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学科：数学
专题：空间几何体的表面积与体积
引入
我们来观察下面的几组公式：21世纪教育网
正方形面积 正方体体积
长方形面积 长方体体积
三角形面积 三棱锥体积
圆面积 球体积
重难点易错点解析
题一
题面：一个圆柱侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比为( )
A． B． C． D．
题二
题面：正方体的外接球与内切球的体积之比为 .
金题精讲
题一
题面：正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .21世纪教育网
题二
题面：正四面体的棱长为，则它的高为_______；体积为________.
题三
题面：一个正方体和一个圆柱等高，等侧面积，求这个正方体和圆柱的体积之比.
题四
题面：一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．21世纪教育网21世纪教育网版权所有
题五
题面：用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 ．
题六
题面：棱台上、下底面面积之比为,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A． B. C. D.
题七
题面：如图，在多面体中，已知平面是边长为的正方形，,,且与平面的距离为，则该多面体的体积为（ ）
A． B. C. D.
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题八
题面：在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ）21教育网
A. B. C. D.
题九
题面：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D. 8
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思维拓展
题一
题面：正三棱锥P-ABC，侧面顶角是，侧棱长为，过A作截面AEF与侧棱PB、PC交于E、F，则截面周长的最小值是 ．21cnjy.com
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：B.
题二21世纪教育网
答案：
金题精讲
题一
答案：
题二
答案：
题三
答案：：4
题四
答案：14
题五
答案：
题六
答案：C
题七
答案：D
题八
答案：D
题九
答案：D
思维拓展
题一
答案：
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学科：数学
专题：空间几何体的表面积与体积
题1
如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于( )
A. B. C. D.
题2
一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A. B. C. D.
题3
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC＝4，分别绕BC、AC、AB旋转三角形得三个旋转体，其体积Va、Vb、Vc的大小顺序为________21教育网
题4 21世纪教育网
如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F、G分别为AB、BC、BB1的中点．
(1)求三棱锥G－BEF的体积；
(2)若以B为顶点，求此三棱锥的高．
题5
已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S1，S2，S3，则它们之间的关系是________．21cnjy.com
题6
三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、、，则此三棱锥的外接球的面积是( )[21世纪教育网]www.21-cn-jy.com
A．6π B．12π C．18π D．24π
题7
题面：
两个球的体积之和是12π，大圆周长之和是6π，这两球的半径之差为( )
A．1 B．2
C．3 D.
题8
棱台的体积为76 cm3，高为6 cm，一个底面面积为18 cm2，则另一个底面面积为________．
题9
正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶2
题10
题面：
如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
题11
如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a的直角三角形，侧(左)视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是( )2·1·c·n·j·y
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A.πa3 B.πa3
C.πa3 D．2πa3
题12
有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01 cm)
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课后练习详解
题1
答案：D
详解:设圆柱的底面半径为r，则高为2r，
∴S＝2πr×2r＝4πr2.∴r＝.∴V＝π×r2×2r
＝π××2×＝·.
题2
答案：A
详解:设正方体的边长为a，球的半径为R. 根据题意得6a2＝4πR2，
∴a2＝πR2，即a＝R.∵＝a3，＝πR3.
∴＝＝×＝.
题3
答案：Vc详解:绕BC旋转三角形得一个圆锥，Va＝π×AC2×BC＝π×32×4＝12π.
绕AC旋转三角形得一个圆锥，Vb＝×π×BC2×AC＝π×42×3＝16π.
绕AB旋转三角形得两个圆锥的组合体，Vc＝π×()2×5＝π.∴Vc题4
答案：；.
详解: (1)因为S△BEF＝BE·BF＝×2×2＝2，BG＝2，所以三棱锥G－BEF的体积V＝×2×2＝；
(2)若以B为顶点，则底面为正三角形GEF，其边长为EF＝＝2，所以
S△GEF＝×(2)2＝2.又因为三棱锥B－GEF和三棱锥G－BEF的体积相等，所以当以B为顶点时，三棱锥的高h＝＝.21·cn·jy·com
题5
答案：S1>S3>S2.
详解:设正方体的棱长为a，球半径为r，圆柱的底面半径为R.
则a3＝πr3＝πR2·2R＝2πR3＝V.
∴a＝，r＝，R＝.21世纪教育网
∴S1＝6a2＝6，S2＝4πr2＝4π.
S3＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2＝6π.
∴S1>S3>S2.
题6
答案：A
详解:由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是1、、，它的体对角线是球的直径，
∴外接球的直径为2R＝＝，面积为6π.
题7
答案：A
详解:设两球半径分别为r、R，由题意可得R3＋r3＝9，r＋R＝3，所以r＝1，R＝2.
题8
答案：8 cm2.
详解:设另一个底面面积为x cm2，则由V＝h(S＋＋S′)，得76＝×6×(18＋x＋)，
解得x＝8，即另一个底面的面积为8 cm2.
题9
答案：C
详解:∵G为PB中点，∴VP—GAC＝VP—ABC—VG—ABC＝2VG—ABC—VG—ABC＝VG－ABC
又多边形ABCDEF是正六边形，
∴S△ABC＝S△ACD.VD—GAC＝VG—ACD＝2VG—ABC
∴VD—GAC∶VP—GAC＝2∶1.
题10
答案：1:5
详解:长方体的三条棱长分别为，，，
则截出的棱锥的体积为．
剩下的几何体的体积，所以，．
题11
答案：A
详解: 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上，如图，
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由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，
故高h＝＝a，
体积V＝×＝πa3.
题12
答案：27.05 cm.
详解:如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.
由题意知BC＝10 cm，AB＝2π×0.5×8＝8π cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．21世纪教育网版权所有
∴AC＝≈27.05 cm．
∴铁丝的最短长度约为27.05 cm.
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学科：数学
专题：空间几何体的表面积与体积
题1
一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为( )
A. B. C. D.
题2
正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则此球的体积为________．www.21-cn-jy.com
题3
一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
题4
如图，正方体ABCD－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积．( )
A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关
( http: / / www.21cnjy.com )
题5
直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积．21教育网
题6
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2
[来源:21世纪教育网]
题7
在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．21·cn·jy·com
题8
正四棱台的高为12cm，两底面的边长分别为2cm和12cm．
（Ⅰ）求正四棱台的全面积；（Ⅱ）求正四棱台的体积．
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题9
如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．
[来源:21世纪教育网]
题10
如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．
题11
已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.
21世纪教育网
题12
题13
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°,AC=6，BC=CC1= ，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是__________.2·1·c·n·j·y
课后练习详解
题1
答案：C
详解:设圆锥底面半径为，高为h，球的半径为，则圆锥体积为，球的体积为.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的3倍，即＝3.由圆锥与球的体积相等有＝，将＝代入，有＝，故＝＝.
题2
答案：π
详解:如图所示，设底面中 ( http: / / www.21cnjy.com )心为O′，球心为O，设球半径为R，∵AB＝2，则AO′＝，PO′＝＝2，OO′＝PO′－PO＝2－R.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2 R2＝()2＋(2－R)2，∴R＝，∴V球＝πR3＝π.21世纪教育网版权所有
题3
答案：C
详解:由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为21cnjy.com
V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋，故选C.
题4
答案：C
详解:
设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关、与y无关，故选C.【来源：21·世纪·教育·网】
题5
答案：π.
详解:
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．www-2-1-cnjy-com
设CD＝x，则AB＝x，AD＝AB－CD＝，BC＝x.
＝＋＋＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·AD·BC
＝π·＋2π··x＋π··x＝πx2.
根据题设，πx2＝(5＋)π，则x＝2.
所以旋转体体积
V＝π·AD2·CD＋AD2·(AB－CD)＝π×12×2＋×12×(3－2)＝π.
题6
答案：B
详解:
如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有
r＝DB＝＝＝，21世纪教育网
∴S表＝4πr2＝4π×＝πa2.
题7
答案：2500πcm2.
详解:如图为球的轴截面，由球的截面性质 ( http: / / www.21cnjy.com )知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.21·世纪*教育网
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm，同理π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm．
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15.
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25 cm．∴S球＝4πR2＝2500π cm2．
∴球的表面积为2500π cm2.
题8
答案：512 cm2; 688 cm3
详解:（Ⅰ）斜高 cm
S正四棱台=S上+S下+S侧=22+122+ 12×（2+12）×13=512 cm2
（Ⅱ）V= 13（S++S′）h= 13（22++122）×12=688 cm3
题9
答案：(1)见详解.
(2) 表面积22＋4 cm2，体积10 cm3．
详解: (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积为：
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4 cm2，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2
＝10 cm3．
题10 21世纪教育网
答案：
详解:
已知长方体可以看成直四棱柱．
设它的底面面积为，高为，则它的体积为．
而棱锥的底面面积为，高是，
因此棱锥的体积．
余下的体积是．
所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5．
题11
答案：
详解:由三视图知，此几何体可以看作是一 ( http: / / www.21cnjy.com )个边长为2的正方体被截去了一个棱台而得到，此棱台的高为2，一底为直角边长为2的等腰直角三角形，一底为直角边长为1的等腰直角三角形，棱台的两底面的面积分别为2-1-c-n-j-y
该几何体的体积是
题12
答案：.
详解:
将△BCC1沿直线BC1折到面A1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1B上，如图,连接A1C，即为CP+PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形， 21*cnjy*com
∴CD=1，C1D=1，A1D=A1C1+C1D=7，
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