统计综合问题课后练习
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法（ ）
①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样
A．②③ B．①③ C．③ D．①②③
将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，?现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为( )
A． B． C．36 D．
已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．
①若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；
②分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．
某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况： ①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；
②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299； ③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；
④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样
从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D．2，4，6，16，32
在某次人才交流会上，应聘人数和招聘人数分别居前5位的行业列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数（单位：人）
2231
2053
1546
748
659
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数（单位：人）
1210
1030
895
763
725
如果用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，那么根据表中数据，对上述行业的就业情况判断正确的是（ ）
A．计算机行业好于其它行业 B．贸易行业好于化工行业
C．机械行业好于营销行业 D．建筑行业好于物流行业
某人才市场2004年上半年应聘和招聘人数排名前5个类别的情况如下图所示，若用同一类别中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该类别的就业情况，则根据图中信息，下列对就业形势的判断一定正确的是（ ） 提示：请注意理解图片是应聘和招聘人数排名前5个类别的情况．
A．医学类好于营销类 B．金融类好于计算机类
C．外语类最紧张 D．建筑类好于法律类
已知数据x1，x2，…，xn的平均数是4，则一组新数据x1+7，x2+7，…，xn+7的平均数是 ．
已知两组数x1, x2,…, x3和y1, y2,…, y3；它们的平均数分别是a和b．分别求下列各组新数据的平均数： （1）5x1，5x2，…，5xn；（2）x1?y1，x2?y2，…，xn?yn；
一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A．13, 12 B．13, 13 C．12, 13 D．13, 14
抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
一般地，家庭用电量y（千瓦）与气温x（℃）有函数关系y=f（x）．图（1）表示某年12月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量．试在数集A={x|5≤x≤30，x是2.5的整数倍}中确定一个最小值x1和最大值x2，使y=f（x）是[x1，x2]上的增函数，则区间[x1，x2]= ．
某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．
统计综合问题性
课后练习参考答案
D．
详解：总人数为28+54+81=163．样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样.若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162=2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本．
D．
详解：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法．
B．
详解：根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4．
∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝．
①2，10，18，26，34 ②62．
详解：由题意知被抽出职工的号码为2，10，18，26，34．由茎叶图知5名职工体重的平均数x＝＝69，则该样本的方差s2＝[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62．
D．
详解：在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30． ①中数据为7， 37，67，97，127，157，187，217，247，277，数据相差30，所以①为系统抽样或分层抽样． ②中数据5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；数据排列没有规律，可能为分层抽样． ③中数据11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；数据相差30，所以③为系统抽样或分层抽样． ④中数据31，61，91，121，151，181，211，241，271，300，数据相差30，但第一个数据大于30，所以④不可能是系统抽样．故D正确．
B．
详解：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k, k+d, k+2d, k+3d, k+4d，
其中d=50/5=10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，
因此只有选项B满足要求．
D．
详解：本题综合考查统计部分的有关知识，通过统计表可以得到应聘人数与招聘人数，进而通过计算应聘人数与招聘人数的比值大小来衡量该行业的就业情况，比值越小越容易就业，比值越大越不容易就业，计算机行业比值为1.83；机械行业比值为2.29；营销行业比值为1.50；建筑行业为0；化工行业为0；而物流行业与贸易行业的比值为无穷大，所以此题应选D．
D．
详解：因为同一类别中应聘人数与招聘人数比值越大的，说明该行业的就业形式越差；反之，比值越小的，说明就业形式越好，由此即可求出答案．
医学类的比值为；外语类的比值为；
金融类的比值为；法律类的比值大于；
计算机类的比值大于；营销类的比值小于；建筑类的比值小于．
则一定正确的是建筑类好于法律类，故选D．
11．
详解：由题意知，一组数据x1，x2，x3，x4，…，xn的平均数为
（x1+x2+x3+x4+…+xn）÷n=4
∴x1+7，x2+7，x3+7，x4+7，…，xn+7这组数据的平均数为
（x1+7+x2+7+x3+7+x4+7+…+xn+7）÷n
=[（x1+x2+x3+x4+…+xn）+7n]÷n
=（x1+x2+x3+x4+…+xn）÷n+7=4+7=11．
(1)5a；(2)a?b．
详解：（1）第一组中各数据正好是原来数据的5倍，所以平均数也是原来的5倍，故这组数据的平均数为5a；
（2）第二组中各数据正好是原来两组数据的差，所以平均数也是原来两组数据的差，故这组数据的平均数为a?b．
B．
详解：设等差数列{an}的公差为d (d≠0)，a3＝8，a1a7＝a＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d 2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B．
2．
详解：甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2．
由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．故答案为2．
[20，30]．
详解：先结合图形读懂题意，再找出图中随气温x（℃）增高家庭用电量y（千瓦）也增高的区间即可．观察两图中随气温x（℃）增高家庭用电量y（千瓦）也增高的是5月到8月，则y=f（x）在x∈[20，30]上的增函数，故答案为[20，30]．
71．
详解：由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95．
所以本次考试数学成绩的平均分为＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．故填71．
统计综合问题
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
开篇语
通过对统计部分知识的学习，我们知道了三种抽样的方法，明白了在什么情况下用什么样的方法能方便操作并且使得样本的代表性更好．从总体中抽取样本之后，我们还能够对所抽取的样本数据的分析，（包括分布和数字特征两部分），来推断总体的一些特征．
本讲在以上的基础上，我们对此部分统计的重难点知识进行巩固和提高．
重难点易错点解析
题一：某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
题二：已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：
甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83
乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86
则下列结论正确的是( )
A．甲>乙，s甲>s乙 B．甲>乙，s甲C．甲<乙，s甲>s乙 D．甲<乙，s甲金题精讲
题一：某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250；
②5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265；
③11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254；
④30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270．
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
题二：某地2008年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )
A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张
题三：设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是( )
A．2－3 B．2－3＋1 C．4－9 D．4－9＋1
题四：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
题五：经显示，家庭用液化气量(单位：升)与气温(单位：度)有一定的关系，如图所示，图(1)表示某年12个月中每个月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用气量，根据这些信息，以下关于家庭用气量与气温关系的叙述中，正确的是( )
A．气温最高时，用气量最多
B．当气温最低时，用气量最少
C．当气温大于某一值时，用气量随气温升高而增加
D．当气温小于某一值时，用气量随气温降低而增加
统计综合问题
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：B 题二：A
金题精讲
题一：D 题二：B 题三：B
题四：D 题五：CD
