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学科：数学
专题：直线的位置关系
引入
同学们在初中都知道一个结论：两直线垂直，等价于斜率乘积为-1. 这个结论严谨吗？它又是怎么得到的呢？21世纪教育网版权所有
重难点易错点解析21世纪教育网
题1
题面：已知两直线，当为何值时，与平行？
题2
题面：直线与的位置关系是（ ）．
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关
金题精讲
题1
题面：根据下列条件写出直线的方程：
（1） 过点且与直线平行；
（2） 从原点作直线垂直于直线，垂足为．
题2
题面：已知直线，问：在什么条件下与（1）平行；（2）垂直．
题3
题面：若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________．
题4
题面：已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）．
A． B． C． D．
题5
题面：直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为，则直线的方程为________________．21教育网
题6
题面：已知直线和y轴交于点A，直线和x轴交于点B，且两条直线交于点C，求三角形ABC的外接圆的圆心的坐标．
题7
题面：已知三角形ABC的顶点A，两个内角平分线所在的直线方程分别是和，求BC边所在直线的方程．21cnjy.com
题8
题面：已知三条直线，，不能构成三角形，则的值为______________．
[来源:21世纪教育网]
思维拓展
题1
题面：已知直线和直线，则直线与（ ）．
A．通过平移可以重合 B．不可能垂直
C．可能与轴围成等腰直角三角形 D．通过绕上某一点旋转可以平行或重合[来源:21世纪教育网]
学习提醒
两种形式要熟悉；几何图形解疑惑
讲义参考答案
重难点易错点解析
题1
答案： 1．
题2
答案：B．
金题精讲
题1
答案：（1）3x y 5=0；（2）2x+3y 13=0．
题2
答案：（1）且或且；（2）m=0．
题3
答案：．
题4
答案：B．
题5
答案：．
题6
答案：（2，2）．
题7
答案：．
题8
答案：或2或．
思维拓展
题1
答案：D．
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学科：数学
专题：直线的位置关系
题1
过点(1, 0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )．
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
题2
△ABC的三边a、b、c分别对应角A、B、C，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．不垂直的相交 B．平行 C．垂直相交 D．重合
题3
直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
[来源:21世纪教育网]
题4
已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8．当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？21世纪教育网版权所有
题5
点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是( )．
A．(－1, 1) B．(1, －1) C．(－2, 2) D．(2, －2)
题6
已知点A(1, －2)，B(m, 2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．21·世纪*教育网
题7
曲线y＝k|x|及y＝x＋k(k>0)能围成三角形，则k的取值范围是( )
A．01 D．k≥1
题8
已知直线l1：x＋3y－5＝0，l2：3kx－y＋1＝0．若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k＝________．【来源：21cnj*y.co*m】
题9 [来源:21世纪教育网]
已知点B（－1，2），在第二象限∠ABC的两边AB、BC的斜率分别为―1和―7，求∠ABC的平分线的方程．【出处：21教育名师】
题10
三条直线，，能构成三角形，求实数a的取值范围．
题11
直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为( )2·1·c·n·j·y
A．y＝6x＋1 B．y＝6(x－1) C．y＝(x－1) D．y＝－(x－1)[来源:21世纪教育网]
课后练习详解
题1
答案：A．
详解：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A．
题2
答案：D．
详解：将两直线方程化为斜截式方程，得
，，
因lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，故lgsinA+lgsinC=21gsinB，21教育网
所以，，故有，
又由正弦定理有，故两直线重合．
题3
答案：A．
详解：由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0．21cnjy.com
题4
答案：(1) m≠－7，且m≠－1 (2) m＝－7 (3)m＝－．
详解：(1)当m＝－5时，显然l1与l2相交；
当m≠－5时，两直线l1和l2的斜率分别为k1＝－，k2＝－，
它们在y轴上的截距分别为 b1＝，b2＝．
由k1≠k2，得－≠－，即m≠－7，且m≠－1．
∴当m≠－7，且m≠－1时，l1与l2相交．
(2)由得得m＝－7．∴当m＝－7时，l1与l2平行．
(3)由k1k2＝－1，得－·(－)＝－1，m＝－．∴当m＝－时，l1与l2垂直．
题5
答案：D．
详解：设对称点为(x，y)，则，解之得
题6
答案：3．
详解：由已知条件可知线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，代入直线方程解得m＝3．
题7
答案：C．
详解：数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k>1时能围成三角形．
题8
答案：±1．
详解：分析：由l1，l2与两坐标轴围成的 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l2的斜率大于零时，根据l1⊥l2 ，由此求得k的值．当直线l2的斜率小于零时，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC=-tan∠ADC，由此又求得一个k值，综合可得结论．www.21-cn-jy.com
由题意知，l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．
由于直线l1：x+3y-5=0是一条斜率等于的固定直线，直线l2：3kx-y+1=0经过定点A（0，1），
当直线l2的斜率大于零时，应有l1⊥l2 ，∴3 k×（）=-1，解得 k=1．
当直线l2的斜率小于零时，如图所示：设直线l1与y轴的交点为B，与x轴的交点为C，l2 与x轴的交点为D，21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
要使四边形ABCD是圆内接四边形，应有∠ABC与∠ADC互补，
即tan∠ABC=-tan∠ADC．
再由tan（90°+∠ABC）=KBC=，可得tan∠ABC=3，21世纪教育网【来源：21·世纪·教育·网】
∴tan∠ADC=-3=KAD=3k，解得 k=-1．
综上可得，k=1或 k=-1，故答案为：±1．2-1-c-n-j-y
题9
答案：2x+y=0（x≤－1）．
详解：设∠ABC的平分线的斜率为k，则，解得k=－2或，又因∠ABC在第二象限内，故k<0，另外角平分线应是一条射线，故x≤－1．
题10
答案：a∈R且a≠±1，a≠－2[来源:21世纪教育网]
详解：因为三条直线能构成三角形，故条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点．
（1）相交于同一点，则与的交点（―a―1，1）在直线上，于是a（－a－1）+1+1=0，此时a=1或a=－2．www-2-1-cnjy-com
（2），则，a=1．
（3）若，则―1=―a，a=1；若，则，a=±1
题11
答案：D．
详解：设直线l1的倾斜角为α，则由tanα＝3可求出直线l2的斜率k＝tan2α＝＝－，再由l2过点(1,0)可得直线方程为y＝－(x－1)，故选D． 21*cnjy*com
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学科：数学
专题：直线的位置关系
题1
已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的( )．21世纪教育网21教育网
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题2
设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( )．2·1·c·n·j·y
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
题3
直线2x+3y+1=0关于直线x－y－1=0的对称直线方程为_________．
题4
已知两直线l1：，l2：，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合
题5
平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点轨迹的方程为( )．【来源：21·世纪·教育·网】
A．3x－y－20＝0(x≠13) B．3x－y－10＝0(x≠13)
C．3x－y－9＝0(x≠－8) D．3x－y－12＝0(x≠－8)
题6
经过圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线l的方程是( )．
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
题7
若过点P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
题8
直线和与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________．
题9 [来源:21世纪教育网]
已知直线和的夹角平分线为，如果的方程为(＞0)，那么的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
题10
若三直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0能围成三角形，则k不等于( )．21cnjy.com
A． B．－2 C．和－1 D．、－1和－
题11
函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )．21·cn·jy·com
A．45° B．60° C．120° D．135°
课后练习详解
题1
答案：B．
详解：l1∥l2时，an－bm＝0，an－bm＝0时l1∥l2，故an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．www.21-cn-jy.com
题2
答案：C．
详解：由已知得a≠0，sinB≠0， ( http: / / www.21cnjy.com )所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得：k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直，故选C．21世纪教育网21·世纪*教育网
题3
答案：3x+2y=0．
详解：两直线的交点坐标为，在直线2x+3y+1=0上取一点A（1，－1），它关于直线x－y－1=0的对称点为B（x，y），则，且，解联立方程组得x=0，y=0，于是所求直线的斜率为，由点斜式可得所求直线方程．
题4
答案：(1)当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交；(2)当m=-1或m=0时，l1∥l2；(3)当m=3时，l1与l2重合．www-2-1-cnjy-com
详解：（1）当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，∴l1∥l2．
当m=2时，l1：x+4y+6=0，l2：3y+2=0，∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由=得m=-1或m=3，由=得m=3．
故(1)当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交；
（2）当m=-1或m=0时，l1∥l2；
（3）当m=3时，l1与l2重合．
题5
答案：A．
详解：线段AC的中点M，设B(x，y)，则B关于点M的对称点(5－x，－4－y)在直线3x－y＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x－y－20＝0．2-1-c-n-j-y
∵A、B、C、D不能共线，∴不能为它与直线AC的交点，即x≠13．
题6
答案：B．
详解：设与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋b＝0，∵过圆心(－1,0)，∴b＝1，故选B．
题7 21世纪教育网
答案：C．
详解：设过点P(2,1)的直线方程为＋＝1，则＋＝1，即2b＋a＝ab，
又S＝|a||b|＝4，即|ab|＝8，由解得a、b有三组解
，或．所以所求直线共有3条，故选C．
题8
答案：－5
详解：因为圆内接四边形的对角互补，又两坐标轴互相垂直，故，
于是，解得m=－5．
题9
答案：A．
详解： 易知和关于直线对称，设是上任一点，则它关于的对称点在上，所以有即为所求．
题10
答案：D．
详解：由得交点P(－1，－2)，
若P在直线x＋ky＋k＋＝0上，则k＝－．此时三条直线交于一点；[来源:21世纪教育网]
k＝时，直线l1与l3平行；k＝－1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－，和－1．21世纪教育网版权所有
题11
答案：D．
详解：令f(x)＝asinx－bcosx，∵f(x)的一条对称轴为x＝，
∴f(0)＝f ，即－b＝a，∴＝－1．∴直线ax－by＋c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°．
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