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学科：数学
专题：空间中的垂直关系
题1
判断下列命题的真假
(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直．
题2
如果，，，那么．
题3
如图所示，已知平面平面=，为、外一点，于，于，于．证明：．
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题4
如图，直角所在平面外有一点，，且为斜边的中点．
求证：平面．
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题5
题面：
如图，四棱锥中，∥,，侧面为等边三角形．．证明：．
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题6
如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且．求证：．
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题7
一个多面体的直观图及三视图如图所示．(其中M、N分别是AF、BC的中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A—CDEF的体积．
题8
四棱锥P—ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．21教育网
(1)求证：BE∥平面PAD；(2)平面EBD能垂直于平面ABCD吗？为什么？
题9
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．2·1·c·n·j·y
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
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题10
平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点，连、，且、分别是在、上的射影．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求证：；
(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？
(3)这个图形中有多少个直角三角形？
(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？
[来源:21世纪教育网]
课后练习详解
题1
答案：错误，错误．
详解：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体中，平面平面，平面平面，在上取点，连结，则，即过棱上一点的直线与棱垂直，但与平面不垂直，其错误的原因是没有保证在平面内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；21cnjy.com
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(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体中，平面平面，平面，平面，且，即与相互垂直，但与平面不垂直．21·cn·jy·com
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题2
答案：见详解．
详解：证法一：如图所示，设，，
过平面内一点作于，作于．
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∵，∴．
又，∴，同理可证．
∵且，∴．
证法二：如图所示，
设，在平面内作直线．
∵，∴．
设，在平面内作直线．同理可证，因此．
由于，，∴．
而，，∴．
故由知，．
题3
答案：见详解．
详解：∵，，∴．∴、、、四点共面．
∵，，，∴，．
又，∴平面．∴．
题4
答案：见详解．
详解：∵，为中点
∴即
又，
∴≌≌
∴．即，，
∴平面．
题5
答案：见详解．
详解：证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．
连结SE，则又SD=1，故
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所以为直角．由，得
,所以．SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
所以
题6
答案：见详解．
详解：由已知可得
于是有,
所以，又，所以平面，则
题7
答案：（1）见详解；（2）．
详解：由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE—BCF，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝90°．www.21-cn-jy.com
(1)取BF的中点G，连结MG、NG，由M、N分别为AF、BC中点，可得NG∥CF，MG∥EF 面MNG∥面CDEF MN∥面CDEF．www-2-1-cnjy-com
(2)取DE中点为H，连结AH，因为AD＝AE AH⊥DE．
在直三棱柱ADE—BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，
面ADE∩面CDEF＝DE AH⊥平面CDEF 多面体A—CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝，【来源：21cnj*y.co*m】
S CDEF＝DE·EF＝4 棱锥A—CDEF的体积V＝S CDEF ·AH＝．21世纪教育网21世纪教育网
题8
答案：见详解．
详解：(1)如图所示，取PD的中点F，
连接EF，易证四边形ABEF是平行四边形，
∴BE∥AF．
又BE 平面PAD，AF 平面PAD，∴BE∥平面PAD．
(2)平面EBD不能垂直于平面AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD，理由如下：假设平面EBD⊥底面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO，由于A，O，C是P，E，C三点在平面ABCD上的射影，P，E，C三点均在直线PC上，故它们的射影也共线．21·世纪*教育网
∵平面EBD⊥平面ABCD，EO 平面EBD，EO⊥BD，BD＝平面EBD∩平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD，
∴EO∥PA，而E为PC的中点，
∴O为AC的中点，又由AB∥CD，
可知△ABO∽△CDO，且相似比为1∶1，
∴AB＝CD，这与“四边形ABCD为梯形”矛盾，
故假设不成立，从而平面EBD不能垂直于平面ABCD．
题9
答案：见详解．
详解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB．2-1-c-n-j-y
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC．所以DE⊥A1D,DE⊥CD．所以DE⊥平面A1DC．而A1F 平面A1DC, 21*cnjy*com
所以DE⊥A1F．又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE．所以A1F⊥BE
（3）线段A1B上存在点Q, 使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，
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分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC．
又因为DE∥BC,所以DE∥PQ．所以平面DEQ即为平面DEP．
由（2）知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C．
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点，
所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ．
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ．
题10
答案：(2) 4个；（3）11个；（4）11对
详解：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．
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(1)连、．如图所示，
∵为已知圆的直径，∴．
∵平面，，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴．
∵于，，∴平面．∴
∵于，∴平面，∴．21世纪教育网
(2)：由(1)知，平面，平面，平面．
∵且，∴平面，
∴图中共有4个线面垂直关系．
(3)∵平面，∴、均为直角三角形．
∵平面，∴、均为直角三角形．
∵平面，∴、、均为直角三角形．
∵平面，∴、、、均为直角三角形．
综上，图中共有11个直角三角形．
(4)由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，．
综上，图中共有11对互相垂直的直线．
为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线面”可得到“线面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．21世纪教育网版权所有
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学科：数学
专题：空间中的垂直关系
引入
请同学们思考下列问题：
如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线和此平面内所有直线都平行吗？
如果两个平面互相平行，其中一个平面内任一条直线都平行于另一个平面吗？
如果把上述命题中的“平行”换成“垂直”，结论又如何呢？
重难点易错点解析
题1
题面：下列命题正确的是（ ）．
(A) 如果两个平面互相垂直，则分别在这两个面内的直线也互相垂直
(B) 过平面外的一条直线，有且仅有一个平面与已知平面垂直
(C) 经过平面外的两点，有且仅有一个平面与已知平面垂直
(D) 如果两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一个平面也与第三个平面垂直
题2
题面：若三个平面，之间有，，则与（ ）．
(A) 垂直 (B) 平行 (C) 斜交 (D) 以上三种可能都有
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金题精讲
题1
题面：平面、交于PQ，QA、QB分别垂直于、，求证：PQAB．
题2
题面：正方体中，M为CC1中点，AC，BD交于O，求证：A1O垂直于平面MBD．
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题3
题面：正方体中，O为底面中心， B1H垂直于D1O于H，求证：B1H垂直于平面AD1C．
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题4
题面：如图，正方体． 21世纪教育网
（1）若为棱上一点，且满足，点为正方形的中心，求证：．
（2）若为的中点，为底面的中心，求证：．
题5
题面：已知四棱锥P-ABCD，底面矩形，PA垂直于底面，过点A作AE垂直于PB于点E，过点E作EF垂直于PC于点F．21世纪教育网版权所有
（1）求证：PC垂直于面AEF．
（2）平面AEF交PD于G，求证：AG垂直于PD．
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题6
题面：如图，平面，四边形是矩形，，，分别是，的中点．求证：平面平面．
思维拓展
题1
题面：正方体中有多少对互相垂直的面？
学习提醒
三个工具：勾股定理，三线合一，三垂线。
讲义参考答案
重难点易错点解析
题1
答案：D．
题2[21世纪教育网]
答案：D．
金题精讲
题1
答案：证明略．
题2
答案：证明略．
提示：用相似或勾股定理，也可用三垂线．
题3
答案：证明略．
题4
答案：证明略．
题5
答案：证明略．
题6
答案：证明略．
思维拓展
题1
答案：12对．
B1
C
A
B
D
N
M
P
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学科：数学
专题：空间中的垂直关系
题1
在空间，下列命题正确的是（ ）．
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行21世纪教育网
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
题2
设平面平面，且、分别与相交于、，．求证：平面平面．
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题3 21世纪教育网
如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证．
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题4
已知在长方体中，棱，，过点作于，证明，并求其长度．
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题5
在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心．
求证：平面．
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题6
如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上，，是垂足，求证：． 21世纪教育网
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题7
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．21世纪教育网版权所有
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
题8
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PD、PC、BC的中点．2·1·c·n·j·y
（I）求证：PA//平面EFG；（II）求平面EFG平面PAD．
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题9 21世纪教育网
如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是__________．www.21-cn-jy.com
题10
如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D点，则图中共有直角三角形的个数是( )．【来源：21·世纪·教育·网】
A．8 B．7 C．6 D．521·世纪*教育网
课后练习详解
题1
答案：D．
详解：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案．平行直线的平行投影重合，还可能平行， A错误；平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误；垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
题2
答案：见详解．
证明：在平面内作直线的垂线，垂足为，
因为，平面平面，平面平面=，所以
在平面内作直线的垂线，垂足为，同理可证得
，又，
，
题3
答案：见详解．
详解：在平面内作，交于．
因为平面平面于，平面，且，
所以．
又因为平面，
于是有①．
另外平面，平面，
所以②．
由①②及，
可知平面．
因为平面，
所以．
题4
答案：
详解：∵，且，∴，又，
又，∴．
在中，，∴．
题5
证明:连结，，
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设正方体的棱长为，易证．又∵，∴．在正方体中易求出：
，
，
．
∵，∴．
∵，、平面，∴平面．
题6
答案：见详解．
详解：由底面，知；又为底面圆周上一点，为底面圆直径，知，故平面，则，又，则平面，则．21教育网
题7
答案：见详解．
详解：(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD ⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
题8
答案：见详解．
详解：证明：（I）取AD的中点H，连结EH，HG．
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∵H，G为AD，BC的中点，∴HG//CD，
又EF//CD．∴EF//HG，∴E，F，G，H四点共面，
又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，
∴PA//平面EFG．
（II）证明：，
∴平面PAD， ∵EF//CD，∴平面PAD，
∵平面EFG，∴平面EFG平面PAD．
题9
答案：(，1)
详解：过K作KM⊥AF于M点，连结DM，易 ( http: / / www.21cnjy.com )得DM⊥AF，与折前的图形对比，可知由折前的图形中D、M、K三点共线且DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA，∴＝，又＝，∴t＝．又DF∈(1,2)，∴t∈(，1)．21cnjy.com
题10
答案：A．
详解：所给图形中的△PAC、△PAD、△PAB、△PCD、△PBD、△ACD、△ADB、△ABC均为直角三角形，所以共有8个直角三角形．21·cn·jy·com
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