2023-2024学年福建省厦门市思明区槟榔中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省厦门市思明区槟榔中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.在 中，，则( )
A. B. C. D.
3.二次函数的开口方向是( )
A. 向下 B. 向上 C. 由的符号确定 D. 无法确定
4.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
5.图是甲、乙两名同学次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D. 无法确定
6.一次函数图象一定经过点( )
A. B. C. D.
7.下列命题都是正确的命题，其中逆命题也正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.九章算术记载：“今有开门去读，门槛的意思一尺，不合二寸问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点和点距离门槛都为尺尺寸，双门间隙的距离为寸，问门的宽度是多少？计算得的长是( )
A. 寸
B. 寸
C. 寸
D. 寸
9.两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在 中，，，点在上，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.计算：______．
12.如图，在 中，对角线，交于点，若，则______．
13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 ．
14.某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是______ ．
15.直线经过点，则关于的不等式的解集为______ ．
16.如图，点，，在同一条直线上，和都是等腰直角三角形，连接，，延长交于点连接，若，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：；
解方程：．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，、是、上的两点，且求证：．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
号探测气球从海拔处出发，与此同时，号探测气球从海拔处出发，图中的，分别表示号、号两个探测气球上升过程中所在位置的海拔高度单位：与上升时间单位：之间的关系．
求，的函数解析式；
号探测气球从出发点上升到海拔处的过程中，是否存在某一时刻使得两个探测气球位于同一海拔高度？请说明理由．
21.本小题分
如图，在中，，分别是边，的中点．
求作：平行四边形要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，若，，，求证：四边形是菱形．
22.本小题分
学校有甲、乙两队跳远运动员每队人数相同，两队开展了为期一个月的跳远强化训练在强化训练后，王老师将这两队运动员的跳远成绩均为正整数制作成如图所示的统计图及不完整的统计表单位：分．
乙队运动员的成绩统计表
成绩分
人数人
将如表单位：分补充完整
平均数 众数 中位数
甲队 ______ ______
乙队 ______ ______
经计算，训练后甲队成绩的方差为，乙队成绩的方差为，综合考虑，王老师很有可能选择哪个队代表学校参加市里比赛？并说明理由．
23.本小题分
已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且．
当，时，求与的值；
用只含字母、的代数式表示；
当时，函数满足，，，求的取值范围．
24.本小题分
如图，正方形和正方形其中点在的延长线上，与相交于点．
若是的中点，求证：；
如备用图，连接，求的度数；
如备用图，连接，相交于点，求证：点在直线上．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
求，，三点的坐标；
如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求面积的最大值；
如图，点在线段上点不与点重合，点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
这四个数中，最小的数是．
故选：．
根据正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行判断即可．
本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形性质得出，推出，求出即可．
本题考查了平行四边形有性质和平行线的性质，解答本题的关键是得出．
3.【答案】
【解析】解：，
故抛物线开口向上，
故选：．
，故抛物线开口向上，即可求解．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
则．
故选D．
先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
本题考查配方法解一元二次方程．
5.【答案】
【解析】解：由图象可知：甲偏离平均数大，乙偏离平均数小，
所以甲波动大，不稳定，方差大，即．
故选：．
根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】
【解析】解：是一次函数，
对于选项A，当时，，
一次函数图象不经过选项A的点；
对于选项B，当时，，
一次函数图象不经过选项B的点；
对于选项C，当时，，
一次函数图象不经过选项C的点；
对于选项D，当时，，
一次函数图象一定经过选项D的点．
故选：．
分别将四个选项中的点代入一次函数即可得到一次函数图象一定经过的点．
此题主要考查了一次函数图象上的点，解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足一次函数的解析式，满足一次函数解析式的点都在一次函数的图象上．
7.【答案】
【解析】解：、原命题的逆命题为：若，则，是假命题，故不符合题意；
B、原命题的逆命题为：若，则，是假命题，故不符合题意；
C、原命题的逆命题为：若，则，是假命题，故不符合题意；
D、原命题的逆命题为：若，则，是真命题，故符合题意．
故选：．
写出各选项的逆定理，做出判断即可．
本题考查命题与定理，不等式的性质，正确写出逆定理以及正确做出判断是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，过作于，如图所示：
由题意得：，
设寸，
则寸，寸，寸，
寸，
在中，
，即，
解得：，
，
寸，
故选：．
取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，，
是方程的一个根，
是方程的一个根，
是方程的一个根，
即时方程的一个根
故选：．
根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
设，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可求，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用负指数幂的性质计算得出答案．
此题主要考查了负指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为．
由平行四边形的对角线互相平分可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式求出的取值即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得：．
故答案为：．
【点评】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14.【答案】
【解析】解：由于这组数据的方差是，
故平均数是．
故答案为：．
根据方差的公式可以得到平均数．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15.【答案】
【解析】解：直线与直线都经过点，
当时，直线在直线的上方，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
找出点右边的部分的的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想．
16.【答案】
【解析】解：作，交于点，则，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．
作，交于点，由和都是等腰直角三角形，得，，，所以，可证明≌，得，再证明≌，则，，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明≌是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
，
，
，
则或，
解得，．
【解析】先计算立方根、去绝对值符号、计算乘方，再计算加减即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即．
【解析】先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据线段和差即可得证．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
19.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：设的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得，
的函数关系式为；
设的函数解析式为，
把和代入解析式得：，
解得，
的函数解析式为；
不存在，理由：
假设号探测气球从出发点上升到海拔处的过程中，存在某一时刻使得两个探测气球位于同一海拔高度，
即，
解得，
当时，，
号探测气球从出发点上升到海拔处的过程中，不存在某一时刻使得两个探测气球位于同一海拔高度．
【解析】用待定系数法分别求出，的函数解析式即可；
假设两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，求出，再代入解析式求出的值与比较即可．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式．
21.【答案】解：如图，四边形即为所求；
证明：，分别是边，的中点，，
，
，即，
是直角三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是菱形．
【解析】延长到，使得，连接，，四边形即为所求；
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
甲队成绩的平均分为，
甲队成绩的中位数为，
乙队成绩的众数为，
乙队成绩的中位数为，
故答案为：；；；；
王老师很有可能选择甲队代表学校参加市里比赛，
理由如下：
甲队的平均分大于乙队的平均分；乙的方差与甲队的方差相差不大，甲队的中位数高于乙队的中位数．
利用中位数、平均数、众数的定义即可求解；
从平均数、方差的意义进行说明，即可得出答案．
本题考查了中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是关键．
23.【答案】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
将代入，
得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
；
【解析】将，，代入方程即可；
将与分别代入一元二次方程，结合，即可表示；
将代入，得到，由，可得，再由，，利用不等式的性质即可求解．
本题考查一元二次方程的解，一元一次不等式；熟练掌握一元二次的解与方程的关系，不等式的性质是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，即，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，过点作的延长线于点，
，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
证明：如图，连接，，延长交于点，
四边形是正方形，
，，，
由知，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即点是的中点，
四边形是正方形，
点是的中点，
是的中位线，
，
即，
又，
点、、在一条直线上，
即点在直线上．
【解析】先根据正方形的性质得出，利用证得和全等，即可得出结论；
根据正方形的性质先证和全等，得出，，继而推出，于是有，即是等腰直角三角形，从而求出的度数；
连接，，延长交于点，先证，再证是的中位线，得出，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得点、、在一条直线上．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三点共线问题，熟练掌握这些性质是解题的关键，
25.【答案】解：令，则，
解得或，
，，
令，则，
；
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
，
当时，面积的最大值为；
设，则，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
，
，
，，
．
【解析】令，求点、的坐标，令，求点的坐标即可；
先判断是等腰直角三角形，设，则，则，当时，面积的最大值为；
设，则，由用待定系数法求直线、的解析式，再通过联立方程组的方法求出点、的坐标，分别求出，，即可求．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
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