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几何概型课后练习
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
题1： 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向 ( http: / / www.21cnjy.com )内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm．运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？
题2： 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
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题3： 在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥P-SBC的体积大于的概率是 ．【版权所有：21教育】
题4： 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为 ．[来源:21世纪教育网]21*cnjy*com
题5： 已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A． B． C． D．
题6： 在区间(0, 1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为( )
A． B． C． D．
题7： 若m∈(0, 3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．21cnjy.com
题8： 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
A． B． C． D．
题9： 在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
题10： 若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．
题11： 在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )．
A． B． C． D．
题12： 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )．
A． B． C． D．[学优]
题13： 设有一个正方形网格，每个小正方形的边长为4，用直径等于1的硬币投掷到此网格上，硬币下落后与网格线没有公共点的概率为 ．
题14： 在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的 ( http: / / www.21cnjy.com )直径的2倍，向方框中投掷硬币，硬币完全落在正方形外的不计，则硬币完全落在正方形内的概率为 ．21教育名师原创作品
题15： 设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．求弦AB的长超过圆半径的概率．
题16： 已知AB是圆O的一条直径， ( http: / / www.21cnjy.com )CD是一条动弦且与AB垂直，假设CD与直径AB的交点在AB上是等可能的，则弦CD长大于半径的概率是 ．
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题17： 下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布 ( http: / / www.21cnjy.com )，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人．将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分．
y
x21世纪教育网 跳 远21世纪教育网
5 4 3 2 1
跳
高 5 1 3 1 0 1
4 1 0 2 5 1
3 2 1 0 4 3
2 1 m 6 0 n
1 0 0 1 1 3
（1）求m+n的值；（2）求x=4的概率及x ≥ 3且y = 5的概率．
题18： 下表为某学年随机抽出的100名学生的数学及语文成绩，成绩分为1～5个档次，设x、y分别表示数学成绩和语文成绩，例如表中数学成绩为5分的共有2+6+2+0+2=12，语文成绩2分的共有0+10+18+0+2=30人．
（1）求x≥3的概率及在x≥3的基础上，y=3的概率；
（2）求x=2的概率及m+n的值．
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几何概型
课后练习参考答案
题1： 0.01．
详解：如图，记“射中黄心”为事件B，由于射中靶面随机地落在面积为×π×1222cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心内时，事件B发生，于是事件B发生的概率P(B)==0.01．
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题2： C．
详解：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝．
题3： ．
详解：如图，由于三棱锥P-SBC和三棱锥S-PBC的体积相等，三棱锥S-PBC与三棱锥S-ABC等高，
故在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，三棱锥P-SBC的体积大于，即在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于即可．【来源：21·世纪·教育·网】
记事件A={△PBC的面积大于}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图），
因为，则有；
化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
因为，所以△PBC的面积大于的概率．
题4： ．
详解：由题意可知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有的事件对应着球的体积，满足条件的事件是对应三棱锥的体积，21·世纪*教育网
由三视图得到三棱锥的侧棱长度，球的直径，
∴球的体积是，满足条件的事件是对应三棱锥的体积，三棱锥的三条侧棱互相垂直，体积是，
∴在三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为．
题5： D．
详解：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．
记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝．
题6： A．
详解：设这两个实数分别为x，y，则，满足x＋y>的部分如图中阴影部分所示．
所以这两个实数的和大于的概率为1－××＝．
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题7： ．
详解：直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，
又当m∈(0,3)时，>0，>0，∴·· <，
解得0题8： A．
详解：∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．
∴P＝＝．
题9： π．
详解：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时，符合要求．∴P＝＝．21教育网
题10： ．
详解：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝××3＝3，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为P＝＝．21·cn·jy·com
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题11： A．
详解：面积为36 cm2时，边长AM＝6 cm；面积为81 cm2时，边长AM＝9 cm．
∴P＝＝＝．
题12： C．
详解：如图，在AB边上取点P′，使＝，则P只能在AP′上(不包括P′点)运动，
则所求概率为＝．
题13： ．
详解：因为硬币的直径是1，所以半径是，要使硬币下落后与网格线没有公共点，只需硬币下落在正中心的边长为3的正方形的内部∴所求概率为．2·1·c·n·j·y
题14： ．
详解：设硬币的直径为2cm，正方形线框的边长为4．考虑圆心的运动情况．
因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：4×4+4×4×1+π×12=32+π；完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在2为边长的正方形内，其面积为：2×2=4；∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：．
题15： ．
详解：在圆上其他位置任取一点B，圆半径为1，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2π，其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为 ，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率．www-2-1-cnjy-com
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题16： ．
详解：设弦CD长大于半径的概率是P，如图所示：E，F两点为CD长恰为半径时的位置，根据几何概型长度类型，可得：．www.21-cn-jy.com
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题17： （1）m+n的值为3；（2）x = 4的概率为，x ≥ 3且y = 5的概率为．
详解：（1）表中反映了队员的跳高、跳远的综合成绩，其中各单元格的数字之和等于40
即：1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m+6+0+n+0+0+1+1+3=40．
整理，得m+n+37=40，因此m+n=3．
（2）∵x=4的人数为1+0+2+5+1=9，∴x=4的概率为：．2-1-c-n-j-y
又∵x≥3且y=5的人数为1+1+2=4，∴x≥3且y=5的概率为．
答：（1）m+n的值为3；（2）x=4的概率为，x≥3且y=5的概率为．
题18： （1），；（2）．
详解：（1）当x=3时，共有4+2+0+18+6=30人；当x=4时，共有2+0+14+10+2=28人；
当x=5时，共有12人，故当x≥3时：概率，在x≥3的基础上，y=3时有2+14+0=16人，故此时概率为． 21*cnjy*com
（2）当x=1时，共有0+0+2+2+6=10人，故当x=2时，共有100-（10+70）=20人，
此时概率为，∴2+m+12+0+n=20，∴m+n=6．【来源：21cnj*y.co*m】
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几何概型
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
开篇语
上一讲我们学习了古典概型，同学们还记得 ( http: / / www.21cnjy.com )古典概型的特点吗？试验的结果是有限个，且等可能．那么你能举出一个试验不符合古典概型吗？21世纪教育网21世纪教育网版权所有
重难点易错点解析
题一：在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
题二：已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC < VS－ABC的概率是( )21·cn·jy·com
A． B． C． D．
金题精讲
题一：一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m、宽20m的长方形．则此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为________．2·1·c·n·j·y
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题二：已知直线y＝x＋b的横截距在区间[－2,3]内，则直线在y轴上截距b大于1的概率是( )
A． B． C． D．
题三：点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A． B． C． D．π
题四：设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P与A连结，则弦长超过半径的概率为( )
A． B． C． D．
题五：设有一个正方形网格，其中每个最小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的边长都等于6cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．【来源：21·世纪·教育·网】
题六
题面：(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？21·世纪*教育网
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？
题七：下表为某体育训练队跳高成绩(x)与跳远 ( http: / / www.21cnjy.com )成绩(y)的分布，成绩分别为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.www.21-cn-jy.com
21世纪教育网 跳远
5 4 3 2 1
跳高 5 1 3 1 0 1
4 1 0 2 5 1
3 2 1 0 4 3
2 1 3 6 0 0
1 0 0 1 1 3
(1)求该训练队跳高的平均成绩；
(2)现将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分．求y＝4的概率及x＋y≥8的概率．21教育网
几何概型
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一： 题二：B
金题精讲
题一： 题二：A 题三：C 题四：C
题五： 题六：(1) ；(2) ；(3) 题七：(1) 3.025；(2) ；21cnjy.com
y
分
人
数
x
分
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