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学科：数学
专题：点线面综合问题
如图所示，在边长为12的正方形中，点B、C在线段AD上，且AB = 3，BC = 4,作分别交于点B1，P，作分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．
(I)求证：平面；(II)求多面体的体积．
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题1
已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
题2
设、、是三个互不重合的平面，、是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）．
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
题3
圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为( )．21教育网
A．10cm B．cm C．cm D．cm
题4
空间四边形ABCD的各边及两条对角线的长都是1,点M在边AB上移动,点Q在边CD上移动，则P, Q的最短距离为______．21cnjy.com
题5
如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件_________时，有MN∥平面B1BDD1．21·cn·jy·com
题6
正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q 分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且＝，给出下列四个命题：www.21-cn-jy.com
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC．
其中正确命题的序号为( )
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
题7
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝AD＝2．点E为AB中点．
(1)求三棱锥A1－ADE的体积；(2)求证：A1D⊥平面ABC1D1；(3)求证：BD1∥平面A1DE．
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题8
设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )．2·1·c·n·j·y
A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个
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课后练习详解
题1
答案：见详解．
详解：（Ⅰ）证明：由题知：，，，∴．
又∵，∴平面；
（Ⅱ）由题知：三棱柱的体积．
∵和都是等腰直角三角形，∴，，
∴四边形．
∴多面体的体积．
题2
答案：C
详解: c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．[来源:21世纪教育网]
题3
答案：D．
详解：对于A，若，,可以平行，也可以不垂直相交；
对于B，若，，，则可以平行；
对于C，若，，则可以在平面．
题4
答案：B．
详解：
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将圆柱的一半侧面展开如图：可知．
根据勾股定理可得：．
即点A到点C的距离是．
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题5
答案：．
详解：当M, N分别为中点时，由于AB, ( http: / / www.21cnjy.com )CD为异面直线，则M,N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短，连接BN, AN 则CD⊥BN,CD⊥AN，且AN=BN, 则NM⊥AB
同理：连CM,MD可得MN⊥CD．则MN为AB,CD的公垂线
由于AN=BN=,则在Rt△BNM中，．
题6
答案：M∈线段FH．
详解:当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1．
题7
答案：C．
详解：
E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故＝＝，即BG＝BD1，又＝，即BP＝BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN 平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确，结合选项可知选C．
题8
答案：．
详解: (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AB＝1，E为AB的中点，所以，AE＝．
又因为AD＝2，所以S△ADE＝AD·AE＝×2×＝．又AA1⊥底面ABCD，AA1＝2，
所以三棱锥A1－ADE的体积V＝S△ADE·AA1＝××2＝．
(2)因为AB⊥平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D．因为ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．
又AD1∩AB＝A，AD1 平面ABC1D1，AB 平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1．
(3)设AD1，A1D的交点为O，连结OE．
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因为ADD1A1为正方形，
所以O是AD1的中点，在△AD1B中，OE为中位线，所以OE∥BD1．
又OE 平面A1DE，BD1 平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE．
题9
答案：D．
详解；设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β．作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．21世纪教育网版权所有
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学科：数学
专题：点线面综合问题
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
题1
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．2·1·c·n·j·y
(1)求证：MN∥平面A1CD；
(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．2-1-c-n-j-y
题2
已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面， ( http: / / www.21cnjy.com )则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)． 21*cnjy*com
题3
设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )．
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a α，b β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥b，a⊥α，b α，则b∥α
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题4
正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，21·cn·jy·com
求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值；(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比．21·世纪*教育网
题5
若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 ．(只须写出一个可能的值)www.21-cn-jy.com
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题6
一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
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（1） （2）
题7
如图，直四棱柱ABCD－A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ．【来源：21·世纪·教育·网】
题8
如图，在四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．21教育名师原创作品
(1)求证：AE⊥BC；
(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．
题9
如图，若Ω是长方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D－A1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )．21*cnjy*com
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
课后练习详解
题1
答案：见详解．21世纪教育网
详解: (1)设点P为AD的中点，连结MP、NP，
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∵点M是BC的中点，∴MP∥CD．∵CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，
∴MP∥平面A1CD．∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D．
∵A1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∴NP∥平面A1CD．
∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD．∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD．
(2)取BB1的中点Q，连结NQ、CQ、ND，21世纪教育网
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∵点N是AA1的中点，∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，∴NQ∥CD，∴过N、C ( http: / / www.21cnjy.com )、D三点的平面NQCD把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱QBC－NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1－A1NDD1，21世纪教育网版权所有
∴S△QBC＝·QB·BC＝×1×1＝，∴直三棱柱QBC－NAD的体积V1＝S△QBC·AB＝．
∵长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝1×1×2＝2，
∴直四棱柱B1QCC1－A1NDD1的体积V2＝V－V1＝，
∴＝＝，∴所截成的两部分几何体的体积的比值为．
题2
答案：①②④．
详解:①、②、④对应的情况如下：
用反证法证明③不可能．
题3
答案：D．
详解:
对于选项A，要注意直线a，b的方向相同 ( http: / / www.21cnjy.com )时才平行；对于选项B，可用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b；对于选项C，可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，故C不正确；对于选项D，可验证是正确的．www-2-1-cnjy-com
题4
答案：（1）a；（2）a2；（3）．
详解: (1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图．
如图，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a．∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a．又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a．21教育网
(2)如图，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF．∴BG＝＝＝a ∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)∵VA-BCD＝VB-ACD，而三棱锥B—AEF，三棱锥B—ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即＝＝＝【出处：21教育名师】
题5
答案：或．
详解：该题的显著特点是结论发散而不 ( http: / / www.21cnjy.com )惟一．本题表面上是考查锥体求体积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的．
排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积．
由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体．
对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看下图所示，
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设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD．21cnjy.com
CM===．设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=，
故VABCD=××1=．
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对于对棱相等的四面体，可参见图2．其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行．亦可套公式V=·，【版权所有：21教育】
不妨令a=b=2，c=1，则V=·=·=．
题6
答案：(3)5a2．
详解: (1)
(2)如图，连结AC、BD，交于O点．
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∵E为AA1的中点，O为AC的中点．
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，∴OE∥A1C．
∵OE 平面A1C1C，A1C 平面A1C1C，∴OE∥平面A1C1C．
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，S＝，
＝＝＝＝，＝＝＝21世纪教育网
＝××＝，所以该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2．
题7
答案：见详解．
详解：连接CD1、AD1，
∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，又CD1 平面BPQ，PQ 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ．
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥DC∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，
又∵AD1 平面BPQ，BQ 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ．
又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ．
∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ．
题8
证明：(1)因为BM⊥平面ACE，AE 平面ACE，所以BM⊥AE．
因为AE⊥BE，且BE∩BM＝B，
BE、BM 平面EBC，所以AE⊥平面EBC．
因为BC 平面EBC，所以AE⊥BC．
(2)法1：取DE中点H，连接MH、AH．
因为BM⊥平面ACE，EC 平面ACE，所以BM⊥EC．
因为BE＝BC，所以M为CE的中点．
所以MH为△EDC的中位线，所以MH平行且等于 DC．
因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC平行且等于AB．
故MH平行且等于 AB．因为N为AB的中点，所以MH平行且等于AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH．
因为MN 平面ADE，AH 平面ADE，
所以MN∥平面ADE．
法2：取EB的中点F，连接MF、NF．
因为BM⊥平面ACE，EC 平面ACE，
所以BM⊥EC．
因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC．
因为N为AB的中点，所以NF∥AE，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC．
所以MF∥AD．
因为NF、MF 平面ADE，AD、AE 平面ADE，
所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE．
因为MF∩NF＝F，MF、NF 平面MNF，
所以平面MNF∥平面ADE．
因为MN 平面MNF，
所以MN∥平面ADE．
题9
答案：D．
详解:∵EH∥A1D1，∴EH∥BC，∴EH∥平面BCC1B1．
又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，∴EH∥FG．故A成立．
B中，易得四边形EFGH为平行四边形，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥EF，
即FG⊥EF，∴四边形EFGH为矩形．故B正确．
C中可将Ω看做以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱．故C正确．
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学科：数学
专题：点线面综合问题
引入
我们先来看一个很有意思的问题：
不定项选择：下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形
同学们，猜猜看？我们将在思维拓展的环节公布答案。
重难点易错点解析
题1
题面：如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．21cnjy.com
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
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金题精讲
题1
题面：直线，若，则经过的所有平面中（ ）．
A．必有一个平面同时经过、
B．必有一个平面经过而不经过
C．必有一个平面经过而不一定经过
D．不存在同时经过、的平面
题2
题面：设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）．
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β21世纪教育网
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
题321世纪教育网
题面：若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是___________．21世纪教育网版权所有
题4
题面：设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围为 ( )．21教育网
A．(0，) B．(0，) C．(1，) D．(1，)
题5
题面：四棱锥中，底面是平行四边形，点是上的点，且，在上找一点F，使得平面．
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题6
题面：如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD．
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．
题7
题面：如图，在正方形中，底面，且，、分别是与的中点．
（1）求证：；（2）求证：∥平面；（3）求证：平面AFE．
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思维拓展
题1
题面：不定项选择：下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）．
A．有一个角是直角的四边形 B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形 D．有四个角是直角的四边形
学习提醒
小题：熟悉典型例子，强化动手操作
大题：规范证明依据，强化计算能力
讲义参考答案
重难点易错点解析
题1
答案：(1)证明略；(2)1:1．
金题精讲
题1
答案：C．
题2
答案：B．
题3
答案：．
题4
答案：A．
题5
答案：证明略．
题6
答案：证明略．
题7
答案：证明略．
思维拓展[来源:21世纪教育网]
题1
答案：D．
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