安徽省芜湖市名校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．（2023高二下·博爱期末）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意，B={x∣x2-4x+3=0}={1，3}，∴A∪B={-1，1，2，3}，∴ {-2，0}.
故答案为：D．
【分析】根据题意解方程得出集合B，再根据集合的运算求解即可.
2．（2023高二上·芜湖开学考）正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解： 正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长， 可得正四棱台的斜高为，结合棱台的侧面积公公式得
故答案为：.
【分析】先求出正四棱台的斜高，再代入侧面积公式，计算求解即可.
3．（2023高二上·芜湖开学考）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，即，由已知，可得.
故答案为：C.
【分析】将两边平方，结合已知条件可得.
4．（2023高二上·芜湖开学考）安师大附中的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则安师大附中既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占本校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：设只喜欢游泳的为x，只喜欢足球的为y，既喜欢游泳又喜欢足球的为z，根据题意可得，解得，即安师大附中既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占本校学生总数的比例.
故答案为：C.
【分析】设只喜欢游泳的为x，只喜欢足球的为y，既喜欢游泳又喜欢足球的为z，根据已知条件列式计算即可.
5．（2023高二上·芜湖开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据三角形的诱导公式得，，由余弦函数的二倍角公式可得
故答案为：B.
【分析】根据三角形的诱导公式得，，结合余弦函数的二倍角公式可得.
6．（2023高二上·芜湖开学考）在中，角的对边满足，且，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理
【解析】【解答】解：由题意，根据正弦定理可得， ， 所以，所以，由正弦函数的恒等变换可得，所以，结合余弦的二倍角公式得.
故答案为：C.
【分析】由题意及正弦定理得，结合三角形内角和定理可得，再根据三角函数的恒等变换化简，即可得解.
7．（2023高二上·芜湖开学考）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：易知，即，因，所以，又因为，所以，由，所以，即函数
A、 ，故A错误；
B、当时，函数，所以不是函数的对称轴，故B错误；
C、因为时，，所以函数在上不单调，故C错误；
D、将函数图象向右平移个单位可得，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据图象先求函数的解析式，再根据函数性质逐项判断即可.
8．（2023高二上·芜湖开学考）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知三棱锥的外接球的球心为的中点，的中点记为，则，且平面，，设外接球球心到平面的距离为，因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质及折后的几何性质得球心的位置，利用等体积转化求点到面的距离，即可求得答案.
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9．（2023高二上·芜湖开学考）已知复数（其中是虚数单位），则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．的共轭复数在复平面上对应点在三象限
C．的虚部是
D．是方程的复数根
【答案】A,B
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A： 已知复数 ，所以，故A正确；
对于B：，在复平面上对应的点，位于第三象限，故B正确；
对于C：，虚部为4，故C错误；
对于D：把代入方程，化简得，所以不是方程的根 ，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据，结合复数的模、共轭复数、虚部的定义即可求解.
10．（2023高二上·芜湖开学考）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选两名同学去参加数学竞赛，则（ ）
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为
B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为
D．两名参赛学生都是男生的概率为
【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从高一（2）班数学兴趣小组的6名同学选2名参加数学竞赛共有种不同的结果：A、恰有一名男生参赛有种不同的结果，所以恰有一名男生参赛的概率为，故A正确；
B、 至少有一名参赛学生是男生 ，分两种情况一名男生和两名男生有种可能，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，故B错误；
C、 至多有一名参赛学生是男生，分没有男生参加和一名男生参加有种可能，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，故C正确；
D、两名参赛学生都是男生有种可能，所以两名参赛学生都是男生的概率为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先计算从高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，共6名同学中选2人的所有可能，再根据选项计算满足条件的可能选法，最后根据古典概型的概率公式计算即可逐项判断.
11．（2023高二上·芜湖开学考）已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（ ）
A．若锐角三角形，则
B．若，则有两解
C．内切圆的半径
D．若，则
【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：A、，因为为锐角三角形，所以，所以，故A错误；
B、根据正弦定理，可得，有两个解，即由两个解，故B正确；
C、的面积为，又，所以，所以，所以，故C正确；
D、根据向量数量积可得，又因为，所以，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断A；根据正弦定理判断B；根据三角形面积和内切圆的关系以及数量积的定义即可判断C；根据数量积的定义以及三角函数即可判断D.
12．（2023高二上·芜湖开学考）在直三棱柱中，，且为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：当点是的中点时，，根据余弦定理可得，所以，，设点到平面的距离为，根据，求得，再根据三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径为，点到平面的距离为，所以过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，故D正确；连接，由可知为正方形，即，又因为，所以平面，即，再由，平面，平面，所以，故A正确；
根据直三棱柱的结构特征，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
设，，其几何意义是点到点的距离之和，其最小值为两点之间的距离即为，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直证明线线垂直；由，利用底面积和高判断体积验证B；转化为点到点的距离之和，即两定点的距离判断C；通过构造直角三角形求得截面的半径，再计算体积即可判断D.
三、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分．）
13．（2023高二上·芜湖开学考）已知随机事件是互斥事件，且，则 ．
【答案】0.6
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解： 由题意是互斥事件 ，所以，已知，结合互斥事件概率加法公式得
故答案为：0.6.
【分析】根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
14．（2023高二上·芜湖开学考）若函数为奇函数，则 ．
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，解得，检验当时，，，，满足题意.
故答案为：1.
【分析】根据奇函数的性质，，解得，再检验即可.
15．（2023高二上·芜湖开学考）若，且，则的最小值等于 ．
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 由，所以，则，当且仅当且时，即时，等号成立.所以 的最小值等于8.
故答案为：8.
【分析】由题意得出，结合基本不等式求解即可.
16．（2023高二上·芜湖开学考）四边形中，点分别是的中点，，点满足，则的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：根据题意，以点为圆心，为直径作圆，因为，所以点在圆上，又因为点满足，所以点也在圆上，故
因为点都在以为圆心，1为半径的圆上，所以，所以的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】根据题意可得点在以点为圆心，为直径的圆上，由积化恒等式可得，再根据平面向量的线性运算化简后求得最大值即可.
四、解答题（本题共5题，其中17，18，19题各8分，第20，21题各10分）
17．（2023高二上·芜湖开学考）已知．
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且垂直，求的值．
【答案】（1）解：，
又与共线，
，即；
（2）解：，
垂直，，则
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算表示和，再根据向量共线列式求解得值即可；
（2）先用坐标表示向量，再根据垂直列式计算即可.
18．（2022高三上·东阳月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）解：因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）求得 ，得到，结合正弦定理，即可求解.
（2）利用余弦定理求得的值，结合面积公式，即可求解.
19．（2023高二上·芜湖开学考）如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明：在正方体中，
因为平面平面，
平面
（2）证明：在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 ，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据题意可证 平面， 进而结合面面垂直的判定定理分析证明.
20．（2023高二上·芜湖开学考）某高校承办了全国大学生运动会志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60百分位数（精确到；
（3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．
【答案】（1）解：因为第三、四、五组得频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
由频率分布直方图可得众数为70，
（2）解：平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（3）解：第四、五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，共10种情况，
其中选出的2人来自同一组的有共6种情况，
故选出的2人来自同一组的概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为0.7以及频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，列式即可求得的值；
（2）根据频率分布直方图的性质计算众数、平均数和百分位数即可；
（3）先根据分层抽样计算每层抽取的人数，再写出5人选2人的所有样本以及满足条件的样本，最后根据古典概型概率公式计算概率即可.
21．（2023高二上·芜湖开学考）如图，在三棱锥中，平面平面为中点．（立体几何证明或求解过程中不可使用向量法）
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小．
【答案】（1）证明：在三棱锥中，因为为中点，且，则，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
而平面，所以．
（2）解：因为是边长为1的等边三角形，
所以，则，
因为平面，
所以为三棱锥的高，设为，
所以，所以，
所以，即有，
所以，作于，作于，连，
则，因为平面，所以平面，
又平面，则，
因为平面，
所以平面，而平面，故，则为二面角的平面角．
又，所以，
在中，，所以，
由知，故，
所以，即，所以，从而，
又因为在中，，所以为等腰直角三角形，
所以，即二面角的大小为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，再由平面平面，利用面面垂直的性质得平面，即可证明；
（2）由为等边三角形，求得其面积，再由平面，设三棱锥的高为，根据三棱锥体积求得高， 最后作于，作于，连， 推出为二面角的平面角，根据已知条件结合，推出为等腰直角三角形，从而求得二面角的平面角大小即可.
1 / 1安徽省芜湖市名校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．（2023高二下·博爱期末）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·芜湖开学考）正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·芜湖开学考）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2023高二上·芜湖开学考）安师大附中的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则安师大附中既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占本校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·芜湖开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·芜湖开学考）在中，角的对边满足，且，则（ ）
A． B． C． D．0
7．（2023高二上·芜湖开学考）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得
8．（2023高二上·芜湖开学考）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9．（2023高二上·芜湖开学考）已知复数（其中是虚数单位），则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．的共轭复数在复平面上对应点在三象限
C．的虚部是
D．是方程的复数根
10．（2023高二上·芜湖开学考）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选两名同学去参加数学竞赛，则（ ）
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为
B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为
D．两名参赛学生都是男生的概率为
11．（2023高二上·芜湖开学考）已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（ ）
A．若锐角三角形，则
B．若，则有两解
C．内切圆的半径
D．若，则
12．（2023高二上·芜湖开学考）在直三棱柱中，，且为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分．）
13．（2023高二上·芜湖开学考）已知随机事件是互斥事件，且，则 ．
14．（2023高二上·芜湖开学考）若函数为奇函数，则 ．
15．（2023高二上·芜湖开学考）若，且，则的最小值等于 ．
16．（2023高二上·芜湖开学考）四边形中，点分别是的中点，，点满足，则的最大值为 ．
四、解答题（本题共5题，其中17，18，19题各8分，第20，21题各10分）
17．（2023高二上·芜湖开学考）已知．
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且垂直，求的值．
18．（2022高三上·东阳月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
19．（2023高二上·芜湖开学考）如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
20．（2023高二上·芜湖开学考）某高校承办了全国大学生运动会志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60百分位数（精确到；
（3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．
21．（2023高二上·芜湖开学考）如图，在三棱锥中，平面平面为中点．（立体几何证明或求解过程中不可使用向量法）
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意，B={x∣x2-4x+3=0}={1，3}，∴A∪B={-1，1，2，3}，∴ {-2，0}.
故答案为：D．
【分析】根据题意解方程得出集合B，再根据集合的运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】解： 正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长， 可得正四棱台的斜高为，结合棱台的侧面积公公式得
故答案为：.
【分析】先求出正四棱台的斜高，再代入侧面积公式，计算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，即，由已知，可得.
故答案为：C.
【分析】将两边平方，结合已知条件可得.
4．【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：设只喜欢游泳的为x，只喜欢足球的为y，既喜欢游泳又喜欢足球的为z，根据题意可得，解得，即安师大附中既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占本校学生总数的比例.
故答案为：C.
【分析】设只喜欢游泳的为x，只喜欢足球的为y，既喜欢游泳又喜欢足球的为z，根据已知条件列式计算即可.
5．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据三角形的诱导公式得，，由余弦函数的二倍角公式可得
故答案为：B.
【分析】根据三角形的诱导公式得，，结合余弦函数的二倍角公式可得.
6．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理
【解析】【解答】解：由题意，根据正弦定理可得， ， 所以，所以，由正弦函数的恒等变换可得，所以，结合余弦的二倍角公式得.
故答案为：C.
【分析】由题意及正弦定理得，结合三角形内角和定理可得，再根据三角函数的恒等变换化简，即可得解.
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：易知，即，因，所以，又因为，所以，由，所以，即函数
A、 ，故A错误；
B、当时，函数，所以不是函数的对称轴，故B错误；
C、因为时，，所以函数在上不单调，故C错误；
D、将函数图象向右平移个单位可得，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据图象先求函数的解析式，再根据函数性质逐项判断即可.
8．【答案】A
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知三棱锥的外接球的球心为的中点，的中点记为，则，且平面，，设外接球球心到平面的距离为，因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质及折后的几何性质得球心的位置，利用等体积转化求点到面的距离，即可求得答案.
9．【答案】A,B
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A： 已知复数 ，所以，故A正确；
对于B：，在复平面上对应的点，位于第三象限，故B正确；
对于C：，虚部为4，故C错误；
对于D：把代入方程，化简得，所以不是方程的根 ，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据，结合复数的模、共轭复数、虚部的定义即可求解.
10．【答案】A,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从高一（2）班数学兴趣小组的6名同学选2名参加数学竞赛共有种不同的结果：A、恰有一名男生参赛有种不同的结果，所以恰有一名男生参赛的概率为，故A正确；
B、 至少有一名参赛学生是男生 ，分两种情况一名男生和两名男生有种可能，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，故B错误；
C、 至多有一名参赛学生是男生，分没有男生参加和一名男生参加有种可能，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，故C正确；
D、两名参赛学生都是男生有种可能，所以两名参赛学生都是男生的概率为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先计算从高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，共6名同学中选2人的所有可能，再根据选项计算满足条件的可能选法，最后根据古典概型的概率公式计算即可逐项判断.
11．【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：A、，因为为锐角三角形，所以，所以，故A错误；
B、根据正弦定理，可得，有两个解，即由两个解，故B正确；
C、的面积为，又，所以，所以，所以，故C正确；
D、根据向量数量积可得，又因为，所以，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断A；根据正弦定理判断B；根据三角形面积和内切圆的关系以及数量积的定义即可判断C；根据数量积的定义以及三角函数即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：当点是的中点时，，根据余弦定理可得，所以，，设点到平面的距离为，根据，求得，再根据三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径为，点到平面的距离为，所以过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，故D正确；连接，由可知为正方形，即，又因为，所以平面，即，再由，平面，平面，所以，故A正确；
根据直三棱柱的结构特征，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
设，，其几何意义是点到点的距离之和，其最小值为两点之间的距离即为，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直证明线线垂直；由，利用底面积和高判断体积验证B；转化为点到点的距离之和，即两定点的距离判断C；通过构造直角三角形求得截面的半径，再计算体积即可判断D.
13．【答案】0.6
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解： 由题意是互斥事件 ，所以，已知，结合互斥事件概率加法公式得
故答案为：0.6.
【分析】根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
14．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，解得，检验当时，，，，满足题意.
故答案为：1.
【分析】根据奇函数的性质，，解得，再检验即可.
15．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 由，所以，则，当且仅当且时，即时，等号成立.所以 的最小值等于8.
故答案为：8.
【分析】由题意得出，结合基本不等式求解即可.
16．【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：根据题意，以点为圆心，为直径作圆，因为，所以点在圆上，又因为点满足，所以点也在圆上，故
因为点都在以为圆心，1为半径的圆上，所以，所以的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】根据题意可得点在以点为圆心，为直径的圆上，由积化恒等式可得，再根据平面向量的线性运算化简后求得最大值即可.
17．【答案】（1）解：，
又与共线，
，即；
（2）解：，
垂直，，则
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算表示和，再根据向量共线列式求解得值即可；
（2）先用坐标表示向量，再根据垂直列式计算即可.
18．【答案】（1）解：由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）解：因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）求得 ，得到，结合正弦定理，即可求解.
（2）利用余弦定理求得的值，结合面积公式，即可求解.
19．【答案】（1）证明：在正方体中，
因为平面平面，
平面
（2）证明：在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 ，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据题意可证 平面， 进而结合面面垂直的判定定理分析证明.
20．【答案】（1）解：因为第三、四、五组得频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
由频率分布直方图可得众数为70，
（2）解：平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（3）解：第四、五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，共10种情况，
其中选出的2人来自同一组的有共6种情况，
故选出的2人来自同一组的概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为0.7以及频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，列式即可求得的值；
（2）根据频率分布直方图的性质计算众数、平均数和百分位数即可；
（3）先根据分层抽样计算每层抽取的人数，再写出5人选2人的所有样本以及满足条件的样本，最后根据古典概型概率公式计算概率即可.
21．【答案】（1）证明：在三棱锥中，因为为中点，且，则，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
而平面，所以．
（2）解：因为是边长为1的等边三角形，
所以，则，
因为平面，
所以为三棱锥的高，设为，
所以，所以，
所以，即有，
所以，作于，作于，连，
则，因为平面，所以平面，
又平面，则，
因为平面，
所以平面，而平面，故，则为二面角的平面角．
又，所以，
在中，，所以，
由知，故，
所以，即，所以，从而，
又因为在中，，所以为等腰直角三角形，
所以，即二面角的大小为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得，再由平面平面，利用面面垂直的性质得平面，即可证明；
（2）由为等边三角形，求得其面积，再由平面，设三棱锥的高为，根据三棱锥体积求得高， 最后作于，作于，连， 推出为二面角的平面角，根据已知条件结合，推出为等腰直角三角形，从而求得二面角的平面角大小即可.
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