专题 离散型随机变量的期望与方差 课后练习
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(1)若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位：枝，)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润(单位：元)，求的分布列，数学期望及方差；
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
p
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
(II)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
(Ⅲ)在(I)、(II)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：(1)产品的“性价比”= ；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性.
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
169
178
166
175
180
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(I)假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(II)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据的样本方差，其中为样本平均数．
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
(Ⅰ)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(Ⅱ)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望.
(注：方差，其中为的平均数)
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.
已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)等于( )
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1
已知三个正态分布密度函数φi(x)＝ (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
专题 离散型随机变量的期望与方差
课后练习参考答案
(1).
(2)(i) 的分布列为
期望是76，方差是44.
(ii)：应购进17枝.
详解：(1)当时，.
当时，，
得：.
(2)(i)可取，，，
.
的分布列为
.
.
(ii)购进17枝时，当天的利润为
， 得：应购进17枝.
(I)；(II)4.8；
(Ⅲ)乙厂的产品更具有可购买性.
详解：(I)因为＝6，所以即，
又由的概率分布列得即.
由解得
(II)由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可
得等级系数的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以，
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(Ⅲ)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为所以乙厂的产品更具可购买性.
(1)35(件)；
(2)14(件)；
(3)分布列为
0
1
2
P
数学期望.
详解： (1)由题意知，抽取比例为，则乙厂生产的产品数量为(件)；
(2)由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的数量为(件)；
(3)由(2)知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.的取值为0，1，2.
P(=0)=， P(=1)=， P(=2)=.
从而分布列为
0
1
2
P
数学期望E()=.
(Ⅰ) 的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望为2.
(Ⅱ)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：400，57.25;
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为412，56。
应该选择种植品种乙.
详解：
(Ⅰ)可能的取值为且
，
，
，
，
.
即的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望为
+．
(Ⅱ)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
，
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
，
.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
(Ⅰ)平均数为；方差为.
(Ⅱ)分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
期望为19.
详解：
(Ⅰ)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，所以平均数为；
方差为.
(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机抽取一名同学，共有种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)=， 同理可得 .所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
=19.
(1)ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75.
(2) 或
详解：(1)ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
2.
详解：每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2.
C.
详解：因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
B.
详解：计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.
s1＝
＝.同理，s2＝，s3＝，
∴s2>s1>s3，故选B.
D.
详解：正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.
离散型随机变量的期望与方差
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间x(年)
0＜x≤1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
x＞2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
题二：近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值，并求此时s2的值．
金题精讲
题一：在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下：
(1)计算样本的平均成绩及方差；
(2)现从这10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为X，求随机变量的分布列和均值．
题二：为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________.
题三：下图是1，2，两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设1， 2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么( )
A. ，s1>s2 B. ，s1C. ，s1s2
离散型随机变量的期望与方差
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：(1) 0.1 (2) 略 (3) 应生产甲品牌的轿车
题二：(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) a=600，b=0，c=0， s2=80000.
金题精讲
题一：(1)平均成绩为80，方差为175 (2) 分布列：略；均值为
题二：10 题三：C
