专题 排列与组合综合(三) 课后练习
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
(A)72 (B)96 (C) 108 (D)144
一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ( )．
A．8 B．12
C．16 D．24
在平面直角坐标系中，轴正半轴上有5个点，轴正半轴上有3个点，将轴正半轴上这5个点和轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有
(A)30个 (B)20个 (C)35个 (D)15个
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)13种
有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于________．(用数字作答)
方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )
A．60条 B．62条
C．71条 D．80条
集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素满足，则这样的集合的个数为＿＿＿＿．
满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则( )
(A) (B) (C) (D)
在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如右图所示，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有＿＿＿种栽种方案．
回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
专题 排列与组合综合(三)
课后练习参考答案
C.
详解：
先选一个偶数字排个位，有3种选法.
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，2＝24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
D.
详解：
两名女生站一起有A 种站法，她们与两个男生站一起共有AA种站法，老师站在他
们的中间有AAC＝24种站法，故应选D.
A
详解：设想轴上任意两个点和轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有个，于是最多有30个交点．
B
详解：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为a，b，c，d，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿b，c，d之一．当甲拿b卡片时，其余三人有三种拿法，分别为badc，bcda，bdac．类似地，当甲拿c或d时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法．
4020.
详解：若无字母A，则有种；若含有一个字母A，则有种；若含有两个字母A，则有种；若含有三个字母A，则有种，综上所述，共有＝4 020(种)．
B.
详解：当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线，
若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8条抛物线；
当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线，
若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，
c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，
c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，
c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．
所以共有3＋2＋2＋3＋3＝13条抛物线．
同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39条．
由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62条．
35
详解： 其实就是从1到10这十个自然数中取出不相邻的四个数，共有多少方法的问题．因此这样的集合共有个．
B.
详解： 因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法；当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法；当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
A.
详解：
①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A＝12个；
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A＋A＝18个；
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
B
详解：
基本事件：.其中面积为2的平行四边形的个数；其中面积为4的平行四边形的为；
m=3+2=5故.
732
详解： 共分三类：考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法． 故答案为：732
(1)90 (2)9×10n
详解：(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个．
(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个．
排列与组合综合(三)——极端原理、递推计数
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
金题精讲
题一：将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai(i=1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
A．18 B．30 C．36 D．48
题二： 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )
A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4
题三：已知集合A={x|x= a0+ a1×3+a2×32+a3×33}，其中ak∈{0，1，2}(k=0，1，2，3)，且a3≠0.
则A中所有元素之和等于( )
A. 3240 B. 3120 C. 2997 D. 2889
题四：有限集合P中元素的个数记作card(P).已知card(M)=10，AM，BM，AB=，且card(A)= 2，card(B)=3.若集合X满足AX M，则集合X的个数是_____；若集合Y满足Y M，且AY，BY，则集合Y的个数是_____. (用数字作答)
题五：从集合{－1，－2，－3，－4，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则这样的子集的个数为 .
题六：给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有__________种. (结果用数值表示)
排列与组合综合(三)——极端原理、递推计数
讲义参考答案
金题精讲
题一：B 题二：D 题三：D 题四：256，672 题五：25 题六：21，43
排列与组合综合(二)课后练习
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
求方程x+y+z=10的正整数解的个数.
6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？
有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？
2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) 种
A．60 B．48
C．42 D．36
某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) 种
A． B． C． D．
将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )
A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
排列与组合综合(二)
课后练习参考答案
详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法.
36.
详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板)，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值， 故解的个数为=36(个).
种.
详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有种不同排法．
C.
详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共＝72种排法，故选C.
30.
详解：记两个小品节目分别为A、B.先排A节目.根据A节目前后的歌舞节目数目
考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有种方法.这一步完成后就有5个节目了.
再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有种方法.故由分步计数原理知，方
法共有(种).
B.
详解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有种不同排法)， 剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙； 则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间， 此时就不能满足男生甲不在两端的要求) 此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左) 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， ∴共有12×4=48种不同排法． 故选B．
120.
详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有种，最后，安排其他两
辆车共有种方法，故不同的调度方法为＝120种．
C.
详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法; A与戊机形成三个“空”，把丙、
丁两机插入空中有种方法;考虑A与戊机的排法有种方法.由乘法原理可知共有种不同的着舰方法.故应选C．
96.
详解：按照要求要把序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法数是4＝96.
B.
详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，
先从3个女生中选两位，有种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有种不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中.有种不同的排法，共有种不同的排法.然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉.
甲可能站左端，也可能是右端，有种不同的方法，然后其它两个男生排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有种不同的排法.共种不同的排法， 故总的排法为=288种不同的方法.
排列与组合综合(二) ——挡板法和插空法
主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师
金题精讲
题一：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？
(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？
题二：某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；
如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.
题三：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．共有多少种排法？
题四：15个相同的球，按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不同的放法?
(1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；
(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；
(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空；
(4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；
(5)任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子．
题五：某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A． 4种 B．10种 C．18种 D．20种
排列与组合综合(二) ——挡板法和插空法
讲义参考答案
金题精讲
题一：(1) 150 (2) 6 题二：， 题三：6720种
题四：(1) 364 (2) 56 (3) 816 (4) 240 (5) 210 题五：B
