排 列
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？
(1)甲不站排头，乙不能站排尾；
(2)甲、乙都不站排头和排尾；
(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；
(4)甲、乙都不与丙相邻．
从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有( )
A．35组 B．42组 C．105组 D．210组
从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)
用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )
A．252个 B．300个
C．324个 D．228个
用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( )
A．120 B．72
C．48 D．36
将5,6,7,8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为( )
A． 24 B．18 C．12 D．6
有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片的数字之和为5，则不同的排法共有________种．
从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？
(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；
(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；
(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；
(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；
(5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；
(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.
将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有( )
A．10种 B．12种 C．15种 D．16种
2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )
A．1 440种 B．1 360种
C．1 282种 D．1 128种
排 列
课后练习参考答案
(1) 504(种) (2) 288(种) (3) 144(种) (4) 288(种)．
详解：(1)分两类：甲站排尾，有A种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有AAA种．由分类计数原理，共有A＋AAA＝504(种)．
(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A种；再站其余4人，有A种．由分步计数原理，共有A·A＝288(种)．
(3)分两步：先站其余3人，有A种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A种．由分步计数原理，共有A·A＝144(种)．
(4)分三类：丙站首位，有AA种；丙站末位，有AA种；丙站中间四个位置中的一个，有AAA种．由分类计数原理，共有AA+ AA+ AAA＝288(种)．
A
详解： 不同的数组有C＝35组．
C.
详解： lg a－lg b＝lg ，lg 有多少个不同的值，即为不同值的个数．共有A－2＝20－2＝18个不同值．
48
详解：
解析 ①只有1名老队员的排法有C·C·A＝36种．
②有2名老队员的排法有C·C·C·A＝12种；
所以共48种．
B.
详解：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.
B.
详解：(1)若仅仅含有数字0，则选法是CC，可以组成四位数CCA＝12×6＝72个；
(2)若仅仅含有数字5，则选法是CC，可以组成四位数CCA＝18×6＝108个；
(3)若既含数字0，又含数字5，选法是CC，排法是若0在个位，有A＝6种，若5在个位，有2×A＝4种，故可以组成四位数CC(6＋4)＝120个．
根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．
D.
详解：
符合题意的五位数有CAA＝3×3×2×2＝36.
D.
详解：完成这件事情分成两步即可：第一步，从5,6,7,8四个数字中选两排在第一，二行的末尾并且小数排在第一行，大数排在第二行，共有C＝6种；第二步，从5,6,7,8四个数字中余下两个数字选两排在第一，二列的末尾并且小数排在第一列，大数排在第二列，共有C种，于是这种排列的方法共有6种，故选D.
1248.
详解：中间行两张卡片为1,4或2,3，且另两行不可同时出现这两组数字．用间接法，①先写出中间行为(1,4)或(2,3)，C·A·A；②去掉两行同时出现1，4或2,3，(AC)2A，所以CAA－(AC)2A＝1 440－192＝1 248.
(1) 100 800个. (2) 14 400个．(3) 5 760个．
详解：
(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800个．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400个．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760个．
(1) 60. (2) 360. (3) 15. (4) 90. (5) 45. (6) 180.
详解：(1)即CCC＝60.
(2)即CCCA＝60×6＝360.
(3)即＝15.
(4)即CCC＝90.
(5)即·＝45.
(6)CCCC＝180.
480.
详解：
按C的位置分类计算．
①当C在第一或第六位时，有2A＝240(种)排法；
②当C在第二或第五位时，有2AA＝144(种)排法；
③当C在第三或第四位时，有2 (AA＋AA)＝96(种)排法．
所以共有480种
C.
详解：依题意，可将所有的投放方案分成三类：(1)使用甲原料，有C×1＝3种投放方案；(2)使用乙原料，有6种投放方案；(3)甲、乙原料都不使用，有A＝6种投放方案，所以共有3＋6＋6＝15种投放方案，故选C.
D.
详解：采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A·A＝1 440种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C·A·A·A＝192种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A＝120种．
则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．
排列
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：已知有0，1，2，3，4共5个数字.
(1)由这5个数字可以组成多少个银行存折的三位密码？
(2)由这5个数字可以组成多少个三位数？
(3)由这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
题二：从a,b,c,d,e中取出4个元素的排列中，a不在首位的排列有多少个？
金题精讲
题一：用1，2，3，4这些数字排成必须含有重复数字的四位数，共有多少个？
题二：用0、1、2、3、4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有1个偶数夹在2个奇数之间的五位数共有__________个．
题三：已知有0，1，2，3，4共5个数字.
(1)由这5个数字可以组成多少个比300小的三位数？
(2)由这5个数字可以组成多少个比300小的自然数？
(3)将由这5个数字组成的无重复数字的三位数从小到大排列，第21个数是多少？
题四：4名男生，3名女生站成一排，求满足下列条件的不同的排法种数：
(1) 三个女生必须相邻；
(2) 三个女生互不相邻；
(3) 排成两排，前排3个人，后排4个人；
(4) 排成两排，女生站在前排，男生站在后排.
题五：4名男生，3名女生站成一排，求满足下列条件的不同的排法种数：
甲与乙、丙不相邻.
排列
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一：(1) 125 (2) 100 (3) 48 题二： 96
金题精讲
题一：232 题二：28 题三：(1) 50 (2) 75 (3) 234
题四： (1) 720 (2) 1440 (3) 或 (4) 144 题五：2400
排列与组合综合(二)课后练习
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
求方程x+y+z=10的正整数解的个数.
6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？
有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？
2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) 种
A．60 B．48
C．42 D．36
某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) 种
A． B． C． D．
将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )
A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
排列与组合综合(二)
课后练习参考答案
详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法.
36.
详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板)，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值， 故解的个数为=36(个).
种.
详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有种不同排法．
C.
详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共＝72种排法，故选C.
30.
详解：记两个小品节目分别为A、B.先排A节目.根据A节目前后的歌舞节目数目
考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有种方法.这一步完成后就有5个节目了.
再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有种方法.故由分步计数原理知，方
法共有(种).
B.
详解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有种不同排法)， 剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙； 则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间， 此时就不能满足男生甲不在两端的要求) 此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左) 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， ∴共有12×4=48种不同排法． 故选B．
120.
详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有种，最后，安排其他两
辆车共有种方法，故不同的调度方法为＝120种．
C.
详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法; A与戊机形成三个“空”，把丙、
丁两机插入空中有种方法;考虑A与戊机的排法有种方法.由乘法原理可知共有种不同的着舰方法.故应选C．
96.
详解：按照要求要把序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法数是4＝96.
B.
详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，
先从3个女生中选两位，有种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有种不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中.有种不同的排法，共有种不同的排法.然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉.
甲可能站左端，也可能是右端，有种不同的方法，然后其它两个男生排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有种不同的排法.共种不同的排法， 故总的排法为=288种不同的方法.
