专题 离散型随机变量及其分布列(三) 课后练习
主讲教师：王春辉 数学高级教师
如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.
(注：方差，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
频数
B配方的频数分布表
指标值分组
频数
(Ⅰ)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(Ⅱ)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
p
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：(1)产品的“性价比”=；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性.
如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
1020
2030
3040
4050
5060
的频率
的频率
0
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(Ⅰ)的选择方案，求X的分布列和数学期望.
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间(分)
1
2
3
4
5
频 率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.
(Ⅱ)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.
某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(1)若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位：枝，)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润(单位：元)，求的分布列，数学期望及方差；
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0，1，0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0).
(1)求V=0的概率.
(2)求V的分布列及数学期望.
一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2.
(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
(2)求ξ的分布列．
专题 离散型随机变量及其分布列(三)
课后练习参考答案
6.8
详解：
，
.
(Ⅰ)A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3，B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
(Ⅱ)
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的分布列为
X的数学期望2.68
详解：
(Ⅰ)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,0.54, 0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
(Ⅰ) (Ⅱ)4.8 (Ⅲ)乙厂的产品更具可购买性.
详解：(Ⅰ)因为＝6,所以即，
又由的概率分布列得即.
由解得
(Ⅱ)由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以，
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(Ⅲ)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为所以乙厂的产品更具可购买性.
(Ⅰ)甲应选择路径, 乙应选择路径．
(Ⅱ)X的分布列为
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
数学期望为.
详解：(Ⅰ)表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
(Ⅱ)用A，B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
由(Ⅰ)知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列为
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
∴．
(Ⅰ)0.22.
(Ⅱ)
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
期望是0.51.
详解： 设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
(Ⅰ)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以
.
(Ⅱ)X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以；
对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，
所以
；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
∴.
(1).
(2)的分布列为
期望76， 方差44.
(ii)应购进17枝.
详解：
(1)当时，.
当时，，
得：.
(2)(i)可取，，，
.
的分布列为
.
.
(ii)购进17枝时，当天的利润为
y=(14×5－3×5)×0.1+(15×5－2×5)×0. 2+(16×5－1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4， 76.4>76得：应购进17枝.
(1)
(2)的分布列为
V
P
期望
详解： (1)从6个点中随机选取3个点总共有种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有种，因此的概率为
(2)V的所有可能取值为，因此的分布列为
V
P
由V的分布列可得
(1) ；.
(2)ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
4
5
8
P
详解：(1)掷出点数x可能是：1,2,3,4.则x－3分别得：－2，－1,0,1.于是(x－3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.
当x1＝1且x2＝1时，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最大值8，P(ξ＝8)＝×＝；
当x1＝3且x2＝3时，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最小值0，
P(ξ＝0)＝×＝.
(2)由(1)知ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.
P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝；
当ξ＝1时，(x1，x2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)．即P(ξ＝1)＝；
当ξ＝2时，(x1，x2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)．即P(ξ＝2)＝；
当ξ＝4时，(x1，x2)的所有取值为(1,3)、(3,1)．
即P(ξ＝2)＝；
当ξ＝5时，(x1，x2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1)．即P(ξ＝2)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
4
5
8
P
离散型随机变量及其分布列(三)
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
(Ⅰ)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(Ⅱ)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望.
题二：下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.
金题精讲
题一：某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
(Ⅰ)求当天商品不进货的概率；
(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.
题二：某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.
根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近”的概率；
(II)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
题三：经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t该产品获利润500元，未售出的产品，每t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.
经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X (单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.
(Ⅰ)将T表示为X的函数；
(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若X∈[100，110)，则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110)的概率)，求利润T的数学期望.
离散型随机变量及其分布列(三)
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：(Ⅰ) 平均数为，方差为
(Ⅱ) Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
EY=19.
题二：(Ⅰ)
(Ⅱ) X的分布列为
X
0
1
2
P
EX=
金题精讲
题一：(Ⅰ) 0.3
(Ⅱ) X的分布列：
X
2
3
P
数学期望：
题二：(I)
(II) Y的分布列
Y
51
48
45
42
P
数学期望：46
题三：(Ⅰ) (Ⅱ) 0.7 (Ⅲ) T的数学期望为59400
