专题 模块综合问题选讲(一) 课后练习
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，则共有_______种不同的排列方法.
按下列要求分配6本不同的书，平均分成三份，每份2本，共有多少种不同的分配方式？
某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为( )
A．720 B．520
C．600 D．360
现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角记为α，则α∈的概率为( )
A. B.
C. D.
先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2x y＝1的概率为( )
A. B.
C. D.
已知x，y满足，(x∈Z，y∈Z)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为( )
A．45 B．36
C．30 D．27
已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
若在区间[－5，5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为( )
A. B.
C. D.
在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( )
A. B.
C. D.
某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )
A．22种 B．24种
C．25种 D．36种
形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1， 2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．
某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？
从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
专题 模块综合问题选讲(一)
课后练习参考答案
840.
详解： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此＝N×，∴N＝＝840(种)．
15.
详解：先分三组，则应是种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有种情况，而这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
C.
详解： 根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有＝480种；若甲、乙2人都参加，共有＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600.
C.
详解：从16张不同的卡片中任取3张，共有＝＝560种，其中有两张红色的有种，其中三张卡片颜色相同的有×4种，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为－－×4＝472.
B
详解：
cos
＝，
∵α∈，∴<<1， ∴n又满足n故所求概率为P＝＝.
C.
详解：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为＝，故选C.
A.
详解： 如图所示，为x，y满足的区域．
其中整数点(x，y)共有8个，从中任取3个有＝56种取法．
其中三点共线的有1＋＝11.
故可作不同的圆的个数为45.
.
详解：设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.
Ω＝.
B＝.
则P(B)＝＝.
B.
详解： 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤ ，
解得－1≤a≤3.又a∈[－5，5]，故所求概率为＝.
C
详解：要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，
即(a＋2b)(a－2b)<0.
∴a，b∈[0，1]， a＋2b>0，
∴a－2b<0.
作出的可行域，易得该函数无零点的概率
P＝＝.
C.
详解： 设抛掷三次骰子的点数分别为a，b，c，根据分析，若a＝1，则b＋c＝11，只能是(5，6)，(6，5)，2种情况；若a＝2，则b＋c＝10，只能是(4，6)，(5，5)，(6，4)，3种情况；若a＝3，则b＋c＝9，只能是(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，4种情况；若a＝4，则b＋c＝8，只能是(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，5种情况；若a＝5，则b＋c＝7，只能是(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，6种情况；若a＝6，则b＋c＝6，只能是(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种可能．
16.
详解：由题意可得，十位和千位只能是4，5或者3，5；若十位和千位排4，5，则其他位置任意排1，2，3，则这样的数有＝12(个)；若十位和千位排5，3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1，2在其余位置上任意排列，则这样的数有＝4(个)，综上，共有16个．
60.
详解： 可先分组再分配，根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有种方案．由分类加法计数原理可知共有＋＝60种方案．
590.
详解：直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为＋＋＋＋＋＝590.
模块综合问题选讲(一)
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
金题精讲
题一：将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_____种.(用数字作答)
题二：某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有( )
A．10种 B．12种 C．18种 D．36种
题三：从n个正整数n=1， 2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.
题四：将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．
题五：在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x+1|－|x－2|≥1成立的概率为______.
题六：将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是( )
A. B. C. D.
题七：现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )
A．232 B．252 C．472 D．484
模块综合问题选讲(一)
讲义参考答案
金题精讲
题一：480 题二：C 题三：8 题四： 题五： 题六：B 题七：C
专题 模块综合问题选讲(二) 课后练习
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )
A. B.
C. D.
高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( )
A. B.
C. D.
已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列.
(2)求X的数学期望E(X).
一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，求：
(1)n的值；
(2)X的分布列．
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)．
(1)若比赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？
(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？
(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．
高二下学期，学校计划为同学们提供A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．
(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；
(2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
(3)求3位同学中，选择选修课程A的人数ξ的分布列与数学期望．
某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．
(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
专题 模块综合问题选讲(二)
课后练习参考答案
D.
详解： 至少一次正面朝上的对立事件的概率为，故P＝1－＝.
D.
详解：目标被击中的对立事件为两人都击不中，而两人都击不中的概率为×，所以所求事件的概率为1－×＝.
(1)分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2)期望为.
详解： (1)X=3，4，5，6，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2)X的数学期望E(X)=.
(1) .
(2)分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望.
详解：
(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
(1) n＝7.
(2)分布列为
X
1
2
3
4
P
详解： (1)由P(X＝2)＝知＝，
∴90n＝7(n＋2)(n＋3)．
∴n＝7.
(2)X＝1，2，3，4，
且P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
P
(1) .
(2)分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
详解：(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝＝＝
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0，10，20，50，60(元)，且P(X＝0)＝＝；
P(X＝10)＝＝；
P(X＝20)＝＝；
P(X＝50)＝＝；
P(X＝60)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
(1) . (2) .
(3)ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
P
p3
3p3(1－p)
6p3(1－p)2
E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．
详解：(1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A，
则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]
＝1－＝1－＝.
∴A队至多获胜4局的概率为.
(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝p3(1－p)3.
当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.
当0当且仅当p＝1－p，即p＝时取等号．
故A队恰好获胜3局的概率的最大值是.
(3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数ξ＝3，4，5.
P(ξ＝3)＝p3，
P(ξ＝4)＝p3(1－p)＝3p3(1－p)
P(ξ＝5)＝p3(1－p)2＝6p3(1－p)2，
所以ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
P
p3
3p3(1－p)
6p3(1－p)2
E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．
(1) . (2) .
(3)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝.
详解：(1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，则P(M)＝＝.
(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，
则P(N)＝＝.
(3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(1)分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2) Y＝2 300－100X，数学期望为2 100元．
详解：
(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B.
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
其分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)∵X～B(4，)，∴E(X)＝4×＝2.
又由题意可知Y＝2 300－100X，
∴E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100(元)．
即所求变量Y的数学期望为2 100元．
(1) .
(2)分布列为
Y
51
48
45
42
P
数学期望为46.
详解：
(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随选取一株的不同结果有＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列为
Y
51
48
45
42
P
所求的数学期望为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
模块综合问题选讲(二)
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
金题精讲
题一：甲乙两运动员进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且每局比赛之间不互相影响.如果可以采取“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利？
题二：某校设计了一次实验考察，从6道备选题中抽取3道，至少正确完成其中两道便可通过.已知6道题中甲有4题能正确完成，2题不能完成；乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别写出甲，乙正确完成题数的分布列；
(2)谁通过考察的概率较大？
题三：罐中有5个红球，3个白球，从中每次任取一球后放入一个红球，直到取到红球为止. 用ξ表示抽取次数，求ξ的分布列，并计算P(1<ξ≤3).
题四：现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
题五：本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分收费标准为2元每小时(不足1小时的部分按1小时计算).有甲乙两人互相独立来该租车点租车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.
(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ.
模块综合问题选讲(二)
讲义参考答案
金题精讲
题一：三局两胜甲为0.648，五局三胜甲为0.68256，“五局三胜”对甲更有利
题二：(1)略 (2)甲
题三：分布列略，P(1<ξ≤3)=
题四：(1) (2) (3)分布列略，Eξ=
题五：(Ⅰ) (Ⅱ) 分布列略，Eξ=.
