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变量的相关性课后练习
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
题1： 下面哪些变量是相关关系( )
A．出租车车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重 D．铁块的大小与质量
题2： 下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
题3： 观察下列各图形21世纪教育网
其中两个变量x、y具有相关关系的图是 ( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
题4： 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )
A．＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2
C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2[来源:21世纪教育网]
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题5： 一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数xi 10 15 20 25 30 35 40
件数yi 4 7 12 15 20 23 27
其中i＝1,2,3,4,5, 6,7．
(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；
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(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)
(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)
题6： 某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
(1)以工作年限为自变量x，推销金额为因变量y，作出散点图；
(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．21世纪教育网
题7： 由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的( )21教育网
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题8： 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高 ( http: / / www.21cnjy.com )x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )21cnjy.com
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
题9： 工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为＝60＋90x，下列判断正确的是( )
A．劳动产值为1 000元时，工资为50元
B．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元
C．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元
D．劳动产值为1 000元时，工资为90元
题10： 某单位为了了解用电量y度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：21·cn·jy·com
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64
由表中数据得回归直线方程＝x＋中＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．
题11： 如图所示，有A，B，C，D，E 5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．2·1·c·n·j·y
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题12： 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A， B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：【来源：21·世纪·教育·网】
甲 乙 丙 丁
r 0. 82 0.78 0.69 0.85
m21世纪教育网 106 115 124 103
则这四位同学中，________同学的试验结果表明A，B两个变量有更强的线性相关性．
题13： 对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )2-1-c-n-j-y
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
题14： 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是( )
A．r2C．r4题15： 对五个样本点(1，2.98)，(2，5.0 ( http: / / www.21cnjy.com )1)，(3，m)，(4，8.99)，(6，13)分析后，得到回归直线方程为y＝2x＋1，则样本点中m为________． 21*cnjy*com
题16： 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm) 174 176[来源:21世纪教育网] 176 176 178
儿子身高y(cm) 175 175 176 177 177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
题17： 以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m2)的一组数据：
房屋面积x(m2) 80 105 110 115 135
销售价格y(万元) 18.4 22 21.6 24.8 29.2
若销售价格y和房屋面积x具有线性相关关系．
(1)求销售价格y和房屋面积x的回归直线方程；
(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
题18： 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
(1)求回归直线方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中， ( http: / / www.21cnjy.com )销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) www-2-1-cnjy-com
变量的相关性
课后练习参考答案
题1： C．
详解：A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．
题2： C．
详解：由回归分析的方法及概念判断．
题3： C．
详解：从散点图可看出③④所有点看上去都在某条直线(曲线)附近波动，具有相关关系．
题4： B．
详解：设回归方程为＝bx＋a．由散点 ( http: / / www.21cnjy.com )图可知变量x、y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b＜0，a＞0，因此其回归直线方程可能为＝－1.5x＋2．21·世纪*教育网
题5： (1)见详解；(2)＝0.79x－4.32；(3) 59．
详解：(1)散点图如图．
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＝－b＝－4.32，∴回归直线方程是＝0.79x－4.32．
(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y＝0.79×80－4.32≈59．
题6： (1) 略；(2) ＝0.5x＋0.4；(3) 5.9万元．
详解：(1)依题意，画出散点图如图所示，
(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为＝x＋．
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则＝＝＝0.5，＝－＝0.4，
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4．
(3)由(2)可知，当x＝11时，＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9 (万元)．
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
题7： B．
详解：x0，y0为这10组数据的平 ( http: / / www.21cnjy.com )均值，又因为回归直线＝x＋必过样本中心点(，)，因此(x0，y0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(，)．【来源：21cnj*y.co*m】
题8： D．
详解：由于回归直线的斜率为正值，故 ( http: / / www.21cnjy.com )y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．【出处：21教育名师】
题9： C．
详解：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b个单位．
题10： 68．
详解：＝10，＝40，回归方程过点(，)，
∴40＝－2×10＋，∴＝60．∴＝－2x＋60．
令x＝－4，∴＝(－2)×(－4)＋60＝68．
题11： D．
详解：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D．
题12： 丁．
详解：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A，B两变量有更强的线性相关性．【版权所有：21教育】
题13： C．
详解：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，选C．
题14： A．
详解：第1组和第3组为正相关，第2组和第4组 ( http: / / www.21cnjy.com )为负相关，所以r1，r3>0，r2，r4<0，并且从图中可知第1组比第3组相关性要强，第2组比第4组相关性要强．故选A．21教育名师原创作品
题15： 7.02．
详解：回归直线方程y＝2x＋1过样本中心点，将x＝3.2代入方程得y＝7.4，则可算出m＝7.02．
题16： C．
详解：因为＝＝176，＝＝176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C．
题17： (1) 回归直线方程为 ＝0.1962x＋1.8142；(2) 31.2442(万元)．
详解：(1)由题意知，＝＝109，
＝＝23.2．
设所求回归直线方程为＝bx＋a，则
b＝＝≈0.1962，a＝－b≈23.2－0.1962×109＝1.8142，
故回归直线方程为＝0.1962x＋1.8142．
(2) 由(1)知，当x＝150时，估计房屋的销售价格为＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(万元)．
题18： (1) ＝－20x＋250；(2)单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
详解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80．21世纪教育网版权所有
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250．
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361.25．www.21-cn-jy.com
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
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变量的相关性
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
开篇语
在现实生活中，变量之间的关系除了确定性的函数关系之外，还有一种不确定的关系．例如，降雨量与农作物亩产量之间是有联系的，而这种联系是不确定的．因为一般来说，当降雨量适宜时，常有较高产量；当降雨量不足时，则产量一般较低．然而，即使在降雨量相同的情况下，农作物的产量也不会是一样的．又如人的身高和体重之间的关系，人的年龄和血压之间的关系等．这些变量之间存在着密切的关系，但它不能由一个变量的数值精确地确定另一个变量的值，尽管如此，关系不确定的两个变量之间的关系往往仍有规律可循．如果我们能够掌握它们之间可能存在的某种规律，可用来指导我们作出合理的决策．这就是本节课我们所要探讨的变量间的相关关系．
数学中只有概率统计部分研究不确定的关系．在现实生活中相关关系大量存在．从某种意义上说，函数关系是一种理想化的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．2·1·c·n·j·y
重难点易错点解析
题一：下列两个变量之间的关系：
①角度和它的余弦值；②正n边形的边数与内角和；
③家庭的收入与支出；④电价与某户家庭用电量间的关系．
其中是相关关系的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题二：下列图形中两个变量具有相关关系的是( )
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金题精讲
题一：有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：
年龄(岁) 1 221世纪教育网 321世纪教育网 4 5 6
身高(cm) 78 87 98 108 115 120
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
题二：由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )21教育网
A．直线＝bx＋a必经过点(，)
B．直线＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝bx＋a的斜率为
D．直线＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线【来源：21·世纪·教育·网】
题三：设有一个回归方程为＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位
题四：如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，去掉哪个点后，剩下的5个点数据的相关系数最大？( )21世纪教育网版权所有
A．D B．E C．F D．A
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题五：以下关于线性回归的判断，正确的有( )个．
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点
③已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
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题六：为了考察两个变量x和y之间的线性相关性 ( http: / / www.21cnjy.com )，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )21·cn·jy·com
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
题七：某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据：www.21-cn-jy.com
x 3 4 5 6 7 8 9[来源:21世纪教育网]
y 66 69 73 81 89 90 91
已知＝280，＝45309，iyi＝3487．
(1) 求，；
(2) 求纯利y与每天销售件数x的回归直线方程；
(3) 估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元？
变量的相关性
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：B 题二：C
金题精讲
题一：线性相关关系．如图：21世纪教育网
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题二：B 题三：C 题四：C
题五：D 题六：A
题七：(1)＝6，＝79.86；(2) 回归直线方程为 ＝4.75x＋51.36；(3) 98.86元21cnjy.com
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