用样本的频率分布估计总体的分布与数字特征课后练习
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110cm的株数大约是( )
A．3 000 B．6 000
C．7 000 D．8 000
某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单元：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A．90 B．75 C．60 D．45
从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则( )
A．甲<乙，m甲>m乙 B．甲<乙，m甲C．甲>乙，m甲>m乙 D．甲>乙，m甲2012年的NBA全明星赛于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奥兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________．
一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．40.6, 1.1 B．48.8, 4.4
C．81.2, 44.4 D．78.8, 75.6
由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．求图中a的值．
甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，
则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
如图是根据部分城市某年6月份的平均气温?(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．
为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<，则n，m的大小关系为( )
A．nm C．n＝m D．不能确定
样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
A． B． C． D．2
已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于( )
A．± B．±
C．± D．无法求解
容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是( )
A． B． C． D．
用样本的频率分布估计总体的分布与数字特征
课后练习参考答案
C．
详解：底部周长小于110 cm的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm的株数大约是10 000×0.7＝7 000．
A．
详解：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，
设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，
净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90．
B．
详解：
甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，
乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝．
∴甲＜乙．又∵m甲＝20，m乙＝29，∴m甲＜m乙．
64．
详解：依题意得，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别是28、36，因此甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64．
A．
详解：记原数据依次为x1，x2，x3，…，xn，则新数据依次为2x1－80,2x2－80,2x3－80，…，2xn－80，且＝1.2，因此有＝＝40.6，结合各选项知，正确选项为A．
1,1,3,3．
详解：利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解．
假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，
则∴
又s＝
＝
＝ ＝1，
∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2．
同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2．
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3．
0.005．
详解：由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005．
C．
详解：由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9．所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
9．
详解：最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右边矩形面积为0.18×1＝0.18, 50×0.18＝9．
90．
详解：依题意得，样本中成绩小于70分的频率是(0.010＋0.020)×10＝0.3；
样本中成绩在[60,90)内的频率是(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，
因此样本中成绩在[60,90)内的学生人数为＝90．
D．
详解：由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即me＝5.5,5出现的次数最多，故mo＝5，＝≈5.97．
于是得moA．
详解：＝，＝，＝，
则＝＝＋．
由题意知0＜＜，∴n＜m．
D．
详解：由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2．
B．
详解：这组数据的平均数为＝＝a4，又因为这组数据的方差等于1，所以
[(a1－a4)2＋(a2－a4)2＋(a3－a4)2＋(a4－a4)2＋(a5－a4)2＋(a6－a4)2＋(a7－a4)2]
＝＝1，即4d2＝1，解得d＝±．
B．
详解：求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是20，所以频率为＝0.45．
C．
详解：寿命在100～300 h的电子元件的频率为×100＝＝；
寿命在300～600 h的电子元件的频率为×100＝．则它们的电子元件数量之比为∶＝．
用样本的频率分布估计总体的分布与数字特征
主讲教师：熊丹 北京五中数学教师
开篇语
教科书中介绍了简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种抽样方法，通过学习要弄清各自的特点和适用范围，然后在实践中酌情选用．
对收集到的数据如何分析、估计，才能从中提取合理、有用的信息，帮助我们作出决策，要注意不应把统计处理成数字运算和画图表，重在掌握统计的思想方法．
用样本估计总体是最基本的统计方法，通过学习要弄清样本平均数、方差、标准差、频率分布表、频率分布直方图、折线图等基本概念是怎样来反映统计数据的，通过解决具体问题的实践，领会如何运用这些方法去解决实际问题，要通过系统的数据处理过程，体会统计思维与确定性思维的差异．
重难点易错点解析
题一：对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为( )
A．200 B．100 C．40 D．20
题二：甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 ②甲同学的平均分比乙同学高
③甲同学的平均分比乙同学低 ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差
上面说法正确的是( )
A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③
金题精讲
题一：一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2, 3.6 B．57.2, 56.4 C．62.8, 63.6 D．62.8, 3.6
题二：为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图．由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64 B．54 C．48 D．27
题三：根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．
据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为( )
A．2160 B．2880 C．4320 D．8640
题四：为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 ．（用“”连接）
题五：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于_____．
题六：如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32
用样本的频率分布估计总体的分布与数字特征
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：B 题二：A
金题精讲
题一：D 题二：B 题三：C
题四： 题五：60 题六：C
