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学科：数学
专题：空间中的平行关系
引入
还记得上一讲我们讨论过的正方体截面问题吗？我们用运动的观点，找出了正方体截面很多不同的形状：三角形，矩形，梯形，五边形，六边形。这里请同学们思考一下，正方体截面可以是正五边形吗？为什么？21世纪教育网版权所有
重难点易错点解析
题1
题面：下列命题，其中正确的是（ ）．
①若直线a∥b，b在面内，则 a∥；
②若直线a∥，b在面内， 则 a∥b；
③若直线a∥b，a∥， 则 b∥；
④若直线a∥，b∥， 则 a∥b
A．①④ B．①③ C．② D．均不正确
金题精讲
题1[来源:21世纪教育网]
题面：是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面与平行的是（ ）．
A．是内的两条直线，且
B．内不共线三点到的距离都相等
C．都垂直于平面 21世纪教育网
D．是两条异面直线，，且
[21世纪教育网
题2
题面：l、m为直线，为平面，且，下列四个命题：①若m⊥，则m∥l；②若m⊥l，则m∥；③若m∥，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥，其中真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．421教育网
题3
题面：已知平面，，直线，且，求证：AB//EF．
题4
题面：直三棱柱中，是的中点．求证：平面．
题5
题面：如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：MN//平面ABD．
题6
题面：已知正方体中，,分别为,上的点，
，求证：平面．21世纪教育网
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题7
题面：如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E、F分别为、的中点．求证：平面．
思维拓展
题1
题面：判断：已知，过平面内一点作，则．
学习提醒
线面平行是基础；挖掘中点利用好；还有困难造平面。
讲义参考答案
重难点易错点解析
题1
答案：D．
金题精讲
题1
答案：D．
题2
答案：C．
题3
答案：证明略．
题4
答案：证明略．
题5
答案：证明略．
题6
答案：证明略．
题7
答案：证明略．
思维拓展
题1
答案：对．
A
C
B
A1
C1
B1
D
D
C
B
A
N
M
S
B
F
E
D
C
A
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学科：数学
专题：空间中的平行关系
题1
考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．21cnjy.com
① l∥α；② l∥α．
题2
P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的个数有( )21·cn·jy·com
A．1 B．2 C．3 D．4
题3
题4
四边形是长方形，四个顶点在平面上的射影分别为、、、，直线与不重合．
①求证：四边形是平行四边形；
②在怎样的情况下，四边形是长方形？证明你的结论．
题5
经过正方体的棱作一平面交平面于，求证：
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题6
如图，三棱柱中，分别为的中点．求证：平面．
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题7 21世纪教育网
如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝7 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC＝，G是△ABC的重心．过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________．21世纪教育网www.21-cn-jy.com
题8
四边形ABCD是正方形，S为四边形ABCD所在平面外一点，SA＝SB＝SC＝SD，P是SC上的点，M、N分别是SB、SD上的点，且SP∶PC＝1∶2，SM∶MB＝SN∶ND＝2∶1，求证：SA∥平面PMN．2·1·c·n·j·y
题9
如图是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1截去一个角后得到的几何体，E，F分别是B1D1，AB1的中点．求证：EF∥平面BB1C1C．21世纪教育网【来源：21·世纪·教育·网】
题10
过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )21·世纪*教育网
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
课后练习详解
题1
答案：lα．
详解：①由线面平行的判定定理知lα；②易知lα．
题2
答案：C．
详解：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点,所以O为BD的中点．在△PBD中,M是PB的中点, 所以OM是中位线, OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．答案: C．
题3
答案：见详解．
详解：
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①，，，．同理，
，同理．与不重合，
为平行四边形．
②在面时，四边形为长方形．，，
，．，，
，为长方形．
题4
证明：
，又，则
题5
答案：见详解．
详解：，且平面平面平面．
题6
答案：．
详解：∵BC∥平面α，平面α∩平面ABC＝MN，∴BC∥MN．
又∵G是△ABC的重心，∴AG∶GD＝2∶1，
∴AG∶AD＝2∶3．∴MN∶BC＝2∶3．又∵在△ABC中，BC＝．
∴MN＝．
题7
答案：见详解．
详解：取SC的中点E，取AC、BD的交点为O，连结OE，得OE∥SA．设SO与MN交于F，连结PF．∵SM∶MB＝SN∶ND＝2∶121世纪教育网版权所有
∴MN∥BD， 且SF∶FO＝2∶1．
又SP∶PC＝1∶2，SE＝EC，21世纪教育网
∴SP∶PE＝2∶1． ∴SF∶FO＝SP∶PE．
∴PF∥EO． ∴SA∥PF．
又SA 平面PMN． ∴SA∥平面PMN．
题8
答案：见详解．
详解：∵E，F分别是B1D1，AB1的中点，∴EF∥AD1，又AD1∥BC1，
∴EF∥BC1，又∵EF 平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，
∴EF∥平面BB1C1C．
题9
答案：D．
详解：
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如图所示，以E为例，易证EI,EQ∥平面DBB1D1，与E处于同等地位的点还有F,G,H,M,N,P,Q,故有符合题意的直线条．以I为例，易证IE∥平面DBB1D1，与I处于同等地位的点还有J,K,L,故有符合题意的直线4条，则共有8+4=12条．选D．21教育网
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学科：数学
专题：空间中的平行关系
题1
对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是( )．
A．如果m α，nα，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
C．如果m α，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n[来源:21世纪教育网]
题2
α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a γ．如果命题“α∩β＝a，b γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )．2·1·c·n·j·y
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．只有②
题3
如图，在正方体中，为异面直线与的公垂线，求证：．
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题4
ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．【来源：21·世纪·教育·网】
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题5
如图所示，在正方体中，是棱的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使//平面？证明你的结论．
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题6
如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．21世纪教育网版权所有
题7
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B．21cnjy.com
题8
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．21·cn·jy·com
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥平面EFG．
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题9
如果平面与外一条直线都垂直，那么．
[来源:21世纪教育网]
课后练习详解
题1
答案：B．
详解：如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB 平面AC，直线CC1平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排除A；直线AB 平面AC，直线B1C1平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排除C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1＝B1，排除D．www.21-cn-jy.com
题2
答案：C．
详解：若填入①，则由a∥γ，b β，b ( http: / / www.21cnjy.com ) γ，b＝β∩γ，又a β，则a∥b；若填入③，则由a γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．21·世纪*教育网
题3
证明：连结，由于，，
∴．
又，，
∴． ①
∵，，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
而，∴．
同理，，
∴． ②
由①、②可知：．
题4
答案：见详解
详解：如图所示，连结AC交BD于O，连结MO，∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．[来源:21世纪教育网]
题5
答案：见详解．
详解：（Ⅰ） 因为多面体为正方体，
所以；因为，所以．
又因为，，所以．
因为,所以平面平面．
（Ⅱ）当点F为中点时，可使//平面．
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以下证明之：
易知：//，且，设，则//且
所以//且， 所以四边形为平行四边形．所以//．
又因为，．则//平面
题6
答案：见详解．
详解：当F是棱 PC的中点时，BF∥平面AEC．取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．
∵FM 平面AEC，CE 平面AEC，
∴FM∥平面AEC，
由EM＝PE＝ED，得E是MD的中点．
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，
则O是BD的中点，所以BM∥OE．
∵BM 平面AEC，OE 平面AEC，
∴BM∥平面AEC，∵FM∩BM＝M，
∴平面BFM∥平面AEC，
又BF 平面BFM，所以BF∥平面AEC．
题7
答案：见详解．
详解：证法一：如图，作ME∥BC，交B1B于E，作NF∥AD交AB于F，连接EF，则EF 平面AA1B1B．21教育网
∴＝，＝．
∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，CM＝DN，
∴B1M＝BN．
又∵B1C＝BD，∴＝＝．
∴ME＝NF．
又ME∥BC∥AD∥NF．
∴四边形MEFN为平行四边形．
∴MN∥EF，∴MN∥平面AA1B1B．
证法二：如图，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，
则B1P 平面AA1B1B．
∵△NDC∽△NBP，∴＝．
又CM＝DN，B1C＝BD，∴＝＝．
∴MN∥B1P．
∵B1P 平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B．
题8
答案：见详解．
详解: (1)如图．
(2)在长方体ABCD A′B′C′D ( http: / / www.21cnjy.com )′中，连接AD′，则AD′∥BC′．因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′．又EG 平面EFG，BC′ 平面EFG，所以BC′∥平面EFG．
题9
答案：见详解．
详解：已知：直线，，．求证：．
(1)如图，若与相交，则由、确定平面，设．
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．
(2)如图，若与不相交，
则在上任取一点，过作，、确定平面，设．
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．
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