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学科：数学
专题：直线和圆的综合问题
题1
已知直线l：y=x+m与半圆C：x2+y2=4（y≥0）有两个公共点，则实数m的取值范围是____________．21·cn·jy·com
题2
已知直线l：y＝x＋m，m∈R．若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；www.21-cn-jy.com
题3
过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
题4
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上恰有两个点到直线4x-3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 ． 【来源：21·世纪·教育·网】
题5
已知点P是半径为5的⊙O内的一个定点，且OP=3，则过点P的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）． 21*cnjy*com
A． 2条 B．3条 C．4条 D．5条
题6
圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )．
A．(－∞，4) B．(－∞，0) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
题7
从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．
题8
已知圆C：（x-3）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )（y-4）2=4和直线l：kx-y-4k+3=0．
（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；
（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．21·世纪*教育网
题9
若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则（ ）．
A． B． C． D．
题10
若直线与曲线，有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为 ．
题11
如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．21教育网
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课后练习详解
题1
答案：．
详解：当直线y=x+m与圆相切时，由题意可得，
∴或(舍去），
当直线y=x+m过A（-2，0）时，m=2，此时y=x+2过（0，2）点
结合图形可得，直线l：y=x+m与半圆C：x2+y2=4（y≥0）有两个公共点时，．
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题2
答案：(x－2)2＋y2＝8．
详解：依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
题3
答案：2x－y＝0．
详解：设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0．
由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，
因此圆心到直线的距离等于＝0，
即圆心位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0．
题4
答案：（-15，-5）∪（5，15）．
详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）
故圆心（0，0）到直线4x-3y+c=0的距离为，2·1·c·n·j·y
如图中的直线m恰好与圆有3个公共点，此时d=OA=2-1，
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直线n与圆恰好有1个公共点，此时d=OB=2+1=3，
当直线介于m、n之间满足题意．
故要使圆x2+y2=4上恰有两个点到直线4x-3y+c=0的距离为1，www-2-1-cnjy-com
只需d大于1小于3，即，
解得：-15＜c＜-5，或5＜c＜15
故c的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．
题5
答案：C．
详解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
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Rt△OAP中，OP=3，OA=5；根 ( http: / / www.21cnjy.com )据勾股定理，得AP=4；∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条．故选C．2-1-c-n-j-y
题6
答案：A．
详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a＞0，即a＜2．
由圆心在直线上，可得b＝－2，∴a－b＜4，所以选A．
题7
答案：60°．
详解：设原点为O，圆心为P（0，6），半径是PA=3，切点为A、B，则OP=6，
在Rt△AOP中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．
题8 [21世纪教育网]
答案：（1）省略；（2）k=1，．
详解：（1）证明：由直线l的方程可得y-3=k（x-4），则直线l恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，
所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l与圆C总相交．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，
又设弦长为L，则，
即，
∴当k=1时，，∴，
所以圆被直线截得最短的弦长为．
题9
答案：B．
详解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，
∴a2+b2=(a2+b2)(cos2α+sin2α)≥(acosα+bsinα)2=4，（当且仅当时等号成立）故选B．21世纪教育网版权所有
题10
答案：．
详解：因为曲线，所以（x-2）2+y2=1（x≥2），
表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），
到直线x-y-b=0的距离为21世纪教育网
解得或（舍去），
当直线y=x-b过点B（2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b=3．
所以要使直线y=x-b与曲线有两个不同的公共点，21cnjy.com
所以，即实数b的取值范围为．
故答案为：．
题11
答案：4．
详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；
到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．
故答案为：4．
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学科：数学
专题：直线和圆的综合问题
题1
设直线l经过点P(3,4)，圆C的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)2＋(y＋1)2＝4.若直线l与圆C交于两个不同的点，则直线l的斜率的取值范围为( )．21·cn·jy·com
A． B． C． D．
题2
已知m∈R，直线l：和圆C：．
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
题3
已知圆上的两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求直线PQ的方程．www.21-cn-jy.com
题4
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2 ( http: / / www.21cnjy.com )=16上有且只有四个点到直线3x-4y+c=0的距离为2，则实数c的取值范围为 ． 2·1·c·n·j·y
题5
过点A(11, 2)作圆x2+y2-2x+4y+1=0的弦，则弦长为整数的弦共有（ ）．
A．4条 B．7条 C．8条 D．11条
题6
如果圆(x＋3)2＋(y－1)2＝1关于直线l：mx＋4y－1＝0对称，则直线l的斜率为( )．
A．4 B．－4 C． D．－
题7
过点（0，1）引x2+y2-4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为________．
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题8
过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长最短的直线方程为 ．
题9
若直线通过点P（1，1），（a＞0，b＞0），则（ ）
A．a+b≤4 B．a+b≥4 C．ab＜4 D．ab＞4
题10
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B．21教育网
(1)求k的取值范围；21世纪教育网
(2)是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
题11
在坐标平面内，与点A（1，3）的距离为，且与点B（3，1）的距离为的直线共有______条．
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课后练习详解
题1
答案：C．
详解：由题意，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．
又直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于两个不同的点，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即＜2，解得k＞．
所以直线l的斜率的取值范围为，答案选C．
题2
答案：（1）[－，]；（2）不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．
详解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，
直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，
当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k的取值范围是[－，]．
(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤．
圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2，圆心C到直线l的距离为d＝，
由|k|≤，得d≥＞1，即d＞．
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于．
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．
题3
答案：y＝－x＋或y＝－x＋．
详解：由P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称知直线kx－y＋4＝0过已知圆的圆心(－，3)，
则k＝2，直线PQ的斜率kPQ＝－．
设直线PQ的方程为y＝－x＋b，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
则P、Q两点的坐标是方程组的解，
消去y，得x2＋(4－b)x＋b2－6b＋3＝0，故x1＋x2＝－ ， ①
x1x2＝， ②
由OP⊥OQ x1x2＋y1y2＝0 x1x2＋(－x1＋b)·(－x2＋b)＝0，
x1x2－(x1＋x2)＋b2＝0，将①，②代入得b＝或b＝．
所以直线PQ的方程为y＝－x＋或y＝－x＋．
题4
答案：-10＜c＜10．
详解：圆x2+y2=16的圆心为O，半径等于4，圆心到直线的距离，
要使圆x2+y2=16上有且只有四个点到直线3x-4y+c=0的距离为2，应有
，即-10＜c＜10．
题5
答案：B．[来源:21世纪教育网]
详解：圆x2+y2-2x+4y+1=0的标准方程是：（x-1）2+（y+2）2=22，
圆心（1，-2），半径r=2，过点A（11，2）的最短的弦长大于0，
最长的弦长为4，只有一条，还有长度为1，2，3的弦长，各2条，
所以共有弦长为整数的1+2×3=7条．故选B．
题6
答案：D．
详解：依题意，得直线mx＋4y－1＝0经过点(－3,1)，所以－3m＋4－1＝0．
所以m＝1，故直线l的斜率为－，选D．
题7
答案：．
详解：设切线的方程为y-1=kx，即kx-y+1=0．
由切线的性质可得，圆心（2，0）到直线kx-y+1=0的距离，[来源:21世纪教育网]
或，设两直线的夹角为α，则，
由直线的夹角公式可得，，
因为，cosα＞0，所以．
题8
答案：x-y-1=0．
详解：∵圆x2+y2-2x-4y=0的圆心为C（1，2）
∴设A（2，1），得AC的斜率，
∵直线l经过点A（2，1），且l被圆x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )y2-2x-4y=0截得的弦长最短
∴直线l与经过点A（2，1）的直径垂直的直线
由此可得，直线l的斜率为K=1，因此，直线l方程为y-1=x-2，即x-y-1=0
故答案为：x-y-1=0．21世纪教育网版权所有
题9
答案：B．
详解：因为直线通过点P（1，1），
所以，又因为a＞0，b＞0，
由基本不等式可得
当且仅当a=b=2时，取等号，故选B．
题10
答案：（1）－详解：(1)圆(x－6)2＋y2＝4的圆心Q(6,0)，半径r＝2，设过P点的直线方程为y＝kx＋2，
根据题意得<2，∴4k2＋3k<0，∴－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x1＋x2，y1＋y2)，
将y＝kx＋2代入x2＋y2－12x＋32＝0中消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，
∵x1，x2是此方程两根，∴则x1＋x2＝－，
又y1＋y2＝k (x1＋x2)＋4＝－＋4，
P(0,2)，Q(6,0)，∴＝(6，－2)，
向量与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，
∴＝－6k·＋24，∴k＝－，
由(1)知k∈(－，0)，故没有符合题意的常数k．
题11
答案：1．
详解：以A（1，3）为圆心，以为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，以为半径作圆B．
∵|AB|=，
∴两圆内切，公切线只有一条．故答案为：1．21cnjy.com
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学科：数学
专题：直线和圆的综合问题
引入
在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）21世纪教育网
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
重难点易错点解析
题1
题面：若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
金题精讲
题1
题面：①直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围是_____________．
②已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为 ．21世纪教育网版权所有
题2
题面：弦中点问题：若直线与圆交于、两点，、的中点为，
1 若已知圆方程与，求：直线的方程．21世纪教育网
2 若已知圆方程与直线的斜率，求：点的轨迹方程．
3 若已知圆方程，直线过定点，求：点的轨迹．
题3
题面：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线
的距离为1，则实数c的取值范围是 ．
（2）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
题4
题面：过点作圆的弦，则弦长为整数的有 条．
题5
题面：过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为 ．
题6
题面：过直线x+y =0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．21教育网
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题7
题面：直线（R）被圆截出的最短弦长为 ．
题8
题面：若直线通过点，则（ ）．
A． B． C． D．
题9
题面：已知直线，曲线，若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 ．21cnjy.com
思维拓展
题1
题面：在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
学习提醒
温故知新，数形结合
讲义参考答案
重难点易错点解析
题1
答案：C．
金题精讲
题1
答案：①；②．
题2
答案：①；②；③以(3,3)为圆心，为半径在圆内的一段圆弧．21世纪教育网
题3
答案：（1）；（2）．
题4
答案：32．
题5
答案：60°．
题6
答案：．
题7
答案：．
题8
答案：D．
题9
答案：．
思维拓展
题1
答案：B．
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