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古典概型
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
开篇语
用做实验的方法可以得到某个事 ( http: / / www.21cnjy.com )件的频率，随着实验次数的增加，频率稳定在概率附近，所以，通过大量做实验的方法可以得到事件的概率，但是可操作性太差．本讲我们推出一种重要的概率模型，古典概型，只要满足古典概型的特点，那么事件的概率就可以用公式进行计算了．
重难点易错点解析
题一：1个盒子中装有4个完全相同的小球，分别标有号码1、2、3、5，有放回地任取两球．
(1)求这个试验的基本事件总数；
(2)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件包含的基本事件．
题二：从数字1、2、3、4、5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )21世纪教育网21·cn·jy·com
A． B． C． D．
21世纪教育网
金题精讲
题一：袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球．从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？[来源:21世纪教育网]2·1·c·n·j·y
题二：第一小组有足球票3张，篮球票2张，第二小组有足球票2张，篮球票3张，甲从第一小组5张票和乙从第二小组5张票中各任意取出一张，两人都抽到足球票的概率是多少？
题三：运行如图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为( )
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )
题四：已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5, 6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
题五：一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；21世纪教育网
(2)先从袋中随机取一个球，设该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，设该球的编号为n，求n题六
题面：已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1, 1, 2, 3, 4, 5}和Q＝{－2,－1, 1, 2, 3, 4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y＝f (x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．21教育网
古典概型
讲义参考答案[21世纪教育网
重难点易错点解析
题一：(1) 16；(2) (1,5)，(3,3)和(5,1) 题二：B21cnjy.com
金题精讲
题一：P(取得黑球)＝，P(取得黄球)＝，P(取得绿球)＝ 题二：
题三：A 题四：B 题五：(1) ；(2) 题六：www.21-cn-jy.com
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古典概型课后练习
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
题1： 一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
（1）列举出所有可能结果．
（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，写出B=“点（x，y）落在直线 y=x+1 上方”这一事件包含的基本事件．
[21世纪教育网]
题2： 一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、 ( http: / / www.21cnjy.com )4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y．
（1）列出所有可能结果．
（2）写出A=“取出球的号码之和小于4”这一事件包含的基本事件．
（3）写出B=“编号X＜Y”这一事件包含的基本事件．
题3： 从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为 ．【版权所有：21教育】
题4： 一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1， ( http: / / www.21cnjy.com )2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
题5： 某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率．
题6： 袋中有若干小球，分别为红色、黑色、黄色、白色，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或白球的概率为．试求任取一球，得到黑球，得到黄球，得到白球的概率各是多少？
题7： 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3 ( http: / / www.21cnjy.com )、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求取出的两个球上标号为相邻整数的概率．
题8： 在甲、乙两个盒子中分别装有 ( http: / / www.21cnjy.com )标号为1，2，3，4，5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求事件“取出的两个球上标号之和能被3整除”的概率．
题9： 从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为 ．21·cn·jy·com
题10： 已知：a、b、c为集合A={1，2，3 ( http: / / www.21cnjy.com )，4，5，6}中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是 ．【出处：21教育名师】
题11： 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为 ．
题12： 从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．
(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．
题13： 已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
题14： 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A． B． C． D．
题15： 设集合A＝{1, 2}，B={1, 2, 3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a, b)，记“点P(a, b)落在直线x+y=n上”为事件(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )21·世纪*教育网
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
题16： 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2 bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={ 1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．
（1）求函数y = f（x）有零点的概率；21*cnjy*com
（2）求函数y = f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
古典概型
课后练习参考答案
题1： 见详解．
详解：（1）由题意知共有25种结果 ( http: / / www.21cnjy.com )，用一对有序数对表示出可能出现的情况，第一个数字表示第一次抽到的数字，第二个数字表示第二次抽到的数字，下面列举出所有情况：
（1，1）（1，2）（1，3）（1 ( http: / / www.21cnjy.com )，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）
（2）满足条件的事件是点（x，y）落在直线y=x+1上方的有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种．21教育名师原创作品
题2： 见详解．
详解：（1）所有可能的结果共有：（1，1）、 ( http: / / www.21cnjy.com )（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共计16个．
（2）事件“取出球的号码之和小于4”包含的结果有：（1，1）、（1，2）、（2，1），
共计3个；
（3）事件B=“编号X＜Y”包含的结果有：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），共计6个．
题3： ．
详解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有种结果，两位数大于20的为：21，23，24，31，32，34，41，42，43共9种结果，因此概率为．
题4： （1）；（2）．
详解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）组成的所有两位数列表为：
十位
个位 1 2 21世纪教育网 3 4
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
或列树状图为：
∴这个两位数大于22的概率为．
题5： (1)0.56；(2)0.74．
详解：记事件A为“不派出医 ( http: / / www.21cnjy.com )生”，事件B为“派出1名医生”，事件C为“派出2名医生”，事件D为“派出3名医生”，事件E为“派出4名医生”，事件F为“派出不少于5名医生”．www.21-cn-jy.com
则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，
且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04． 21*cnjy*com
(1)“派出医生至多2人”的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)“派出医生至少2人”的概率为
P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74，【来源：21cnj*y.co*m】
或1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74．
题6： ．
详解：记“任取一球，得到红球，得到黑球，得到黄球，得到白球”分别为事件A、B、C、D，则由题意可得，解得
所以，任取一球，得到黑球，得到黄球，得到白球的概率各是．21世纪教育网
题7： ．21世纪教育网
详解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种．
所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种．故所求概率．21教育网
题8： ．
详解：基本事件总数为5×5=25种，记事件“取出两个球上标号之和能被3整除”为事件A，事件包含（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（4，5），（5，4）共9种．∴．
题9： ．
详解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共12种情况，其中是5的倍数的有15，35，75三种，∴组成两位数能被3整除的概率为．www-2-1-cnjy-com
1 3 5 7
1 13 15 17
3 31 35 37
5 51 53 57
7 71 73 75
故答案为：．
题10： ．
详解：根据框图判断，本框 ( http: / / www.21cnjy.com )图输出的a为输入的三个数a，b，c中的最大值．
最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3；1种情况．
最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4；3种情况．
最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5；6种情况．
最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6；10种情况．21世纪教育网版权所有
a=5的概率=．故答案为．
题11： ．
详解：由题意知模拟两次投掷飞镖的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示两次投掷飞镖恰有一次命中的有：93，28，45，25，73，93，30，48，35共10组随机数，∴所求概率为．21cnjy.com
题12： (1)；(2)．
详解：设2名女生为a1，a2,3名男生 ( http: / / www.21cnjy.com )为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种．2·1·c·n·j·y
(1) 设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ( http: / / www.21cnjy.com )，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，∴P(A)＝＝，2-1-c-n-j-y
故所选2人中恰有一名男生的概率为．
(2)设“所选2人中至少有一名女生 ( http: / / www.21cnjy.com )”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，
∴P(B)＝，故所选2人中至少有一名女生的概率为．
题13： （1）0.22；（2）0.90．
详解：（1）记“甲射击一次，命中不足8环”为事件A，则P（A）＝1 0.56 0.22＝0.22．
（2）记“甲射击一次，至少命中7环”为事件B，则P（B）＝0.56+0.22+0.12＝0.90．
题14： A．
详解：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝．
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题15： D．
详解：所有基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共6个，所以．
所以最大时的n值为3或4．
题16： （1）；（2）．
详解：（a，b）共有（1， 1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2， 1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15种情况．
（1）满足△=b2 4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况．
∴函数y =f（x）有零点的概率．
（2）二次函数f（x）=ax2 bx+1的对称轴，
∵函数y = f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴，有（1， 1），（1，1），（1，2），（2， 1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3， 1），（3， 1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况．
∴函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
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