专题 离散型随机变量及其分布列(二) 课后练习
主讲教师：王春辉 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)＝( )
A．C10·2 B．C92·
C．C9·2 D．C9·2
设不等式确定的平面区域为U，确定的平面区域为V．
(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
(Ⅱ)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及均值．
张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
(Ⅰ)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
(Ⅱ)若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生
从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
(Ⅰ)若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
(Ⅱ)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围.
盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．
(Ⅰ)若某人摸一次球，求他获奖励的概率；
(Ⅱ)若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获奖励的人数，
(i)求
(ii)求这10人所得钱数的期望．(结果用分数表示，参考数据：)
“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(Ⅰ)求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(Ⅱ)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量，求的分布列及其期望．
、是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用，另2只服用，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用有效的小白鼠的只数比服用有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用有效的概率为，服用有效的概率为.
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；
(Ⅱ)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望.
专题 离散型随机变量及其分布列(二)
课后练习参考答案
B.
详解：
P(ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P(ξ＝12)＝C·92×
(Ⅰ)
(Ⅱ)的分布列为：
0
1
2
3
∴的数学期望：
详解： (Ⅰ)依题可知平面区域的整点为
共有13个，
平面区域的整点为共有5个， ∴
(Ⅱ)依题可得：平面区域的面积为，平面区域的面积为：，
在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为，
易知：的可能取值为，且
∴的分布列为：
0
1
2
3
∴的数学期望：
(或者： ，故)
(1)
(2)ξ的分布列是
ξ的均值是.
详解：
(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
.
(2)由题意，可得ξ可能的取值为0，2，4，6，8(单位：min)．
事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0，1，2，3，4)，
∴P(ξ＝2k)＝Ck4－k(k＝0，1，2，3，4)，
∴ξ的分布列是
∴ξ的均值是E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
(Ⅰ)．(Ⅱ)．
(Ⅲ)选择L2路线上班最好．
详解：(Ⅰ)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，
则．
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
(Ⅱ)依题意，的可能取值为0，1，2．
，， ．
故随机变量的分布列为：
0
1
2
P
．
(Ⅲ)设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，
所以． 因为，所以选择L2路线上班最好．
(Ⅰ)
(Ⅱ).
详解：(Ⅰ)
(Ⅱ)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率
而，所以，由知，解得.
(Ⅰ) . (Ⅱ) ..
详解：
(Ⅰ)
(Ⅱ)(i)由题意知，则
(ii)设为在一局中的输赢，则，
所以，即这10人所得钱数的期望为.
(Ⅰ)．
(Ⅱ)的分布列如下：
0
1
2
3
．
详解：(Ⅰ)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：(石头，石头)；(石头，剪刀)；(石头，布)；(剪刀，石头)；(剪刀，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)；(布，剪刀)；(布，布)．共有9个基本事件，
玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：(石头，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)，共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率．
(Ⅱ)的可能取值分别为0，1，2，3．
，，
，．
的分布列如下：
0
1
2
3
(或：，)．
(Ⅰ)
(Ⅱ)(的分布列为
(
`0
1
2
3
数学期望.
详解：(Ⅰ)设表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，i=0，1，2；
表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，i=0，1，2
依题意有，，，，
所求的概率为
(Ⅱ)(的可能取值为0，1，2，3，且 (~ B(3，)，
∴ (的分布列为
(
`0
1
2
3
所以数学期望.
离散型随机变量及其分布列(二)
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
(Ⅱ) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.
题二：一名学生骑车上学要经过6个交通路口，每个路口遇到红灯是独立事件，且概率均为，
(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列.
(2)设Y为这名学生第一次遇到红灯时已通过的路口数，求Y的分布列.
金题精讲
题一：某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q (p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：
ξ
0
1
2
3
p
a
b
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求p，q的值；
(Ⅲ)求数学期望Eξ.
题二：在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
(2)若投篮命中一次得1分，否则得0分，用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．
离散型随机变量及其分布列(二)
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一： (Ⅰ)
(Ⅱ) X的分布列
X
0
1
2
3
4
P
EX=
题二：(1) X的分布列
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2) Y的分布列
Y
0
1
2
3
4
5
6
P
金题精讲
题一：(Ⅰ) (Ⅱ) p=；q= (Ⅲ) Eξ=
题二：(1)
(2) ξ的分布列
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=.
