专题 离散型随机变量及其分布列(一) 课后练习
主讲教师：王春辉一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是( )
A. B.
C. D.
已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列.
(2)求X的数学期望E(X).
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm)：若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
169
178
166
175
180
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).
从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数ξ的概率分布列．
一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．
(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．
甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；
(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；
(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
专题 离散型随机变量及其分布列(一)
课后练习参考答案
C.
详解：
{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，
故P(X＝4)＝＝ .
(1)X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2).
详解：(1)X=3，4，5，6，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2)X的数学期望E(X)=.
(Ⅰ)．
(Ⅱ)的分布列如下：
期望为1.
详解： (Ⅰ)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，
则 ．……5分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是．
(Ⅱ)依题意，的取值为．
， ，
， ．
因此，的分布列如下：
．
(1)35(件)；(2)14(件)；
(3)分布列为
0
1
2
P
数学期望E()=.
详解：(1)由题意知，抽取比例为，则乙厂生产的产品数量为(件)；
(2)由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的数量为(件)；
(3)由(2)知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.的取值为0，1，2.
P(=0)=， P(=1)=， P(=2)=.
从而分布列为
0
1
2
P
数学期望E()=.
(1) .
(2)
详解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝.
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列为
详解：得分ξ的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(ξ＝－3)＝＝；
ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(ξ＝－2)＝＝；
ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，
∴P(ξ＝－1)＝＝；
ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(ξ＝2)＝＝；
ξ＝3时表示取得3个白球，
∴P(ξ＝3)＝＝；
∴所求概率分布列为
(1) 0.9.
(2)
ξ
0
1
2
3
p
0.729
0.243
0.027
0.001
详解：
(1)设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，
i＝1，2.
Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，
i＝1，2.
C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．
则C＝A1·A2＋A1·B2＋B1·A2.
由已知P(Ai)＝0.9，P(Bi)＝0.05 i＝1， 2.
所以，所求的概率为
P(C)＝P(A1·A2)＋P(A1·B2)＋P(B1·A2)
＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.
(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为
p＝P()＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B(3，0.1)，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
0.729
0.243
0.027
0.001
(1)
ξ
0
1
2
3
P
(2)
详解：
(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
法一：因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P＝P·P
＝＝，
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P＝P＋P＋P
＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
.
详解：由已知ξ的取值为7，8，9，10，
∵P(ξ＝7)＝＝，
P (ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列为
ξ
7
8
9
10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
0
1
2
3
(Ⅲ) .
详解： (Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为
事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
(Ⅱ) 由题可知可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
0
1
2
3
故的分布列为
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为
事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，.
离散型随机变量及其分布列(一)
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：学校游园活动有这样一个游戏项目：箱子里装有3个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从箱子里随机摸出3个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(Ⅰ)求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；
(Ⅱ)求在1次游戏中获奖的概率.
题二：某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．
金题精讲
题一：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(Ⅰ)求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；
(Ⅱ)求在1次游戏中获奖的概率.
题二：现在热播的《我是歌手》节目，各歌手采用抽签的方式随机确定演唱顺序(序号为1，2，…，7).
(1)歌手甲的演唱序号是1的概率；
(2)求歌手甲、乙的演唱序号至少有一个为奇数的概率;
(3)求甲、乙之间演唱的歌手个数X的分布列与期望.
题三：一个盒子里装有7张卡片， 其中有红色卡片4张， 编号分别为1， 2， 3， 4； 白色卡片3张， 编号分别为2， 3， 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X， 求随机变量X的分布列
离散型随机变量及其分布列(一)
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：(Ⅰ) (Ⅱ)
题二：(1) 0.018
(2) ξ的分布列：
ξ
0
1
2
P
金题精讲
题一：(Ⅰ) (Ⅱ)
题二：(1) (2)
(3) X的分布列：
X
0
1
2
3
4
5
P
题三：(1)
(Ⅱ) X的分布列
X
1
2
3
4
P
