河南省焦作市博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二下·博爱期末）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·博爱期末）复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·博爱期末）已知向量，且，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．任意实数
4．（2023高二下·博爱期末）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高二下·博爱期末）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
6．（2023高二下·博爱期末）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
7．（2021·八省联考）已知 且 且 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·博爱期末）已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（2023高二下·博爱期末）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．成绩在内的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
10．（2023高二下·博爱期末）已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．是函数的一个零点
B．函数的图象关于直线对称
C．方程在上有三个解
D．函数在上单调递减
11．（2023高二下·博爱期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线方程是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
12．（2023高二下·博爱期末）已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则（ ）
A．平面
B．
C．平面截球O所得截面圆的周长为
D．球O的表面积为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·抚顺模拟）在的展开式中，含项的系数为 ．
14．（2023高二下·博爱期末）已知函数为定义在R上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为 .
15．（2021高三上·商洛月考）已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为 .
16．（2023高二下·博爱期末）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则的取值范围为 .
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二下·博爱期末）已知数列的前n项和为.
（1）若，，证明：；
（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.
18．（2023高二下·博爱期末）已知数列的前n项和为.
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n.
19．（2023高二下·博爱期末）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
20．（2023高二下·博爱期末）已知双曲线．
（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S，T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
（2）直线与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程．
21．（2023高二下·博爱期末）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
（1）求抛物线C的方程；
（2）记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
22．（2023高二下·博爱期末）已知函数，．
（1）写出函数在的零点个数，并证明；
（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意，B={x∣x2-4x+3=0}={1，3}，∴A∪B={-1，1，2，3}，∴ {-2，0}.
故答案为：D．
【分析】根据题意解方程得出集合B，再根据集合的运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】根据题意，z=(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i+6=8+i，∴z的共轭复数为8-i.
故答案为：B．
【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的感念求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】根据题意，，∵ ，∴，解得m=0.
故答案为：B．
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直数量积为零求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】f(-x)===f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除D，当x=时，f(x)=0，排除B，因为x2+1＞1，所以ln(x2+1)＞0，又因为，所以f(x)＞0，排除C，只有A符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据函数的奇偶性、零点、函数值的大小依次判断即可.
5．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径r，母线l，轴截面顶角θ(0＜θ＜π)，
∴πrl=，即l=，
∴，
∵为锐角，
∴，即，
∴θ为钝角，
∴当圆锥两条母线互相垂直时，截面积最大，最大值.
故答案为：A．
【分析】设圆锥底面半径r，母线l，轴截面顶角θ(0＜θ＜π)，根据题意得出l与r的关系，进而得出θ为钝角，当圆锥两条母线互相垂直时，截面积最大，求解即可.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】5人安排3舱，每舱至少1人最多2人，共有种方法，甲乙在同一舱的种数为种，所以甲乙不在同一舱的种数为90-18=72种.
故答案为：C．
【分析】利用分步计数原理以及捆绑法、间接法求解即可.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，故 ，同理 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 为增函数，
因为 ，故 ，即 ，而 ，
故 ，同理 ， ， ，
因为 ，故 ，
所以 ，
故答案为：D．
【分析】因为 ，故 ，同理 ，令 ，从而结合求导的方法结合分类讨论的方法判断出函数的单调性，从而利用已知条件结合函数 的单调性，从比较出a,b，c的大小。
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆半焦距c，A(x，y)，则x=c·cos30°=，y=c·sin30°=，即A(，)，代入椭圆方程可得，又∵，∴S=×2c×==2，解得c2=4，且c2=a2-b2，解得a2=6，b2=2，∴椭圆方程为.
故答案为：A．
【分析】用c表示A，根据面积关系，得到a2=6，b2=2，求解椭圆方程即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】 A、根据频率分布直方图，成绩出现在[70，80]的频率最大，考生人数最多，A正确；
B、不及格考生数为10×(0.010+0.015)×4000=1000，B正确；
C、根据频率分布直方图估计考试的平均分为 45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95× 0.1=70.5，C正确；
D、0.1+0.15+0.2=0.45<0.5，0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5，故考生竞赛成绩的中位数为70+0.5-0.45×10≈71.67，D错误；
故答案为：ABC．
【分析】根据频率分布直方图，结合题意依次计算判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 A、∵f(x)=sin(2ωx+φ)，，∴，即，又∵ω为整数，∴ω=1，∴f(x)=sin(2ωx+φ)的图象向右平移个单位长度后所得图象的函数为g(x)==，根据题意，g(x)关于原点对称，∴(k∈Z)，即(k∈Z)，又∵，∴k=0，，∴f(x)=sin(2x+)，代入x=，，是函数f(x)的一个零点，A正确；
B、，∴函数f(x)图象关于x=对称，B正确；
C、令t=2x+，∵x∈[0，π]，∴t∈，sint=在只有、两个解，即方程f(x)=在[0，π]上只有两个解，C错误；
D、当x∈(，)时，2x+属于(，)(，)，∵y=sinx在(，)上单调递减，∴f(x)在(，)上单调递减，D正确；
故答案为：ABD．
【分析】根据周期范围和ω是正整数求出ω=1，再根据图像平移变换后的函数关于原点对称求得，进而得到f(x)=sin(2x+)，代入x=、x=判断AB，利用换元法得到f(x)=在[0，π]上只有两个解判断C，利用整体法和正弦函数的单调性判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 A、根据题意，抛物线焦点准线方程，根据E到F的距离为3可得，解得p=2，抛物线方程为x2=4y，A错误；
B、根据A得抛物线准线方程y=-1，B正确；
C、根据A得，根据题意可知直线l斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y=kx+1，联立，解得x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4，∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，∴AB的中点Q的坐标(2k，2k2+1)，，∴圆Q的半径r=2k2+2，在等腰△QMN中，sin∠QMN=，当且仅当k=0时取等，∴sin∠QMN最小值为，C正确；
D、线段AB最小值为y1+y2+2=4k2+4≥4，线段AB最小值是4，D错误；
故答案为：BC．
【分析】求解抛物线焦点和准线方程，根据抛物线定义求得p，得到抛物线方程判断A；求解抛物线准线方程判断B；求解F(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y=kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，得到圆Q半径，由中点坐标公式得到Q坐标，利用直角三角形的锐角三角函数定义计算sin∠QMN判断C；求解线段AB最小值判断D.
12．【答案】A,C
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；球的体积和表面积
【解析】【解答】 A、根据题意，三棱柱六个顶点都在球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABC，A正确；
B、∵AB1=BC1=CA1=4，∴AB=BC=CA，∵点O到三棱柱所有面的距离都相等，∴三棱柱的内切球与外接球的球心重合，设该三棱柱的内切球的半径为 r，则AA1=2r，AB=，∴AB=AA1，B错误；
C、由AB1=4可知BB12+AB2=4r2+12r2=16r2=16，解得r=1（负值舍去），则AB=BC=CA=，可得△A1B1C1的外接圆半径r2=2，所以平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为2πr2=4π，C正确；
D、三棱柱外接球的半径R===，所以球O的表面积S=4πR2=20π，D错误；
故答案为：AC．
【分析】根据题意，结合三棱柱与球体的位置关系判断A；根据题意得到三棱柱的内切球与外接球的球心重合，进而计算各边长判断B；结合已知条件得到△A1B1C1的外接圆半径r2=2，进而计算所得截面圆的周长判断C；计算三棱柱外接球的半径R，进而得到球O的表面积判断D.
13．【答案】448
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为.
故答案为：448.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得的系数.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】根据题意，f'(x)=1+2ex，∴f'(1)=1+2e，∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x)在x=-1处的切线斜率与在x=1处的切线斜率互为相反数，∴f'(-1)=-f'(1)=-1-2e.
故答案为：-1-2e．
【分析】利用导数，代入得到f'(1)=1+2e，再根据偶函数对称性求解即可.
15．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因，
所以，所以，得或（舍去），所以，故.
因为，
所以.
故答案为：
【分析】利用等比数列的通项公式求出数列的公比，然后求解数列 的通项公式，化简利用错位相减法求解数列 的前2021项和 .
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意可得：，解得，则双曲线C：，
设直线l：y=kx+m，联立直线l和双曲线C：，整理得到(1-k2)x2-2kmx-m2-4=0，=(-2km)2-4(1-k2)(-m2-4)＞0，所以m2-4k2+4＞0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2=，x1x2=，所以x0=，y0=，又因为x0=1，所以=1，y0=，直线l与双曲线左右两支各交于一点，所以x1x2=＜0，所以-1＜k＜1，所以＞1，所以.
故答案为：(，+∞)．
【分析】根据题意求得a、b、c得到双曲线C的方程，联立直线l和双曲线C，整理得到(1-k2)x2-2kmx-m2-4=0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合韦达定理和已知条件，转化求解范围即可.
17．【答案】（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，
当时，，，
当时，满足上式，
所以，所以成立.
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立.
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据 得出Sn，再根据求解出{an}通项公式，进而证明即可；
(2)将(1)中 代入 化简得到{bn}通项公式，计算{bn}前n项和Tn，再计算，利用裂项相消法求解即可.
18．【答案】（1）由，得，
即，
.
即，
又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
.
（2）由(1)知.
，①
，②
①-②，得
，
，
是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示
【解析】【分析】(1)利用数列前n项和与第n项的关系，再根据等差数列的定义证明求解即可；
(2)利用错位相消法，根据数列的单调性求解即可.
19．【答案】（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，
即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；平面的法向量
【解析】【分析】(1)利用等体积法求高即可得到A到平面的距离；
(2) 取的中点E，连接AE， 利用面面垂直的性质定理证明平面，利用线面垂直的判定定理得到平面，以B为坐标原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的正弦值.
20．【答案】（1）点不能是线段的中点，
假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
而双曲线渐近线的斜率为，即，
由得，则有，解得，
此时，即方程组无解，
所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点．
（2）依题意，由消去y整理得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，即，点M的横坐标为，
点，，过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设直线ST： ，与双曲线联立，利用判别式和中点坐标计算并判断；
(2) 直线 与双曲线联立，有给定条件得到m2=4(k2-4)，求出M的坐标及过点M与直线l垂直的直线方程，求解即可.
21．【答案】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，设，与联立，消去y得，设，，，则，所以，所以且，
故，
即，
整理得对任意的k恒成立，故，所求抛物线C的方程为.
（2）由题知，，，，，，则.又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.
点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)设直线AB为y=kx+，与抛物线方程联立得到韦达定理，利用重心的性质求解G的坐标，代入曲线 求解即可；
(2)首先证明四边形DEMG为梯形，求解D到AB的距离、、，代入到梯形的面积公式，根据基本不等式求解即可.
22．【答案】（1）在上有唯一零点．
证明如下：由，得，，
在上单调递减，又，
在上恒成立，
在上单调递减，
，，
函数在上有唯一零点；
（2）证明：令，得，
，由可知，在上有唯一零点，
且在上单调递增，在上单调递减，
的最大值．
下面再证明．
一方面；
另一方面，要证，即证，又，
则只需证明，
记，则，由可知在上恒成立，
在上单调递减，即．
综上所述，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)计算函数f(x)的导函数，可得导函数f'(x)在[1，+∞)上单调递减，又因为f'(1)=0，所以f'(x)≤0在[1，+∞)上恒成立，进而得到f(x)在[1，+∞)上单调递减，因为f(2)＞0，f(e)＜0，即可证明f(x)在[1，+∞)上有唯一零点；
(2)令，得，利用导函数求得h(x)的最大值，即可得到即可得到a的最大值，由函数h(x)单调性求得h(x0)＞h(2)=，然后利用导函数证明 ，即可证明.
1 / 1河南省焦作市博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二下·博爱期末）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意，B={x∣x2-4x+3=0}={1，3}，∴A∪B={-1，1，2，3}，∴ {-2，0}.
故答案为：D．
【分析】根据题意解方程得出集合B，再根据集合的运算求解即可.
2．（2023高二下·博爱期末）复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】根据题意，z=(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i+6=8+i，∴z的共轭复数为8-i.
故答案为：B．
【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的感念求解即可.
3．（2023高二下·博爱期末）已知向量，且，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．任意实数
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】根据题意，，∵ ，∴，解得m=0.
故答案为：B．
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直数量积为零求解即可.
4．（2023高二下·博爱期末）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】f(-x)===f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除D，当x=时，f(x)=0，排除B，因为x2+1＞1，所以ln(x2+1)＞0，又因为，所以f(x)＞0，排除C，只有A符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据函数的奇偶性、零点、函数值的大小依次判断即可.
5．（2023高二下·博爱期末）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径r，母线l，轴截面顶角θ(0＜θ＜π)，
∴πrl=，即l=，
∴，
∵为锐角，
∴，即，
∴θ为钝角，
∴当圆锥两条母线互相垂直时，截面积最大，最大值.
故答案为：A．
【分析】设圆锥底面半径r，母线l，轴截面顶角θ(0＜θ＜π)，根据题意得出l与r的关系，进而得出θ为钝角，当圆锥两条母线互相垂直时，截面积最大，求解即可.
6．（2023高二下·博爱期末）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】5人安排3舱，每舱至少1人最多2人，共有种方法，甲乙在同一舱的种数为种，所以甲乙不在同一舱的种数为90-18=72种.
故答案为：C．
【分析】利用分步计数原理以及捆绑法、间接法求解即可.
7．（2021·八省联考）已知 且 且 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，故 ，同理 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 为增函数，
因为 ，故 ，即 ，而 ，
故 ，同理 ， ， ，
因为 ，故 ，
所以 ，
故答案为：D．
【分析】因为 ，故 ，同理 ，令 ，从而结合求导的方法结合分类讨论的方法判断出函数的单调性，从而利用已知条件结合函数 的单调性，从比较出a,b，c的大小。
8．（2023高二下·博爱期末）已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆半焦距c，A(x，y)，则x=c·cos30°=，y=c·sin30°=，即A(，)，代入椭圆方程可得，又∵，∴S=×2c×==2，解得c2=4，且c2=a2-b2，解得a2=6，b2=2，∴椭圆方程为.
故答案为：A．
【分析】用c表示A，根据面积关系，得到a2=6，b2=2，求解椭圆方程即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（2023高二下·博爱期末）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．成绩在内的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】A,B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】 A、根据频率分布直方图，成绩出现在[70，80]的频率最大，考生人数最多，A正确；
B、不及格考生数为10×(0.010+0.015)×4000=1000，B正确；
C、根据频率分布直方图估计考试的平均分为 45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95× 0.1=70.5，C正确；
D、0.1+0.15+0.2=0.45<0.5，0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5，故考生竞赛成绩的中位数为70+0.5-0.45×10≈71.67，D错误；
故答案为：ABC．
【分析】根据频率分布直方图，结合题意依次计算判断即可.
10．（2023高二下·博爱期末）已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．是函数的一个零点
B．函数的图象关于直线对称
C．方程在上有三个解
D．函数在上单调递减
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 A、∵f(x)=sin(2ωx+φ)，，∴，即，又∵ω为整数，∴ω=1，∴f(x)=sin(2ωx+φ)的图象向右平移个单位长度后所得图象的函数为g(x)==，根据题意，g(x)关于原点对称，∴(k∈Z)，即(k∈Z)，又∵，∴k=0，，∴f(x)=sin(2x+)，代入x=，，是函数f(x)的一个零点，A正确；
B、，∴函数f(x)图象关于x=对称，B正确；
C、令t=2x+，∵x∈[0，π]，∴t∈，sint=在只有、两个解，即方程f(x)=在[0，π]上只有两个解，C错误；
D、当x∈(，)时，2x+属于(，)(，)，∵y=sinx在(，)上单调递减，∴f(x)在(，)上单调递减，D正确；
故答案为：ABD．
【分析】根据周期范围和ω是正整数求出ω=1，再根据图像平移变换后的函数关于原点对称求得，进而得到f(x)=sin(2x+)，代入x=、x=判断AB，利用换元法得到f(x)=在[0，π]上只有两个解判断C，利用整体法和正弦函数的单调性判断D.
11．（2023高二下·博爱期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线方程是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 A、根据题意，抛物线焦点准线方程，根据E到F的距离为3可得，解得p=2，抛物线方程为x2=4y，A错误；
B、根据A得抛物线准线方程y=-1，B正确；
C、根据A得，根据题意可知直线l斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y=kx+1，联立，解得x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4，∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，∴AB的中点Q的坐标(2k，2k2+1)，，∴圆Q的半径r=2k2+2，在等腰△QMN中，sin∠QMN=，当且仅当k=0时取等，∴sin∠QMN最小值为，C正确；
D、线段AB最小值为y1+y2+2=4k2+4≥4，线段AB最小值是4，D错误；
故答案为：BC．
【分析】求解抛物线焦点和准线方程，根据抛物线定义求得p，得到抛物线方程判断A；求解抛物线准线方程判断B；求解F(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y=kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，得到圆Q半径，由中点坐标公式得到Q坐标，利用直角三角形的锐角三角函数定义计算sin∠QMN判断C；求解线段AB最小值判断D.
12．（2023高二下·博爱期末）已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则（ ）
A．平面
B．
C．平面截球O所得截面圆的周长为
D．球O的表面积为
【答案】A,C
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；球的体积和表面积
【解析】【解答】 A、根据题意，三棱柱六个顶点都在球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABC，A正确；
B、∵AB1=BC1=CA1=4，∴AB=BC=CA，∵点O到三棱柱所有面的距离都相等，∴三棱柱的内切球与外接球的球心重合，设该三棱柱的内切球的半径为 r，则AA1=2r，AB=，∴AB=AA1，B错误；
C、由AB1=4可知BB12+AB2=4r2+12r2=16r2=16，解得r=1（负值舍去），则AB=BC=CA=，可得△A1B1C1的外接圆半径r2=2，所以平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为2πr2=4π，C正确；
D、三棱柱外接球的半径R===，所以球O的表面积S=4πR2=20π，D错误；
故答案为：AC．
【分析】根据题意，结合三棱柱与球体的位置关系判断A；根据题意得到三棱柱的内切球与外接球的球心重合，进而计算各边长判断B；结合已知条件得到△A1B1C1的外接圆半径r2=2，进而计算所得截面圆的周长判断C；计算三棱柱外接球的半径R，进而得到球O的表面积判断D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（2023·抚顺模拟）在的展开式中，含项的系数为 ．
【答案】448
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意，其展开式的通项为，
令，解得，则含的系数为.
故答案为：448.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得的系数.
14．（2023高二下·博爱期末）已知函数为定义在R上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】根据题意，f'(x)=1+2ex，∴f'(1)=1+2e，∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x)在x=-1处的切线斜率与在x=1处的切线斜率互为相反数，∴f'(-1)=-f'(1)=-1-2e.
故答案为：-1-2e．
【分析】利用导数，代入得到f'(1)=1+2e，再根据偶函数对称性求解即可.
15．（2021高三上·商洛月考）已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因，
所以，所以，得或（舍去），所以，故.
因为，
所以.
故答案为：
【分析】利用等比数列的通项公式求出数列的公比，然后求解数列 的通项公式，化简利用错位相减法求解数列 的前2021项和 .
16．（2023高二下·博爱期末）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意可得：，解得，则双曲线C：，
设直线l：y=kx+m，联立直线l和双曲线C：，整理得到(1-k2)x2-2kmx-m2-4=0，=(-2km)2-4(1-k2)(-m2-4)＞0，所以m2-4k2+4＞0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2=，x1x2=，所以x0=，y0=，又因为x0=1，所以=1，y0=，直线l与双曲线左右两支各交于一点，所以x1x2=＜0，所以-1＜k＜1，所以＞1，所以.
故答案为：(，+∞)．
【分析】根据题意求得a、b、c得到双曲线C的方程，联立直线l和双曲线C，整理得到(1-k2)x2-2kmx-m2-4=0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合韦达定理和已知条件，转化求解范围即可.
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二下·博爱期末）已知数列的前n项和为.
（1）若，，证明：；
（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.
【答案】（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，
当时，，，
当时，满足上式，
所以，所以成立.
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立.
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据 得出Sn，再根据求解出{an}通项公式，进而证明即可；
(2)将(1)中 代入 化简得到{bn}通项公式，计算{bn}前n项和Tn，再计算，利用裂项相消法求解即可.
18．（2023高二下·博爱期末）已知数列的前n项和为.
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n.
【答案】（1）由，得，
即，
.
即，
又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
.
（2）由(1)知.
，①
，②
①-②，得
，
，
是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示
【解析】【分析】(1)利用数列前n项和与第n项的关系，再根据等差数列的定义证明求解即可；
(2)利用错位相消法，根据数列的单调性求解即可.
19．（2023高二下·博爱期末）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
【答案】（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，
即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；平面的法向量
【解析】【分析】(1)利用等体积法求高即可得到A到平面的距离；
(2) 取的中点E，连接AE， 利用面面垂直的性质定理证明平面，利用线面垂直的判定定理得到平面，以B为坐标原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的正弦值.
20．（2023高二下·博爱期末）已知双曲线．
（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S，T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
（2）直线与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程．
【答案】（1）点不能是线段的中点，
假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
而双曲线渐近线的斜率为，即，
由得，则有，解得，
此时，即方程组无解，
所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点．
（2）依题意，由消去y整理得，
因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，
则有，即，点M的横坐标为，
点，，过点与直线垂直的直线为，
因此，，，，
所以点的轨迹方程为，．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设直线ST： ，与双曲线联立，利用判别式和中点坐标计算并判断；
(2) 直线 与双曲线联立，有给定条件得到m2=4(k2-4)，求出M的坐标及过点M与直线l垂直的直线方程，求解即可.
21．（2023高二下·博爱期末）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
（1）求抛物线C的方程；
（2）记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
【答案】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，设，与联立，消去y得，设，，，则，所以，所以且，
故，
即，
整理得对任意的k恒成立，故，所求抛物线C的方程为.
（2）由题知，，，，，，则.又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.
点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)设直线AB为y=kx+，与抛物线方程联立得到韦达定理，利用重心的性质求解G的坐标，代入曲线 求解即可；
(2)首先证明四边形DEMG为梯形，求解D到AB的距离、、，代入到梯形的面积公式，根据基本不等式求解即可.
22．（2023高二下·博爱期末）已知函数，．
（1）写出函数在的零点个数，并证明；
（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：
【答案】（1）在上有唯一零点．
证明如下：由，得，，
在上单调递减，又，
在上恒成立，
在上单调递减，
，，
函数在上有唯一零点；
（2）证明：令，得，
，由可知，在上有唯一零点，
且在上单调递增，在上单调递减，
的最大值．
下面再证明．
一方面；
另一方面，要证，即证，又，
则只需证明，
记，则，由可知在上恒成立，
在上单调递减，即．
综上所述，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)计算函数f(x)的导函数，可得导函数f'(x)在[1，+∞)上单调递减，又因为f'(1)=0，所以f'(x)≤0在[1，+∞)上恒成立，进而得到f(x)在[1，+∞)上单调递减，因为f(2)＞0，f(e)＜0，即可证明f(x)在[1，+∞)上有唯一零点；
(2)令，得，利用导函数求得h(x)的最大值，即可得到即可得到a的最大值，由函数h(x)单调性求得h(x0)＞h(2)=，然后利用导函数证明 ，即可证明.
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