本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
学科：数学
专题：直线的综合问题
重难点易错点解析
题1
题面：
若，直线的倾斜角等于（ ）
A. B. C. D.
题2
题面：
已知直线l1的方程为，直线l2方程为，则l1与l2所成锐角为 .
金题精讲
题1
题面：
一条直线被两条直线l1：4x+y+6=0，l2：3x－5y－6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，
求这条直线的方程.
题2
题面：
过直线、的交点，并垂直于直线的
直线方程是 .
题3
题面：
如果直线与直线关于直线y= x对称，则 , .
题4
题面：
若点和在直线的两侧，则的取值范围是_____.
.
题5
题面：[21世纪教育网]
直线（）的倾斜角的取值范围是 .[21世纪教育网]
题6
题面：
点到直线距离的最大值为 .
题7
题面：[来源:21世纪教育网]
设，则点到直线最大距离是 ．
题8
题面：
直线l过点P(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点. 求使
（1）ΔAOB面积最小时直线l的方程；
（2）取最小值时直线l的方程；
（3）求使取最小值时直线l的方程.
题9
题面：
已知直线l：(k+2) x+(k 1) y (4k 3)=0，
（1）求证：直线l必过定点；
（2）已知点到直线l的距离为2，求的值.
思维拓展
题1
题面：
实系数方程的一个根在内，另一个根在内，求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围.
讲义详解
重难点易错点解析
题1
答案：C
题2
答案：300.
金题精讲
题1
答案：y =－x.
题2
答案：4x－3y+3=0.
题3
答案：a=，b=6.
题4
答案：.21世纪教育网
题5
答案：.
题6
答案：.
题7
答案：.
题8
答案：（1）y =－+2;
（2）y =x++1;
（3）y+x-3=0.
题9
答案：（1）(,);
（2）.
思维拓展
题1
答案：(1) （，1）;
(2) （8，17）.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
学科：数学
专题：直线的综合问题
题1
过两点M (a2＋2，a2－3)，B(3－a－a2，2a)的直线l的倾斜角为45°，则( )
A．a＝－1或a＝－2 B．a＝－1
C．a＝－2 D．a＝0
题2
已知在第一象限的中，、，，，求：
(1)边所在的直线方程；(2)和所在直线的方程．
题3
过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，则直线l的方程为( )21教育网
A．5x－4y＋7＝0 B．5x－4y－7＝0
C．4x－5y＋7＝0 D．4x－5y－7＝0
题4
若点A (－1,3)在直线l上的射影为N (1，－1)，则直线l的方程为________．
[来源:21世纪教育网]
题5
一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线
所在的直线方程为( )
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
题6
已知(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a<1或a>24 B．a＝7或a＝24
C．－7
题7
已知直线l的斜率k＝m2－1(m∈R)，求其倾斜角α的范围．
题8
点P (m－n，－m)到直线 ＋＝1的距离为( )
A. B.
C. D.
题9
已知点P (2，－1)，求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线 若存在，求出方程；
若不存在，请说明理由.
题10
已知直线l过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
题11
直线l：y－1＝k (x＋2)过定点________；
若l的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距为________．
题12
已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线
ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为_______．
课后练习详解
题1
答案：C
详解:由题意得：直线l的斜率k＝tan45°＝1，
故由斜率公式
k＝＝＝1，
解得a＝－1或a＝－2.经检验a＝－1不适合，舍去，故a＝－2.
题2
答案：(1)
(2)直线：；
直线：.[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网
详解: (1)当直线与轴平行或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知、的斜率，根据点斜式方程即可得出结果．21世纪教育网版权所有
(1)如图，的方程为．
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)由∥轴，且在第一象限知：
的斜率，的斜率．
所以，边所在直线的方程为，即．
边所在直线的方程为，即．
题3
答案：C
详解:设线段AB的中点P的坐标为(a，b)，由P到l1，l2的距离相等，得＝，
整理得：2a－5b＋1＝0.
又因为点P在直线x－4y－1＝0上，所以a－4b－1＝0，
解方程组得即点P的坐标( 3， 1)．又因为直线l过点21世纪教育网
(2，3)，所以直线l的方程为＝，即4x－5y＋7＝0.
题4
答案：x－2y－3＝0.
详解:由题意可知直线AN⊥l，且l过N(1， 1)，
∵kAN＝＝－2，∴l的斜率为，
由点斜式方程可知l的方程为y＋1＝(x－1)，
即x－2y－3＝0.
题5
答案：B
详解:取直线2x－y＋2＝0上一点A (0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0
对称的点为B(a，b)，
则解得∴B(3,5)．
联立方程，得解得
∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P (1,4)．
∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝(x－1)，
整理得x－2y＋7＝0.
题6
答案：C.
详解:将点代入直线中，只要异号即可．
题7
答案：0°≤α<90°或135°≤α<180°.
详解:由k＝m2－1可知k≥－1，
①当－1≤k<0时，即－1≤tanα<0，且0°≤α<180°，∴135°≤α<180°.
②当k≥0时，即tanα≥0，
又∵0°≤α<180°，∴0°≤α<90°.
综上所述，直线l倾斜角的范围是
0°≤α<90°或135°≤α<180°.
题8
答案：D
详解:将直线化为一般式，得nx＋my－mn＝0，由点到直线的距离公式得
d＝＝.
题9
答案：（1）x=2或3x－4y－10=0；
（2）2x－y－5=0；
（3）不存在.
详解:（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，
可见，过P (2，－1)垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在，其方程为x=2.
若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.
由已知，得=2，解之得k=.
此时l的方程为3x－4y－10=0.
综上，可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0.
（2）可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得kl·kOP =－1，所以kl =－=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，
即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.
题10
答案：x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
详解:据题意，直线l与两坐标轴不垂直，否则不能构成三角形，
设其斜率为k (k≠0)，则l的方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0得y＝2k＋3，令y＝0得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为
|(2k＋3)(－－2)|＝4，即(2k＋3)(＋2)＝±8.
若(2k＋3)(＋2)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解，
若(2k＋3)(＋2)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，
解之得k＝－或k＝－，
∴l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，
即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
题11
答案：(－2,1) －1.
详解:∵直线l：y－1＝k (x＋2)，当x＝－2时，y＝1，
∴直线过定点(－2,1)．
若直线l的倾斜角为135°，∴k＝－1.
∴y－1＝－(x＋2)．
∴当x＝0时，y＝－1.
题12
答案：4.
详解: 点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，且m2＋n2为直线上的点到原点的距离的平方．
当两直线垂直时，距离最小，故d＝＝＝＝2，
∴m2＋n2≥4.
21世纪教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
学科：数学
专题：直线的综合问题
题1
一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，
则其倾斜角为( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
题2
若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.21教育网
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
题3
过点A(0,1)作一直线l，使它夹在直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0间的线段
被A点平分，试求直线l的方程．
题4
(1)求经过点(1,1)且与直线 y＝2x＋7平行的直线方程；
(2)求经过点(0,2)且与直线 y＝－3x－5平行的直线方程；
(3)求经过点(－1,1)且与直线 y＝－2x＋7垂直的直线方程；
(4)求经过点(0， 2)且与直线 y＝3x－5垂直的直线方程．
题5
直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
题6
在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的[来源:21世纪教育网]
面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．321世纪教育网
题7
已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
题8
若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求的最小值．
题9
已知实数，满足，求证：(a+2) 2+(b+2)2≥．
题10
已知直线 l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，
( http: / / www.21cnjy.com )
如图所示，求△ABO面积的最小值及此时直线 l 的方程.
题11 21世纪教育网
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
题12
实数x、y满足不等式组，则ω＝的取值范围是( )
A．[－1,0) B．(－∞，0)
C．[－1，＋∞) D．[－1,1)
课后练习详解
题1
答案：D
详解:如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.21cnjy.com
题2
答案：①⑤
详解:两平行线间的距离d＝＝，
又动直线m被l1与l2所截的线段长为2，则动直线m与两平行线的夹角为30°，所以直线m的倾斜角等于75°或15°.21·cn·jy·com
题3
答案：x＋4y－4＝0.
详解:设直线l分别交l1、l2于点P(m，n)和Q(a，b)，
则由A为PQ的中点可得a＝－m，b＝2－n.即点Q坐标为(－m,2－n)．
又点P在l1上，则m－3n＋10＝0. ①
同理，点Q在l2上，则2m＋n＋6＝0. ②
由①②可得∴P(－4,2)．
∴利用两点式可得＝.
∴直线方程为x＋4y－4＝0.
题4
答案：(1) 2x－y－1＝0;
(2) 3x＋y－2＝0;
(3) x－2y＋3＝0;
(4) x＋3y＋6＝0.
详解:(1)由y＝2x＋7得k1＝2，
由两条直线平行知k1＝k2＝2，
利用点斜式得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)由y＝－3x－5得k1＝－3，
由两条直线平行知k1＝k2＝－3.
利用斜截式得所求直线方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
(3)由y＝－2x＋7得k1＝－2，
由两直线垂直知k1k2＝－1，
∴k2＝.
∴利用点斜式得所求的直线方程为
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
(4)由y＝3x－5得k1＝3，由两直线垂直知k1k2＝－1，
∴k2＝－.
利用斜截式得所求直线方程为y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0.
题5
答案：B
详解:方法一：设满足条件的点的坐标为(a，b)．
由题意可知，
解得或，
故满足条件的点有两个.
方法二：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x与y＝－x上，而直线7x＋3y－21＝021世纪教育网
与y＝x和y＝－x各有一个交点，故满足条件的点共两个．
题6
答案：D.
详解:由得A(1，a＋1)，
由得B (1,0)，
由得C (0,1)．
∵△ABC的面积为2，且a>－1，
∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
题7
答案：(1) kAB＝0, AB的倾斜角为0°;
kBC＝, BC的倾斜角为60°;
kAC＝, AC的倾斜角为30°;
(2) [，]．
详解:(1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.在区间[0°，180°)范围内．
∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.
tan60°＝，∴BC的倾斜角为60°.
tan30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，
直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，
所以k的取值范围为[，]．
题8
答案：
详解: ＝可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．
又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，
∴即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离，
因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是的最小值．
由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为
d＝＝，
故的最小值为.
题9
答案：证明略.
详解:本题的几何意义是：直线上的点（，）与定点的距离的平方不小于．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离，21世纪教育网版权所有
所以，即．
题10
答案：(S△ABO)min=12，2x+3y 12=0.
详解: 方法一：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l 的方程为
∵ 过点P(3,2),∴ ,且a＞3，
从而
，
当且仅当，即a=6时等号成立. (S△ABO)min=12，此时.
故直线l的方程为，即2x+3y 12=0.
方法二：依题意知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为y 2= k (x 3) (k<0),
则有A (3 ,0), B (0,2 3k),
21世纪教育网
当且仅当 9k=，即k= 时等号成立，(S△ABO)min=12 .
故所求直线的方程为2x+3y 12=0.
方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.
( http: / / www.21cnjy.com )
设θ=∠PAM=∠BPN,则
S△ABO= S△PBN + S长方形NPMO + S△PMA
当且仅当，即tanθ=时, (S△ABO)min=12 ,
此时直线l的斜率为 ，其方程为2x+3y 12=0.
题11
答案：(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0;
(2) a≤－1.
详解:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴a＝2，方程为3x＋y＝0，
若a≠2，则＝a－2，即a＝0，
方程为x＋y＋2＝0.
∴直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或，
∴a≤－1.
题12
答案：D
详解:如图所示，的几何意义为点(0,1)与可行域内点连线的斜率．
斜率的取值范围为[－1,1)．
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网