a2 + (c b)2 = b2 + (a c)2 = c2 + (b a)2
得： c b = a c = b a
从而 = (b a) c = b c a c = 0
∴ 同理：，
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