第一课时：子集 全集 补集
教学目的：
（1）使学生了解集合的包含、相等关系的意义；
（2）使学生理解子集、真子集（，）的概念；
（3）使学生理解补集的概念；
（4）使学生了解全集的意义
教学重点：子集、补集的概念
教学难点：弄清元素与子集、属于与包含的关系
授课类型：新授课
课时安排：1课时
内容分析
在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
教学过程：
一、复习引入：
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
二、讲解新课：
（一） 子集
1 定义：
（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集
合B，或集合B包含集合A
记作: ，
读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记
作AB或BA
注：有两种可能
（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
（4）子集与真子集符号的方向
（5）空集是任何集合的子集ΦA
空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A≠Φ，则ΦA
任何一个集合是它本身的子集
（6）易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
（7）根据子集的定义，可以得到它的性质：
①AA;②ΦA;③AB,BC,则AC（传递性，在这种情况下，可以连写成ABC;④若AB,BA则A=B
思考：上面性质对真子集还成立吗？（除了③之外，其余不一定成立）
三、讲解范例：
例1填写下表，并回答问题
原集合 子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少个？，真子集的个数及非空真子集数呢？
解：
原集合 子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a,b} ,{a},{b},{a,b} 4
{a,b,c} ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
这样，含n个元素的集合的所有子集的个数是，真子集的个数是-1，非空真子集数为
练习：判断下列说法的正确与否。
⑴若AB，则AB（ ） ⑵若AB则AB( )
⑶若A=B,则AB( ) ⑷若AB则A=B( )
⑴√ ⑵× ⑶√ ⑷×
例2，教材P8例2
练习：1，教材P10___2(解答：⑴AB ⑵A=B ⑶AB)
2,若数集{0，1，x+2}中，x不能取值的集合为A写出A的所有子集
答：A={-2,-1}故子集为，{-1},{-2},{-1,-2}
观察例2的三个集合，它们之间有什么关系？
补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即
CSA=
2、性质：CS（CSA）=A ，CSS=，CS=S
3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示
例3（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA
（2）若A={0}，求证：CNA=N*
（3）求证：CRQ是无理数集
解（1）∵S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，
∴由补集的定义得CSA={2，4，6}
证明（2）∵A={0}，N={0,1,2,3,4,…}，N*={1,2,3,4,…}
∴由补集的定义得CNA=N*
证明（3）∵ Q是有理数集合，R是实数集合
∴由补集的定义得CRQ是无理数集合
例4 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，
B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CB的关系
解：∵S＝｛x|－3≤x＜6｝，A＝｛x|0≤x＜3｝， B＝｛x|3≤x＜6｝
∴CB＝｛x|－3≤x＜3｝
∴ACB
三，总结：本节主要讲解了子集、补集、全集的概念及性质
四、作业：教材P9练习3，4，P10___1,3,4
第二课时子集全集补集综合习题选讲
目的：进一步熟悉子集全集补集的概念，掌握它们的应用
重点难点：应用
过程：
1， 复习子集全集补集的概念和选择
二、典型例题
例1、已知{1,2}A{1,2,3,4},求满足条件的集合A
解：A中一定含有1，2，这样将A分成三类
仅有1，2时，A={1，2}
含有3，4中之一时，A={1，2，3}或{1，2，4}
3，4都含有时A={1，2，3，4}
总之，A={1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}
说明：当分类多时，可以先说明分几种情况，再进行分类，以免计算时忘记了思路。
例2，已知集合A={x|x>3},B={x|x
⑴若BA，求实数a的范围；⑵AB,求实数a的范围
解：⑴作图，a≤3
⑵AB，a<3
说明：利用图示也是解集合题的一种常见方法
例3，若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若BA,求实数m的范围
解：分B=和B不空两类
B=时，2m-1B不空时，有 2≤m≤3
总之m≤3
练习：已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0},QP,求实数a的范围集合
解答{0，-1/2，1/3}
例4、A={0,1},B={x|x∈A},C={x|xA},判断A、B、C的关系
解：A=B,A∈C
三、课上练习：
1、已知集合A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},CUB={-1,0,2},则B=_________
2、全集U={(x,y)|y=3x-1},A={(x,y)|=3},求CUA
3、已知集合{x,xy,x-y} ={0,|x|,y},求x,y
答案：1、{-3，1，3，4，6}；2、{（1，2）}；3、x=y=-1
四、总结说明
补集、子集的应用还很多，不在一一列举，注意分类与图形的应用。
作业见补充习题
S
A第一课时根式及分数指数幂
教学目的：
1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中
2. 理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
4．培养学生用联系观点看问题.
教学重点：1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的概念
2．运算性质：
3．注意
① 可看作 ∴==
② 可看作 ∴==
二、讲解新课：
1．根式：
⑴计算（可用计算器）
①= 9 ，则3是9的平方根 ；
②=－125 ，则－5是－125的立方根 ；
③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；
④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .
⑵定义：
一般地，若 则x叫做a的n次方根
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反.
⑶性质：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的.
⑷常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
三、讲解例题：
例1求值
①= -8 ；
②= |-10| = 10 ；
③= || = ；
④= |a- b| = a- b .
去掉‘a>b’结果如何？
练习求值：
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：
引例：当a＞0时
①
②
③
④
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
.正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定：
(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
说明：若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.?
三、讲解例题：
例2求值：.
解：
练习用分数指数幂的形式表示下列各式：
(式中a＞0)
解：
例3计算下列各式（式中字母都是正数）
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤
解
练习：计算下列各式：
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算
解：
五、小结 本节课学习了以下内容：
1．根式的概念；
2．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
3．分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.
六、课后作业： P47---P48练习1~4
七、板书设计（略）
第二课时分数指数幂的应用
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质
教学难点：准确应用计算.
授课类型：巩固课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
2．分数指数幂的运算性质：
二、讲解范例：
例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) （２） （３）
（４） （５） （6）
解：（１）
(2)
(3)
（４）
（５）
（６）
例2(课本第77页 例4)计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例3(课本第77页 例5) 计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例4化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；
（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开
解：
评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意
（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，（2）题也体现了一题多解
四、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂是计算，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质
五、课后作业：
．课本第48页 习题2.2⑴：.
解：6.⑵ =；
7.⑵ ∵，
而(由⑴知)，，，
∴；
⑶ ∵，∴；
⑷ .
第三课时指数函数
教学目的：
1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.
2.培养学生实际应用函数的能力
教学重点：指数函数的图象、性质
教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教材分析：
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数
前面已将指数概念扩充到了有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识函数图象是研究函数性质的直观图形指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律本节安排的图象的平行移动的例题，一是为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应，二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备
教学过程：
一、复习引入：
引例1（P57）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新授内容：
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？
①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
y= … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
y= … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
三、讲解范例：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现
例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①，； ②，； ③，
解：利用函数单调性
①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；
②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
例3，求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵ ⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由 ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
练习：
求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
解：⑴要使函数有意义，必须 ,
当时 ； 当时
∵ ∴ ∴值域为
⑵要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
例4⑴比较大小： ,
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
m < n；m < n.
⑶比较下列各数的大小： ，
五、小结 本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质
六、课后作业：P52-----练习
七、板书设计（略）
八、课后记：
第四课时指数函数应用
教学目的：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质
2. 了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题；
3. 培养学生数学应用意识
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
二、讲授范例：
例1 求函数的单调区间，并证明
解：设 则
∵ ∴ 当时， 这时 即 ∴，函数单调递增
当时， 这时
即 ∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减
解法二、（用复合函数的单调性）：
设： 则：对任意的，有，又∵是减函数∴ ∴在是减函数
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是增函数
引申：求函数的值域 （）
例2设a是实数，试证明对于任意a,为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法
（1）证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
练习：已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
例3 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=. ⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴ y=与y=的关系：当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m<0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
例4 ⑴已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.
⑵已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y＝ y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
探讨函数和 的图象的关系，并证明关于y轴对称
证：设P(,)是函数 的图象上任意一点
则 而P(,)关于y轴的对称点Q是(-,)
∴ 即Q在函数的图象上
由于P是任意取的,所以上任一点关于y轴的对称点都在的图象上
同理可证： 图象上任意一点也一定在函数的图象上
∴ 函数和的图象关于y轴对称
三、小结 本节课学习了以下内容：
指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性和奇偶性的方法本节课学习了以下内容：函数图像的变换
四、课后作业：P54_____习题2.2⑵
五、板书设计（略）
六、课后记：第一课时抽象函数的初步解法
[目的]1，了解抽象函数的定义
2，掌握抽象函数的基本解法
[过程]以前学过的函数是有解析式或图象的函数，称具体函数；还有一些函数，即没有解析式，也没有图象，这样的函数称抽象函数。那么，抽象函数到底如何解呢？
例1、设f(x)、g(x)都是定义在实数集上的单调函数，有以下几个命题，其中正确的序号是________________
①若f(x)、g(x)都单调增，则f(x)g(x)也单调增；②若f(x)↑、g(x) ↓，则f(x)- g(x)也单调增；③若f(x)↓、g(x)↑，则f(x)-g(x)也单调↓；④若f(x)↓、g(x)↑，且g(x)≠0，则也单调↓。
解答思路：对于①，设f(x)g(x)=-x2;②、③根据函数的单调性运算知，成立；④f(x)=-x,g(x)=x, =-1不增不减，错。答案②③
（说明：举例法是解抽象函数的一种方法，这里的举例包括函数解析式，也包括图象）
练习：已知f(x)满足，对任意x1答案：y=2x
例2，设函数y=f(x)是实数集上的奇函数，且对任意m,n,都有f(m+n)=f(m)+f(n),且x>0时f(x)<0,f(1)=-2,求y=f(x)在[-3，3]的最值
分析：求f(x)的最值←f(x)的单调性在及f(x)的奇偶性
↑
f(-x)与f(x)的关系，f(0)的值
解：由已知f(0)=f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0,f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数，对于d>0，f(x+d)=f(x)+f(d)fmax(x)=f(-3)=-f(3)=6
说明：抽象函数解法中，关键在于差异分析中找出一定的值，这种找出一些值来确定其他的值的方法称赋值法，也是解抽象函数的一种常规方法。这里的值含有式子。
练习1，已知函数f(x)满足，f(x)+2f(1-x)=g(x),求f(x)的解析式（答案：f(x)=）
练习2，已知函数f(x)满足：对任意x、y,f(x+y)=f(x)+f(y)
⑴求证f(x)为奇函数
⑵若f(-3)=a,用a来表示f(24);
⑶若x>0时，f(x)<0,且f(1)=-,求f(x)在[2，6]上的最值
（答案：⑵-8a;⑶最大值1，最小值-3）
总之，解抽象函数的方法是
作业：补充习题
第二课时 函数模型及其应用
[目的]1，掌握函数应用题的一般解题步骤
2，了解函数模型的意义
[过程]看书P82_ ___P83
例1、（教材P84练习1）某地高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山顶的温度是14.1度，山脚的温度是26度。问此山有多高？
解[方法一]设山高x米，则26-×0.7=14.1，x=1700
答：山高1700米
[方法二]设x米高的温度为f(x)，则f(x)= 26-×0.7，f(x)=14.1,解得x=1700
答：山高1700米
[方法三]直接用算术方法，（26-14.1）×0.7÷100=1700（米）
答：山高1700米
说明：1，实际问题常常通过将问题变成数学模型问题，随着数学问题的解决，实际问题也得到解决。
2，少量的问题可以用算术形式解决，多数是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述，这种描述称数学模型。
3，由于函数与不等式、方程有着密切的内在关系：
不等式函数y=f(x)方程
所以建立的方程、不等式及函数关系通称函数模型。此时，往往要根据实际情况加注定义域的范围。
4，用模型法解答应用题时，一般步骤是：设、列、解、答，其基本图示是：
练习1用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
（分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.答案：函数式是y=-·+mx定义域是：（0，））
练习2，已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数
（1）. 当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
（2）. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围
答：（1）． 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大（2）． 0 < k <1
练习3北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元
例2，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到,,……, 共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从,,……, 推出的a=________.(1994年全国高考试题)
此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.
解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+…+(a-) 最小
由于y=na-2(++…+)a+(++…+)
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.
因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.
当a= (++…+)，y有最小值.
所以a= (++…+)即为所求.
说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即
y=(a-)+(a-)+…+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.
练习1，某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.
（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当N=?时，t的值.
解：（1）由于＞0,λ＞0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少
（2）将N=写成=
根据对数的定义有-λt=ln
所以t=- (lnN-ln)= (ln-lnN)
(3)把N=代入t= (ln-lnN)得t= (ln-ln)
= (ln-ln+ln2)= ln2.
练习2，设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为Pa，求：600 m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）
解：将 x = 0 , y =；x = 1000 , y =， 代入 得：
将 (1) 代入 (2) 得：
计算得： ∴
将 x = 600 代入, 得：
计算得：＝0.943×105(Pa)
答：在600 m高空的大气压约为0.943×105Pa.
总之，解答函数应用题的一般过程是：
作业：教材P84____2,3,4
第三课时 数据的拟合
[目的]1、掌握数据拟合的思想是如何变成有效的数学模型
2、理解拟合的意思尽量减少误差
[过程]一、复习：函数解题的一般步骤与方法
二、问题：如何由数据得到函数模型
三、看书：教材P85____P87
说明：拟合的原则是找出一些一般三组数据，得出一个函数关系式，如：二次函数、一次函数（线性函数）、乘方y=cax+b、对数y=blogax等，其他的用于检验，使误差最小。
例：随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m，单价是0.3万元／m的一套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表． 表1(住房)
期限 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月均还款（元） 857.50 440.10 301.10 231.70 190.13 163.75 144.08 129.38 117.99 108.92
期限 年 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
月均还款（元） 101.54 95.43 90.28 85.90 82.13 78.86 76 73.47 71.24 69.24
期限 年 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
月均还款（元） 67.45 65.85 64.40 63.08 61.89 60.80 59.80 58.89 58.05 57.28
表2（汽车）
期限（年） 1 2 3 4 5
月均还款（元） 859.98 442.94 303.95 234.99 193.47
⑴现该家庭有两种贷款方案：一是马上贷款购房，等积累一定资金后再贷款买车；二是马上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案．
⑵建立家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式．
分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况．
解：⑴方案一：先购房后买车．
为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．
按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元．
设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式
y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）*月数
＝1+(0.5-0.15-2l*0.005728)x，
即 y＝1+0.229712x，（xN）
选(轿车的价值15万元)70％比例的汽车贷款，则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为
u=15(l-1%)* 30％ ，即 u=4.5*0.99（xN）．
刚买车后家庭的结余资金为y，则
y=买车前家庭积累资金-首付汽车款
＝(1+0.229712x)-4.5*0.99，
即 买车后家庭的结余资金为：
y=-4.5*0.99＋0.229712x+1（xN）．
用计算机作出其图象，可知x=12.86时，y=0．
说明购房13个月后该家庭有能力买车．
但是为了保证买车后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值．
现建立买车后家庭月支出v（万元）关于x的函数关系式:
因为按此方案，汽车贷款为 15(l-1%)70%，在资金紧张时，贷款期限选5年较为合理，也利于提前买车，所以
v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支
＝0.019347*15(l-1%)70%＋21*0.005728+0.15+0.1，
即 买车后家庭月支出为：v=0.203144*0.99+0.370288 （xN）．
因此，还清汽车贷款时的家庭结余为
y＝买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出]*五年
＝ y+60[0.5-v]
＝( -4.5*0.99＋0.229712x+1)
+60[0.5-(0.203144*0.99+0.370288)]，
＝-16.68864*0.99＋0.229712x+8.78272
即还清汽车贷款时的家庭结余为
y=-16.68864*0.99＋0.229712x+8.78272 （xN）．
用计算机作出其图象，可知x=20.75时，y=0．
综上所述，按方案一，说明可在购房21个月后再购车．
方案二：先买车后购房．
为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选5年期和30年期．按70%的比例可贷汽车款10.5万元，首付30%后（4.5万元），家中（家庭有积蓄 10万元）还剩资金5.5万元．
同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金
y＝剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）*月数
＝5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5*0.019347)x
y=5.5+0.0468565x（xN，），
而此时购房需首付
y=30*(1+0.8%)30=9*1.008
在同一坐标系中分别作出y、y的图像，
由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金
也可以令x=21，则y=5.5+0.046856521=6.483997（万元）．
y＝10.639315（万元）
∵10.639315（万元）>6.483997万元．
∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取．
因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房．即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房，21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车．
解⑵ 现建立实施方案一后的家庭积累资金y（万元）关于时间x月）的函数关系式．
①因购车前y=1+0.229712x， （xN且1②购车后但还清汽车贷款前
y=[(l+0.229712*21)-4.5*0.9921]+(0.229712-0.l-0.019347*10.5*0.9921)(x-21) （xN且21即y=-0.034779x+2.910535 （xN且21③还清汽车贷款后
y=(-0.034779*81+2.910535)+(0.229712-0.l)(x-81) （xN且81即．
所以，实施方案一后的家庭积累资金y（万元）关于时间x（月）的函数关系式为
想一想：除了该家庭提出的两种方案外，你是否还能提出其他的方案？实施你提出的方案后，能更快地买到车和房吗？
练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，
用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
分析：根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式答案：）
四、小结 ：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.
五、课后作业：
P88__________练习1，2,习题2.6——1~400必修本人教版第一册教学分析简介
一、集合与简易逻辑
集合部分包含集合的定义与表示法、集合的基本运算两部分内容，原来集合的基本运算是教学的重点，但随着将起点降低的社会大环境的影响，重点也正在向集合表示法转移，这一表面上看似降低了要求，但实质上集合的表示法中蕴涵了数学解题的四大原则性思想（直观化、简单化、熟悉化、具体化），因此实质是在能力上明降暗升！表现为试题中，将集合的基本运算与表示法的转化糅合在一起出题的综合性。所以，学习集合要把握三点：一是集合的三个基本特性，二是集合的表示方法，三是集合的基本运算。
二、函数
函数部分是高中数学及高考的重点及难点。函数部分的重点主要在于以下几点：如何判断是否为函数与是否为同一函数？函数的单调性与反函数定义与性质应用及判断，此处常常集合具体的函数（指数函数、对数函数、幂函数）；函数的应用，它又侧重于两点，一是方程实数根的分布（体现了在函数与方程中数形结合与等价转化三大数学思想），二是作为应用题的函数应用。函数部分难，主要难在习题及考试中，函数的单调性、值域与最值不是仅仅限于一般的通性通法，更多的侧重于特殊方法上，因此在学习及教学中，要在这些该引申的地方适当引申。
让每个人从能力上有所提高，这就是我们的宗旨和希望，愿您的希望、我们的希望通过我们共同努力，变成现实。第一课时集合－集合的概念
教学目的：
（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示
一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在
教 具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪
内容分析：
1．集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念
集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？
（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
（3）元素对于集合的隶属关系
（4）集合中元素的特性
确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可
在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
互异性：集合中的元素没有重复
无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
2、集合的表示方法：
（1）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：
①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为{1，2，3，……，10000}；
③三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为{0，1，2，3，4，……}，称端省略列举。
⑵描述法
它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有”、“全部”的意义，故类似的量词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成{自然数}而不写成{全体自然数}：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种表示方法，其格式一般为{元素的一般形式|元素的特征}，如：{(x,y)|y=x2,x∈R}={抛物线y=x2上的点}，而{y|y=x2,x∈R}表示函y=x2的y的取值范围；方程x2-1=0的解集为{x|x2-1=0}={-1,1},不是{x2-1=0}（它仅仅是用列举法表示的一个集合，这个集合中只有一个元素，就是方程x2-1=0,不是它解的集合。
（3）图示法
一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如{（x,y）|y=x2 };三是Venn图，即画个圆圈表示集合（有的书上称文氏兔、文斯图）；
（4）符号表示法分为简记符号法及区间表示法：
常用数集及记法
非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+
整数集：全体整数的集合记作Z ,
有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
实数集：全体实数的集合记作R
不含任何元素的集合称空集，符号为
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z*
3，集合的分类：
按元素的个数分作
三、练习题：
1、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数 （不确定）
（2）好心的人 （不确定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
2、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
3、由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（ A ）
（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素
4、设集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z, b∈Z）的数，求证：
(1) 当x∈N时, x∈G;
(2) 若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G
证明(1)：在a＋b（a∈Z, b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,
则x= x＋0*= a＋b∈G,即x∈G
证明(2)：∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b（a∈Z, b∈Z）,y= c＋d（c∈Z, d∈Z）
∴x+y=( a＋b)+( c＋d)=(a+c)+(b+d)
∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z
∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z
∴x+y =(a+c)+(b+d) ∈G，
又∵＝
且不一定都是整数，
∴＝不一定属于集合G
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念：确定性，互异性，无序性
2．集合的表示
五、课后作业：教材P7____1~5
第二课时集合表示法的转换
教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法
（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
（3）会运用集合的两种常用表示方法
教学重点：集合的表示方法
教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：上节所学集合的有关概念
1、集合的概念
集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合集合具有
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
2、集合的表示方法
二，新课
1，其实，在符号表示法中还有一种方法——区间表示法
集合 区间 读法
{x|a{x|a{x|a≤x≤b} [a,b] 闭区间a到b
{x|x{x|a≤x{x|x≥b} 半闭半开区间b到正无穷
2，同一集合不同的表示方法是相同的，具体解题时，这些表示方法中，将难于看出元素是什么的转化为能够看出的，这样有：
数学解题的关键也是这“四化”
3，典型例题
例1、已知集合A={a-2,2a2+5a,10},且-3∈A,求a
解：a-2=-3或2a2+5a=-3 故a=-1或a=-3/2
当a=-1时，2a2+5a=a-2=-3与集合的互异性矛盾，舍去
当a=-3/2时，满足条件 总之，a=-3/2
[说明]由于解题过程中用到了不等价变形，所以要进行检验
例2、已知集合{1,a,b}={a,a2,ab},求实数a,b
解[方法一] 因a≠1故a=-1,b=0
[方法二]由已知或 ∵a≠1 ∴a=-1,b=0
练习：{m,m+d,m+2d}={m,mq,mq2},求q （答案：q=-1/2）
例3，已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,x∈R}中仅有一个元素，求实数a的值
解：本题分两类进行
⑴当a2-1=0时,a=1或a=-1;当a=1时，A={x|2x+1=0}={-1/2},满足条件；当a=-1时,A=，舍去。
⑵当a2-1≠0时,a≠1且a≠-1，△=0，a=5/3
总之，a=5/3或1
例4，已知S是满足下列两个条件的实数构成的集合：①1∈S;②若a∈S，则∈S. 请回答下列问题
⑴若2∈S,求证S必有另外两个数；⑵求证，若a∈S，则1-∈S； ⑶S中元素能否只有一个？说明理由；⑷求证：S中至少有三个不同的元素
解⑴2∈S=-1∈S=1/2∈S=2∈S,S中必有另外两个数-1，1/2
⑵证明：a∈S ∈S==1-∈S
⑶假设S中元素只有一个，则=a,a2-a+1=0有实数解，与a2-a+1=0没有实数解矛盾，故S中的元不能只有一个
⑷由⑵S中，至少有a, ,1-三个不同的元，只要证明三者两两不等。假设1-=，有a2-a+1=0但它没有实数解，矛盾。同理，三者两两不等，从而S中至少有三个不同的元素
4，总结：
本节主要在符号表示法上又加了区间表示的概念，同时，集合表示法之间的转化体现了数学解题的四大原则性思想
作业：见补充习题第一课时函数的基本理论总结
[目的]1、将前面学习的知识系统化
2、通过对知识的系统，将方法分成一般特殊加以汇总，从而对解题进行方向指导
[过程]
本部分整体介绍了：函数的定义有关内容及函数的简单性质
一、函数定义有关的内容
1、函数的定义
⑴初中的变化定义：在某变化过程中，有两个变量x和y,如果对于每个x，有且仅有一个y与它对应，这样的对应称y是x的函数。其中x叫自变量，y叫做函数值。
⑵高中阶段的集合定义：对于两个非空数集A、B，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素，在集合B中有且仅有一个元素与之对应，这样的对应称作A到B的一个函数。
2，函数的三个要素
⑴定义域：自变量的取值范围集合。
求法：①已知式子情况下，保持每个式子都有意义的不等式（组）的解集;②应用性问题，还得考虑实际情况;③与复合函数有关的问题：f(t)定义域为Df[g(x)]的定义域D1
⑵值域：函数值的取值范围集合
求法
⑶对应法则——表现为函数的不同表示方法
3，函数的常用表示法
⑴列表法（含有Venn图对应表示）
⑵解析法，注意加注定义域，否则默认为式子有意义的一切值
求法
⑶图象法
图象的作法
4，映射：将函数定义中的数集推广为一般的集合，就是映射。
⑴f:A→B是映射，x→y,x叫做y的一个原象，y叫做x的象。对任意x，象唯一；对于B中的每一元素，未必有原象，有的话也未必唯一
⑵f:A→B是映射,f(A)={f(x)|x∈A}未必是B,而是B的子集；正好为B时，此时每个y有原象，但原象未必唯一，称A到B上的映射（或称A到B的满映射）。一字之差，意义不同。
⑶f:A→B是映射,如果B中每个y,有唯一的x对应，这样的映射称一一映射。
二、函数的有关性质
1，单调性判断方法：
2，函数的奇偶性：
前提条件是定义域关于原点对称；一般判断方法有：定义法及图象法两种
3，函数的特殊对称性
⑴两个函数y=f(x)与y=g(x)的对称性
①关于x=a轴对称g(x)=f(2a-x);
②关于y=b对称f(x)+g(x)=2b;
③关于点(a,0)中心对称g(x)=-f(2a-x)
⑵一个函数y=f(x)本身的对称性
①关于x=a轴对称f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x);
②关于点(a,0)中心对称f(x)=f(2a-x)
三、相关点法及其步骤
1，定义：一个点随另一个点的变动而变动，这两个点互称相应的相关点
2，相关点法解题的一般步骤：⑴设所求部分上任意一点为(x,y);⑵用(x,y)表示其相关点坐标(x1,y1);⑶代入(x1,y1)满足的关系式，必要时检验，即为所求的关系式。
课上练习教材复习题思考与运用P94-----19~23
答案：19，{-1，2 }或{1，2}或{-1，-2}或{1，-2}或{1，-1，-2}或{1，-1，2}或{1，-2，2}或{-1，2，-2}或{-2，-1，1，2}
20，⑴f(x)=3x-1;⑵f(x)=x2+1
21，{-1}或{4}或{4，-1}
22, x+n
23,⑴关于y轴对称；⑵略
作业：教材P93-----1~6,8,9
第二课时具体函数及应用复习
[目的]1、对具体函数的知识加以整理系统化
2、通过勘根定理的应用，体会函数与方程的内在联系
3、学会总结及识记特殊的图象变换的规律
[重点难点]第3点
[过程]本节复习具体函数及其相关问题
一、具体函数：主要介绍了四种具体函数；二次函数、指数函数、对数与对数函数、幂函数及其它们的性质
1、的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
2、函数y=logax的性质
a>1 0图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时 时 时 时
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
3、幂函数y=xa的性质：
情况 a>0 a<0
恒过的定点 点(0,0),(1,1) 点（1，1）
单调性 在上↑ 在（0，+∞）上↓
4、二次函数的三种形式是，顶点式y=a(x-h)2+h、零点式y=a(x-x1)(x-x2)、一般式y=ax2+bx+c 以上a≠0
二、函数图象的初等变换
1，平移变换：y=f(x)+ny=f(x)y=f(x-m)
2，对称变换:
对称元 点(x0,y0)对称后的坐标 函数y=f(x)对称后的式子
关于点(a,0) (2a-x0,-y0) y=-f(2a-x)
关于直线x=a (2a-x0,y0) y=f(2a-x)
关于直线y=b (x0,2b-y0) y=2b-f(x)
关于直线y=x (y0,x0) x =f(y)
问题：点(x0,y0)关于直线y=-x,y=x+b,y=-x+b对称点各是什么？由此您能得到什么规律？
答：⑴关于y=-x对称可以这样进行，先关于直线y=x对称，再关于原点对称，答案(-y0,-x0)
⑵关于直线y=x+b对称可以这样进行，先关于y=x对称得到点(y0,x0),在将点沿x轴左移b个单位、沿y轴上移b个单位，得到点(y0-b,x0+b)
⑶关于直线y=-x+b对称可以这样进行，先关于y=-x对称得到点(-y0,-x0),在将点沿x轴右移b个单位、沿y轴上移b个单位，得到点(-y0+b,-x0+b)
由上看出：关于y=±x+b对称的点的坐标特征是，从对称轴方程中解出x,y，将原来点的坐标分别代入方程的右边，即为对称点的横、纵坐标。
三、函数的应用
1、函数与数形结合：通过图象与式子间的对应关系，以图来体现式，同时以式来说明形的性质的思想方法称数形结合。
勘根定理：对于在[a,b]内连续的函数y=f(x),f(a)f(b)<0f(x)=0在(a,b)内有奇数个根。用二分法，总可以将根在某一小的范围内，进而求出其近似解
特别的：有一元二次方程实数根的分布
根的情况 a>0时图 a<0时图 充要条件
两个根均小于m
两个根都大于n
一个大于m，另一个小于m的根 (x1-m)(x2-m)<0af(m)<0
在区间(m,n)内有且仅有一个根 f(m)f(n)<0
在区间(m,n)之外有两个根
在区间(m,n)内有两个实数根
2、函数的应用题的步骤是：设——列——解——答；注意函数的定义域和结果要符合实际情况
课上练习：教材P94-----P95:26,28,29,31
解答：26，证明：设=x,=y,这样
logcx=logcblogca,logcy=logcblogca,故x=y
28,原式即1<|lgx|,lgx>1或lgx<-1,所以x的范围是(0,)∪（10，+∞）
29，v=
31,解：首先，1a>1时， △=25-4(a+3)=13-4a<0即a>时，③无解，方程也无实数解
设f(x)=x2-5x+a+3
130,f(3)>0,故原方程有两个不等的解
a=时，③有两个相等的实数解，而此解又满足①②。
总之，a≤1或a>时，方程没有实数解；13作业：教材P93------P95 10~18,23~35,27,28,30,32第一课时对数的概念
教学目的：
1．理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；
2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力
教学重点：对数的概念
教学难点：对数概念的理解.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？
2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1. ＝？，＝0.125x= 2. =2x=
也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？
二、新授内容：
定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数
例如： ;
;
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵，
∵对任意 且 , 都有 ∴
同样易知：
⑶对数恒等式
如果把 中的 b写成 , 则有
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN
例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
例如：简记作ln3 ; 简记作ln10
（6）底数的取值范围；真数的取值范围
三、讲解范例：
例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）
（1）=625 （2）= （3）=27 (4) =5.73
解：（1）625=4； （2）=-6；
（3）27=a； （4）
例2 将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）128=7；
（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303
解：（1） （2）=128；
（3）=0.01； （4）=10
例3计算： ⑴，⑵，⑶，⑷
解法一：⑴设 则 , ∴
⑵设 则, , ∴
⑶令 =,
∴, ∴
⑷令 , ∴, , ∴
解法二：
⑴；
⑵
⑶=
⑷
四、练习：1.把下列各题的指数式写成对数式
(1)＝16 （２）＝１ （３）＝２ （４）＝０.５
解：(1)2＝16 (2)0＝1 (3)ｘ＝２ (4)ｘ＝0.5
2.把下列各题的对数式写成指数式
(1)ｘ＝27 (2)ｘ＝7 (3)ｘ＝3
(4)ｘ＝
解：(1) ＝27 (2) ＝７ (3) ＝3
(4) ＝
五、小结 本节课学习了以下内容：
⑴对数的定义， ⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值
六、课后作业：P58练习
七、板书设计（略）
八、课后记：
第二课时对数的运算性质
教学目的：
1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2．能较熟练地运用法则解决问题；
3．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题
教学重点：对数运算性质
教学难点：对数运算性质的证明方法.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1．对数的定义 其中 a 与 N
2．指数式与对数式的互化
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵，
⑶对数恒等式
3．指数运算法则
二、新授内容：
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
证明：①设M=p, N=q
由对数的定义可以得：M=，N=
∴MN= = ∴MN=p+q，
即证得MN=M + N
②设M=p，N=q
由对数的定义可以得M=，N=
∴ ∴
即证得
③设M=P 由对数定义可以得M=,
∴＝ ∴=np， 即证得=nM
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如
③真数的取值范围必须是：
是不成立的
是不成立的
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
，
三、讲授范例：
例1 计算
（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg
解：（1）25= =2
（2）1=0
（3）（×25）= +
= + = 2×7+5=19
（4）lg=
练习计算：
(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3)
说明：此例题可讲练结合.
(1)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18
=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0?
解法二：
lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18?
=lg
评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
例2 用，，表示下列各式：
解：（1）=（xy）-z=x+y- z
（2）=（
= +=2x+
对数换底公式：
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
证明：设 N = x , 则 = N
两边取以m 为底的对数：
从而得： ∴
2.两个常用的推论:
①，
② （ a, b > 0且均不为1）
证：①
②
例3 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示 56
解：因为3 = a，则 , 又∵7 = b,
∴
练习计算：① ②
解：①原式 =
②原式 =
例4设 且
1 求证 ； 2 比较的大小
证明1：设 ∵ ∴
取对数得： ， ，
∴
2
∴
又：
∴
∴
练习已知x=c+b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将c移到等式左端，或者将b变为对数形式
解法一：
由对数定义可知：
解法二：
由已知移项可得 ，即
由对数定义知：
解法三：
四、课堂练习：P60----练习
五、小结 本节课学习了以下内容：对数的运算法则，公式的逆向使用本节课学习了以下内容：换底公式及其推论
六、课后作业：P63练习题及P63习题2.3⑴
第三课时对数函数的定义、图象、性质
目的:1,理解对数函数的概念
2,了解指数函数与对数函数互为反函数的关系
3,掌握对数函数的性质
[引入]细胞分裂问题：细胞的个数是分裂次数的指数函数y=2x .反之，细胞分裂的次数是细胞个数的函数,由对数定义：x=log2y 即：次数x是个数y的函数 , 习惯上仍用x表示自变量,y表示函数值,于是得到一个函数y=log2x
定义：函数y=logax 叫做对数函数
对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)
指数函数、对数函数的图像有何关系呢？
先看y=2x 与y=log2x的图象，看书P65-----P67
一般的,函数y=ax与y=logax (a>0且a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x对称
y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f-1(x) 如:f(x)=2x,则f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称
函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x对称
下面看函数y=logax的性质
a>1 0图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时 时 时 时
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
例题1. 求下列函数的定义域：
(1)y=log2(2x+1) (2) y=lg (3) y=
解：⑴(-1/2,+∞）
⑵（1，+∞）
⑶{x|log3x≥0}={x|x≥1}
练习：填空
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________（答：{x|x>2/7且x≠2/5}
(2)y= 的定义域是_______________（答：）
例2. 将log0.70.8, log1.10.9, 1.10.9由小到大排列.
解：Log1.10.9<0练习： 已知logm5>logn5,试确定m和n的大小关系
方法一:函数图象法
方法二:用换底公式等价转化 答案：0练习：教材P69___3,4,5
例3、函数y=log1/3(x2-3x)的增区间是________
解：函数的定义域为 {x|x2-3x>0}={x|x>3或x<0}
原函数是y=log1/3t及t=x2-3x的复合函数y=log1/3t↓，只要求t=x2-3x的减区间，为，再由定义域
增区间为（-∞，0）
练习：函数y=log0.5(ax+a-1)在x≥2上单调减，求实数a的范围（答案a>1/3）
总结：今天主要内容有以下几项；
1、对数函数的概念与性质及性质应用
2、对数函数与指数函数互为反函数
[作业]P70习题2.3⑵
第四课时对数函数的应用
教学目的：
1．掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法；
2．渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力
3.培养学生的数学应用意识.
教学重点：函数单调性证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1．判断及证明函数单调性的基本步骤：假设—作差—变形—判断
2．对数函数的性质：
a>1 0图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时 时 时 时
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
二、新授内容：
例1 ⑴证明函数在上是增函数
⑵函数在上是减函数还是增函数？
⑴证明：设，且
则
又在上是增函数
∴ 即
∴函数在上是增函数
⑵解：是减函数，证明如下：
设，且
则
又在上是增函数
∴ 即
∴函数在上是减函数
小结：复合函数的单调性
的单调相同，为增函数，否则为减函数
例2 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域
单调减区间是 设 则
=
∵ ∴
∴> 又底数
∴ 即
∴在上是减函数
同理可证：在上是增函数
三、练习：
1.求y=(-2x)的单调递减区间
解：先求定义域：由-2x＞0,得x(x-2)＞0
∴x＜0或x＞2
∵函数y=t是减函数
故所求单调减区间即t=-2x在定义域内的增区间
又t=-2x的对称轴为x=1
∴所求单调递减区间为（2，+∞）
2.求函数y=(-4x)的单调递增区间
解：先求定义域：由-4x＞0得x(x-4)＞0
∴x＜0或x＞4
又函数y=t是增函数
故所求单调递增区间为t=-4x在定义域内的单调递增区间
∵t=-4x的对称轴为x=2
∴所求单调递增区间为：（4，+∞）
3.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2->0是减函数
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，
∴a＞1
由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,
∴1＜a＜2
当00是增函数
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，
∴0由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0综上述，0四、小结 本节课学习了以下内容：对数复合函数单调性的判断
五、课后作业：
证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；
证明：设，且,则
又在上是减函数
∴ 即
∴函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数?
六、板书设计（略）
七、课后记：
第五课时反函数简介
目的:1,了解反函数存在的条件
2,会求简单函数的反函数
3,了解反函数的有关性质
备注：本节是个课件
[过程]复习:y=ax及y=logax互为反函数
问题:到底什么是反函数 如何求一个函数的反函数 是否所有的函数都有反函数 反函数有哪些常见性质
一,反函数的定义
一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x)),另一方面,x也是y的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x)与y=f(x)互为反函数
y=ax与y=logax互为反函数
注意：f-1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数
例1、求函数y=3x+6的反函数
解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2
Y=ax与y=logax ({x|x>0})互为反函数(由y=ax中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域
二,反函数的求法步骤:1、从y=f(x)中解出x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义域； 3，x、y互换并加注定义域即为所求
2，求出函数y=log2 (-1解：2y=,x=(y∈R) 反函数为：y= (X∈R)
练习1：求函数y=1+ (x≤-5)的反函数(答：f-1(x)=(x≥1)
练习2：若函数f(x)= 的反函数为 求常数a,b,c的值
(答：a=5,b=2,c=1)
三、反函数存在的条件
y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y; x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x; 所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一对应
y=ax在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数
思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x）
例3,已知y=x2-2ax+3在上存在反函数 ⑴求实数a的范围;⑵求a取得最值时相应的反函数
解:⑴a≤1
⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 故反函数为f-1(x)=1+（x≥2）
四,反函数的简单性质
1、原函数与反函数的定义域与值域对调
2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x （由于x与y一一对应）
3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性
例4、已知函数y=- 的反函数是f-1(x)
求f-1(-1)
解：[方法一]f-1(x)=-x2(x≤0），∴f-1(-1)=-1
[方法二]设f-1(-1)=x,∴f(x)=-1,解得x=-1
练习：1、若函数f(x)的图象过点（1，2），则f-1(x)的图象一定经过点_________
（答：（2，1））
2、若点(1,2)既在函数y= +b,又在其反函数的图象上，求实数a,b的值
（答：将点（1，2）及（2，1）代入原方程，得a=2,b=0）
总结：本节主要介绍了以下几个问题
一、反函数的定义
二、反函数的求法
三、反函数存在的条件
四、反函数的性质
作业：见补充习题集合小结
教学目的：巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系
教学重点、难点：会正确应用其概念和性质做题
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：讲练结合法
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教学过程：集合部分汇总
本单元主要介绍了以下三个问题：
1,集合的含义与特征
2,集合的表示与转化
3,集合的基本运算
一,集合的含义与表示(含分类)
1,具有共同特征的对象的全体,称一个集合
2,集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类
3，集合的表示
二，集合表示法间的转化
高中数学解题的关键也是着“四化”
三，集合的基本运算
1，子集：A B定义为，对任意x∈A，有x∈B,表现图为A在B中包含着
2，补集：CUA={x|x∈U,且x A}，表现图为整体中去掉A余下的部分
3，交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B},表现图示为A与B的公共部分
4，并集：A∪B={x|x∈A,或x∈B},表现图示为A与B合加在一起部分
说明：1，有限集合元素个数由容斥原理确定
2，集合运算多数情况下是自定义的（自己人为规定）
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即CSA=
韦恩图示
性 质 AA=A AΦ=ΦAB=BAABA ABB AA=AAΦ=AAB=BAABＡABB (CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．
容斥原理有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
例1，定义集合A-B={x|x∈A,且xB},则当A∩B=时，A-B=_________;A∩B不空时呢？
解：（1）A; (2)CU(A∩B)
练习：教材17页——13题
例2，给出下列说法：①方程+|y+2|=0的解集为{-2,2};②集合{y|y=x2-1,x∈R}与集合{y|y=x-1,x∈R}的公共元组成的集合为{0，-1}；③区间（-∞，1）与（a，+∞）无公共元素。其中正确的个数为___________
解：对于①，解集应为有序实数对，错；对于②{y|y=x2-1,x∈R}=与集合{y|y=x-1,x∈R}=R，公共元素不只0与-1两个，错；③区间（-∞，1）与（a，+∞）无公共元素取决于1与a的大小，错。故正确的个数是0。
例3、已知集合M={x|x=3m+1,m∈Z}，N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N，则x0y0与集合M、N的关系是————————————————————。
解：[方法一]（变为文字描述法）M={被3除余数为1的整数}，N={被3除余数为2的整数}，余数为1×余数为2→余数为2，故x0y0∈N,x0y0M
[方法二]（变为列举法）M={…,-2,1,4,7,10,13,},N={…,-1,2,5,8,11,……}M中一个元素与N中一个元素相乘一定在N中，故x0y0∈N,x0y0M
[方法三]（直接验证）设x0=3m+1,y0=3n+2,则x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x0y0∈N,x0y0M
例4，已知集合A={x|=1}是单元素集，用列举法表示a的取值集合B
解：B表示方程=1有等根或仅有一个实数根时a的取值集合。
⑴有等根时有：x2-x-2-a=0①且x2-2≠0②；①△=1-4(-a-2)=0,a=-9/4,此时x=1/2适合条件②，故a=-9/4满足条件；
⑵仅有一个实数根时，x+a是x2-2的因式，而=，∴a=±.当a=时,x=1+,满足条件；当a=-时,x=1-也满足条件
总之，B={-9/4,-，}
例5，设M={z|z=x2-y2,x、y∈Z},⑴试验证5和6是否属于M？⑵关于集合M，还能得到什么结论。
解：⑴5=32-22∈M，6=x2-y2=(x-y)(x+y),x、y不会是整数，故6M
⑵可以得到许多结论，如：①因2n+1=(n+1)2-n2,故一切奇数属于M；②M为无限集；③因4n=(n+1)2-(n-1)2，故4的倍数属于M；④对于a、b∈M，则ab∈M（证明：设a=x12-x22,b=y12-y22,则ab=(x1y1+x2y2)2-(x1y2+x2y1)2∈M。
准备单元检测
S
A
S
A第一课时 函数的概念
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2．会用直接法求函数的定义域、值域，会根据解析式求某一函数值
教学重点：理解函数的概念；
教学难点：函数的概念
授课类型：新授课
课时安排：1课时
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
问题1：（）是函数吗？
问题2：与是同一函数吗？
观察对应：
二、讲解新课：
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作
， xA
其中叫自变量，的取值范围集合A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
这里 A, B 为非空的数集.
（2）y是x的从A到B的函数，A：定义域，原象的集合；：值域，象的集合,其中 B，未必是B，当是B时，一般表术成为A到B上的函数 ；：对应法则 ， A ， B
（3）函数符号： 是 的函数，简记
（二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数:定义域R, 值域R;
2．反比例函:定义域, 值域;
3．二次函数:定义域R
值域：当时，；当时，
（三）函数的值：关于函数值
例：=+3x+1 则 f(2)=+3×2+1=11
注意：1在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3与是不同的，前者为变数，后者为常数
（四）函数的三要素： 对应法则、定义域A、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
① ；② ；③ .
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{|且}
另解：要使函数有意义，必须：
∴这个函数的定义域是： {|且}
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).
解：f(3)=3×-5×3+2=14；
f(-)=3×(-)-5×(-)+2=8+5；
f(a+1)=3(a+1) -5(a+1)+2=3a+a.
例3下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴；⑵；⑶
解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是；
⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数
练习： 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
① （定义域不同）
② （定义域不同）
③ （定义域、值域都不同）
例4、求函数f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}的值域
解答：值域为{2,1,5,}
练习：求函数f(x)=(x-1)2+1的值域 （答：{y|y≥1}
四、课堂练习：课本第51页练习1，2，3，4
五、小结 本节课学习了以下内容：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；表示在x=a时的函数值，是常量；而是x的函数，通常是变量
六、课后作业：课本第51－52习题2.1：1，2，3，4，5，6
七、板书设计（略）
八、课后记：
第二课时求函数定义域的方法及复合函数
[目的]1、掌握函数定义域的一般求法
2、会根据实际问题求函数的定义域
3、了解复合函数的定义，会根据原函数求复合函数的定义域，会根据复合函数定义域求原函数定义域
[过程]
一、复习：函数的三个要素是什么？
答：定义域、值域、对应法则
二、问题：定义域如何求？
三、典型例题与内容
例1、求下列函数的定义域。⑴y= ⑵y=
解：⑴式子有意义，则|x|-x>0|x|>x，定义域为(-∞，0)
⑵由题意定义域为{x|x≥-5，且x≠-3}
说明：1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合
2，定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明。
练习：求下列函数的定义域：1，y= 2,y=
(答案：1，{x|x∈R,且x≠±1}； 2，{x|xx∈R,且x≠1,2,3}
例2，某工厂的统计资料显示，产品的次品率p与日产量x件的关系如下：
x 1 2 3 4 5 …… 98
p 2/99 1/49 2/97 1/48 5/95 …… 1
又知，每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元(a>0),将该厂的日盈利额M元表示为日产量x 的函数。
解：次品率p=,次品的件数为px件，正品为x-px件，日赢利额
M=a(x-px)- px=a(x-),x∈{1,2,3,4,…,98}
说明：实际问题除了原式外，还要根据实际情况确定函数的定义域
练习：某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，将细胞分裂的个数y表示为分裂次数x的函数。（答案y=2x,x∈N）
例3、⑴已知f(x)的定义域为[-1，1]，求f(2x-1)的定义域。
⑵已知f(2x-1)的定义域为[-1，1]，求ft)的定义域
解：⑴f(2x-1)要有意义，-1≤2x-1≤1,0≤x≤1，∴f(x)的定义域为[0，1]
⑵∵-1≤x≤1 ∴-3≤t=2x-1≤1 ∴f(t)的定义域为[-3,1]
说明，，1，y=f[g(x)]称y=f(t)及t=g(x)的复合函数
2,已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D；而已知f[g(x)]定义域为D，求f(x)定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围。
练习，已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
（该题实质是将上面两个合成了一个题，答案：0≤x≤1 -1≤2x-1=t≤1 f(t)定义域为[-1，1]，f(3x)有意义-1≤3x≤1∴f(3x)的定义域为[-1/3，1/3] ）
[总之]今天的主要内容是：
1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合；定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明
2，实际问题除了原式外，还要根据实际情况确定函数的定义域
3，f(x)定义域f[g(x)]的定义域为D1
[作业]补充习题
第三课时函数的表示法—函数的图象
教学目的：
1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．
2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念
教学重点：解析法、图象法．
教学难点：作函数图象
授课类型：新授课
教材分析：
函数的解析法、列表法、图象法中，以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
教学过程：
一、复习引入：
1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？
2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？
3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？
二、讲解新课：函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，学生的身高 单位：厘米
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
三、例题讲解
例1某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像
解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为
y=5x，x{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示
例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.
这一种函数我们把它称为分段函数
例3 画出函数y=|x|=的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=,我们就作不出它的图象.
例4作出分段函数的图像
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
=
作出图像如下
例5作出函数的图象
列表描点：
四、课堂练习：课本第56页练习1，2，3
五、小结 本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法
六、课后作业：课本第56习题2.2：1，2，3，4
七、板书设计（略）
八、课后记：
第四课时具体的一元二次不等式解法
教学目的：
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想
教学重点：图象法解一元二次不等式
教学难点：字母系数的讨论；一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系
授课类型：新授课
课时安排：1课时
内容分析：
1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法
2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
教学过程：
一、复习引入：
1．当x取什么值的时候，3x－15的值
（l）等于0；（2）大于0；（3）小于0
（这是初中作过的题目）
2．你可以用几种方法求解上题？
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系(课本第17页的例子)
4．像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法
(1)图象解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解
注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根
②图象在x轴上面的部分表示3x－15＞0
(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解
注 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的
二、讲解新课：
画出函数的图象，利用图象回答：
（1）方程＝0的解是什么；
（2）x取什么值时，函数值大于0；
（3）x取什么值时，函数值小于0
（这也是初中作过的题目）
结合二次函数的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程＝0的解是x＝－2，或x＝3；
当x<-2，或x>3时，y>0，即>0；
当-2 经上结果表明，由一元二次方程数＝0的解是x=-2，或 x=3，结合二次函数图象，就可以知道一元二次不等式>0的解集是{x|x<-2,或x>3}；一元二次不等式<0的解集是{x|-2 一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线 （a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三、讲解范例：
例1 解不等式
解：作出函数的图像
因为.
所以，原不等式的解集是.
说明：方程3x2-6x+2=0称所确定的方程
练习1解不等式.
解：整理得
因为.
所以，原不等式的解集是.
练习2解不等式.
解：因为.
所以，原不等式的解集是.
练习3解不等式.
解：整理，得.
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
小结：
解一元二次不等式的步骤：
1 看看：看二次项系数将二次项系数是否为正，否则一般化为“+”：
②算算： 计算判别式，在△>0时，求确定方程的根
③ 画画：画出函数图象
④写写：写出不等式相应解集
例2，解关于x的不等式
分析 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解
(1) 当有两个不相等的实根.
所以不等式：
(2) 当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
(3) 当无实根
所以不等式解集为.
说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题.
四、. 小结：
解一元二次不等式的步骤：
2 看看：看二次项系数将二次项系数是否为正，否则一般化为“+”：
②算算： 计算判别式，在△>0时，求确定方程的根
③ 画画：画出函数图象
④写写：写出不等式相应解集
五、作业:
六、板书设计（略）
七、课后记：
第五课时函数解析式的一般求法
[回顾与总结]函数表示法的三种方法是什么？最常用的方法是什么？
答：函数表示方法有解析式法、列表法、图象法三种。解析式法是最常用的表示方法。
[内容提要]函数解析式一般如何求呢？
[过程]例1，已知f(x)=,求g(x)=的解析式
分析：f(x)是分类定义的，相应的f(x-1)与f(x-2)也是分类定义的
解：f(x-1)=,f(x-2)=
g(x)=
说明：这一方法，根据f(x)的定义而直接求g(x)的解析式，称直接法
练习：1 已知：=xx+3 求： f(x+1), f()
解：f()=()+3；
f(x+1)=(x+1)(x+1)+3=x+x+3
2 已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；
f[g(x)]=4g(x)+3=4x+3；
g[f(x)]=[f(x)]=(4x+3)=16x+24x+9；
g[g(x)]=[g(x)]=(x)=x.
例2，已知f(x)是x的一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)
解：设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1有
解得或∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1
说明：象这样已知f(x)的结构形式时，可以先设成其结构式（如：一次函数设为ax+b,二次函数设为ax2+bx+c,其中a≠0），在根据条件求出相应的系数，代回到原设的式子中，而得出解析式，这一方法称待定系数法。
例3，已知f(2x+1)=5x+3求f(x)
解：[方法一]f(2x+1)=(2x+1)+3- ∴f(x)=x+
说明：该题因为左边自变量为2x+1，右边也变成含有它的式子，这一方法称拼凑法，拼凑的技巧是“先写后算”，即先写上要拼凑的结果2x+1,再看多算了什么，进行加、减、乘、除四则运算，以保持式子的值相等。
[方法二]设2x+1=tx=,f(t)=5+3=t+ ∴f(x)=x+
说明：这一方法是将2x+1看作一个变量t，称代换法，这也是已知f[g(x)]的解析式求f(x)解析式的一种方法。
练习1：若,求f(x)
解法一（换元法）：令t=则x=t1, t≥1代入原式有
∴ （x≥1）
解法二（定义法）：
∴ ≥1
∴ (x≥1)
2，
例4，对一切非零实数x，有f(x)+2f()=3x,求f(x)
解：由f(x)+2f()=3x ① 以代替x得f()+2f(x)=3 ②
由①②消去f()得f(x)=-x(x≠0)
说明：当发现“f”作用下，仅有x及另外一个与x有关的式子时，可以用该式代替x，得到另一个关系式，消去其他即可得到f(x)的解析式，这一方法与解方程组方法类似，称消去法。
练习：若 求f(x)
解： 令 则 (t0) 则
∴f(x)= (x0且x1)
[总之]求f(x)解析式的常用方法有
1，直接法
2，待定系数法：已知f(x)的结构形式时
3，拼凑或换元法：已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式时
4，代入消元法：当“f”作用下，时，仅有x及另外一个与x有关的式子，可以用代换法得到另一式,消去其他，解出f(x)
第六课时函数的单调性定义及一般判断方法
教学目的：
（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思
（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间
（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性
教学重点：函数的单调性的概念；
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性
授课类型：新授课
教材分析：
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学
在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握
按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强
根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数的图象进行了删除，教学中始终以、、等函数为例子进行讨论研究
教学过程：
一、复习引入：
⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象. 的图象如图1，的图象如图2.
⒉ 引入：从函数的图象（图1）看到：
图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.
这时我们就说函数==在[0,+ )上是增函数.
图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，
当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，
相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.
这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.
函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.
二、讲解新课：
⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数（如图4）.
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.
⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；——定义验证
⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“<或>, ”改为“ 或,”即可；
⑷定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；——解析式观察法
外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. .——图象观察法
三、讲解例题：
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，能包括的尽量包括端点；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.
练习：P37----1,2,6,7
例2 证明函数在R上是增函数.
证明：设是R上的任意两个实数，且<，则
－=(3+2)-(3+2)=3(－),
由∴在R上是增函数.
练习：1 证明函数在(0,+)上是减函数.
证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，
则－=－=,
由,∈(0,+ )，得>0,
又由<,得－>0 ,于是－>0,即>
∴在(0,+ )上是减函数.
练习2，求证函数f(x)=+在区间（3，4）上单调增
证明：3=+
=(x2-x1)(-)
∵3+<+,>
f(x2)>f(x1), f(x)=+在区间（3，4）上单调增
例3．求函数f(x)=x+(k>0)在（0，+∞）上的单调性
解：对于0>0,x12同理，f(x)在上单调减
练习1：讨论函数在(-2,2)内的单调性.
解：∵，对称轴
∴若,则在(-2,2)内是增函数；
若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数
若,则在(-2,2)内是减函数.
练习2，f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)解：-1≤x-1在单调性定义中，若设x1=x,x2=x+h,h>0,有变形定义：
对于h>0,若f(x+h)>f(x),则f(x)单调增；若f(x+h)例4，已知函数f(x)满足对任意定义域内的m,n,f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且x>0时f(x)>1,求证f(x)单调增
证明：对于h>0,f(x+h)=f(x)+[f(h)-1]>f(x),所以f(x)单调增
四、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;
⒉判断函数单调性的一般方法是：
3，证明函数单调性目前只能用定义：
根据原始定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.
根据变形定义，则先假定h>0，再比较f(x+h)与f(x)的大小，从而断定
五、课后作业：课本P42-----1,3,4,7
六、板书设计（略）
七、课后记：
第七课时函数的单调性的特殊判断方法
教学目的：
1.. 掌握函数运算判断函数单调性的常用结论
2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.
课时安排：1课时
注：本课时是一个课件
教学过程：
一、复习引入：
函数单调性判断的一般方法是什么？
答：解析式观察法、图象观察法、定义验证法
问题：只有这些，未必能够验证判断函数的单调性,有的判断了也很复杂.如:f(x)=x-及g(x)=
二、讲解新课：
分析:对于f(x)=x-,前者x为↑,后者1/x在x>0及x<0上都↓,- ↑,从而f(x)在(0,+∞)及(-∞,0)上都是↑
这里涉及了f(x),-f(x),1/f(x)及f(x)+g(x)的运算,一般的有
定理一:⑴Af(x)(A为常数)在A>0时,与f(x)在同一区间上具有相同单调性,在A<0时具有相反的单调性;
⑵f(x)恒正或恒负,则与f(x)在同一区间上具有相反的单调性; ⑶f(x)与g(x)具有相同的单调性,则f(x)+g(x)与它们的单调性相同
证明：以(2)为例证明:设f(x)↑且恒正,则对于x1-=<0, <,所以↓，与f(x)与具有相反的单调性。
练习：证明（1）（3）
例1、判断函数f(x)=-x在定义域内单调性
解：函数定义域为(-∞,+∞),
当x≤0时,x2↓，也↓,同时-x也↓,因此f(x)↓
当x≥0时,f(x)=↓；
总之，f(x)↓
练习：判断下列函数的单调性
⑴f(x)= ⑵y= x∈（0，+∞）（答⑴↓；⑵↑）
对于g(x)=可以看作y=及t=x2+x的复合函数，这样需要知道y=f[g(x)]随y=f(u)及u-g(x)的变化情况，有：
增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
定理二：两个函数的复合函数，在具有相同单调性时，其复合函数为增函数；具有不同单调性时，复合函数为减函数（简称“同向增，异向减”或“同增异减”）.
例2．求函数f(x)=的单调区间
解:原函数是y=1/t及t=x2+x的复合
对于函数y=1/t在t∈(0,+∞)及t∈(-∞,0)上都单调减
而t<0等价于x2+x<0即-1t=x2+x在x≤-1/2上↓,x≥-1/2上↑,故有
故f(x)的增区间为(-∞,-1)及,减区间为及(0,+∞)
例3，判断y=的单调性
解：y==-,它由y=-t及t=复合而成
y=-t↓，t=在（-∞，-）及（-，+∞）均↓
从而，原函数在（-∞，-）及（-，+∞）↑
一般的，y===+,
当bc-ad>0时，它在（-∞，-）和（-，+∞）上单调减；当bc-ad<0时，它在（-∞，-）和（-，+∞）上单调增
练习：求函数y=的减区间 （答：[0，1]）
三，总结：
本节主要介绍了函数单调性的两种特殊判断方法：函数运算及复合函数同增异减的规律
作业见补充习题
第八课时函数的最值
[目的]1，掌握函数最值的定义
2，掌握二次函数在某一闭区间上的最值
[过程]一、看教材P36-----P37
二、内容提要
定义：一般的，设函数y=f(x)的定义域为A。
若存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为f(x)的最大值，记作ymax=fmax(x)=f(x0)；
若存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为f(x)的最小值，记作ymin=fmin(x)=f(x0)。
注意：1、函数的最值一定能够取到！即“方程f(x)=最值”在定义域范围内有解。
2、ymax=fmax(x)与ymin=fmin(x)在整个定义域范围内表示的是最值，在部分范围内表示的是极值
最值的一般求法定理：对于定义域范围内某一值x0,在其左增右减，则在f(x0)处最大值；在其左减右增，f(x0)处取得最小值。这一方法称根据函数的单调性求最值，是 函数最值的一般方法。
三、典型例题
例1、求f(x)=x2+2x在区件[0，10]上的最大最小值
解：f(x)在[0，1]上单调增，在[1，10]上单调减，所以fmin(x)=f(1)=1,fmax(x)=f(10)=80
[练习]P37-----4(答案：有最小值、无最大值)
例2、已知f(x)=x2-2ax在x∈[-1，1]上的最小值与最大值之差为g(a)
⑴求g(a)的解析式；⑵求g(a)的最值
解：⑴f(x)的对称轴为x=a，需要考虑a与定义域区间[-1，1]的相对位置，根据图象有四种情况，a<-1,-1≤a<0,0≤a<1,1≤a
a<-1时，f(x)在[-1，1]上↑，fmax(x)=f(1)=1-2a,fmin(x)=f(-1)=1+2a,g(a)=-4a
-1≤a<0时，g(a)=fmax(x)-fmin(x)=f(1)-f(a)=-a2-2a+1
0≤a<1时，g(a)=fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(a)=-a2+2a+1
a≥1时，f(x)↓，g(a)=f(-1)-f(1)=4a
总之，g(a)=
⑵g(a)在a<0上↓，在a≥0上↑，gmin(x)=g(0)=1,g(x)无最大值
说明：一元二次函数的单调性取决于对称轴和定义域的相对位置
练习1，已知函数y=x2-2x+3在[0,a]上有最小值2，最大值3，求实数a的范围（答案：1≤a≤3）
练习2，已知函数f(x)=-x2+2mx+1-m在[0，1]上有最大值2，求实数m的值（答案：-1或2）
例3，在直角三角形ABC中，AC=b,BC=a,D、E、F分别在BC、AB、CA上，求矩形CDEF面积的最大值
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
解：设CD=x,DE=,S=(-x2+ax) (0当x=a/2时，Smax=
[总结]
求函数最值的一般方法是根据函数的单调性，一元二次函数的单调性取决于对称轴和定义域的相对位置
[作业]P43---3，补充习题
第九课时函数的值域与最值
教学目的：
1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
2．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力；
教学重点：值域的求法
教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定
函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法
二、讲解新课：
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③ ④
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函数的值域是 { y| y2}
③
∵ ∴
即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①；
②；
③； ④；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当时，其最小值；
②当a<0时，则当时，其最大值.
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.
②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数的值域
方法一：去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①
当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0
由此得 (5y+1)0
检验 时 （代入①求根）
∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1
综上所述，函数的值域为 { y| y1且 y}
方法二：把已知函数化为函数 (x2)
由此可得 y1
∵ x=2时 即
∴函数的值域为 { y| y1且 y}
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数的值域
解：设 则 t0 x=1
代入得
∵t0 ∴y4
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
三、小结 本节课学习了以下内容：
求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
四、课后作业：
五、板书设计（略）
六、课后记：
第十课时函数奇偶性定义与一般判断方法
[目的]1、理解函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称
2、掌握函数奇偶性的定义及判断方法
[教具]课件
[过程]
一、看教材P38-----P39
二、汇总要点：1,看函数的奇偶性,前提是定义域必须关于原点对称
2,定义:对于定义域内任意x,若f(-x)=f(x),则函数y=f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.用这一方法判断称定义法
3,一个函数是偶函数必要且只要其图象关于y轴对称;奇函数必要且只要其图象关于原点对称.用这一方法判断函数奇偶性称图象法
三、典型例题
例1,判断函数f(x)=x+ (k>0)的奇偶性,并作出函数的图象
解:f(x)定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）f(-x)=-x-=-f(x),故f(x)为奇函数
由图象可以看出：奇函数在原点两侧对称区间上单调性相同；同理，偶函数存在原点两侧对称区间上单调性相反
练习P40----1~5
例2,已知函数f(x)对定义域内任意x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y)⑴求f(0);⑵判断f(x)的奇偶性
解⑴f(x+0)=f(x)+f(0) 所以f(0)=0
⑵f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),即f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x),f(x)为奇函数
问题1：f(x)为奇函数，且在原点有定义，则f(0)=
[答：f(-0)=-f(0)即f(0)=-f(0) 所以f(0)=0]
问题2，一个函数既是奇函数，又是偶函数，这样的函数有（ ）个？
A,0 B，有且仅有一个 C，有无数个 D，只有两个
（答案：f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)故-f(x)=f(x),f(x)=0但定义域可以有无数个，故选C）
问题3，判断函数g(x)= 及h(x)= 的奇偶性，并计算g(x)+h(x)的值，由此能得出什么结论
（答：g(x)为偶函数，h(x)为奇函数；g(x)+h(x)=f(x)；结论：任何一个定义域关于原点对称的函数都能表示成一个偶函数和一个奇函数之和）
例3，已知奇函数f(x),在x>0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)的解析式
解：f(0)=0,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-x+1=x2-x+1,因f(-x)=-f(x)故f(x)=-x2+x-1
总之f(x)=
说明：这里，点(-x,f(-x))随(x,f(x))的变动而变动，这样的两个点互称相关点，这一方法称相关点法，用之解题的一般步骤是：⑴设所求曲线上任意一点为（x,y);⑵用（x,y)表示其相关点坐标；⑶代入相关点满足的关系式即得到所求的关系式（必要时检验）。又称代入法
三、总结
1判断函数奇偶性的方法有：定义验证法、图象观察法
2f(x)为奇函数，且在原点有定义，则f(0)=0；奇（偶）函数在原点两侧对称区间上单调性相同（反）
3，用相关点法之解题的一般步骤是：⑴设所求曲线上任意一点为（x,y);⑵用（x,y)表示其相关点坐标；⑶代入相关点满足的关系式即得到所求的关系式（必要时检验）。
[作业]教材P43-----3,6,8,9
第十一课时函数的对称性
目的:1,进一步熟悉函数奇偶性的对称关系
2,理解相关点法的意义及步骤
3,掌握函数图象关于x=a,y=b,点(a,0)的对称规律与特征
备注：本节是一个课件
过程：复习:1，偶函数的图象关于______________对称(y轴)
2，奇函数的图象关于_____________对称(原点)
问题:一般的如x=a,y=b,点(a,0)的对称性又如何？
1、关于直线x=a的对称特征
⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立
练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+∞）上单调增，则f(x)在（-∞，5）上的单调性如何？由此你得到什么结论？
解：单调减
关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式
解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点（x1,y)在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求
结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
2、关于直线y=b对称
⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是_____________（答：y=-f(x)）
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x)
结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式
(答：y=-f(2a-x))
结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
总结：本节主要说明了以下几个对称问题：
⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立；关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反；y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
⑵f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立
⑶-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称；一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
课上练习
1，已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象，说明它关于哪个点对称（不必证明），并指出函数的最值。
2, 已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图象关于原点及x=1对称。⑴求f(0);⑵若0≤x≤1时，f(x)=x,求x∈[-1,3]时，f(x)的解析式
[作业见补充习题]
第十二课时映射
教学目的：
（1）了解映射的概念及表示方法
（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.
（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念
教学重点：映射的概念
教学难点：映射的概念
授课类型：新授课
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念
教学过程：
一、复习引入：
在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）
①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系
②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应
⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应
函数的概念
本节我们将学习一种特殊的对应—映射.
二、讲解新课：看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，
这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫
做集合A到集合B的映射 记作：
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如
果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫
做元素的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B
的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都
有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集
合B的映射
思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射
一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射
辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；
三、例题讲解
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(是) （不是） （是）
是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的
例2下列各组映射是否同一映射？
a e a e d e
b f b f b f
c g c g c g
例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则
（2）设，对应法则
（3），，
（4）设
（5），
四、练习：
1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）
2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））
3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？
（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个
（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个
（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同
（D）B中的两个不同元素的原象可能相同
6．下面哪一个说法正确？
（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射
（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射
（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射
7．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6.)
分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.
五、小结 本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：第一课时 二次方程与一元二次函数
[目的]1，掌握一元二次函数与一元二次方程的对应关系
2，熟练掌握用一元二次方程不同形式就函数解析式
3，了解等价转化法求一元二次方程有两个正数根、一正一负、两个负根的条件
[重点及难点]以上第2条
[过程]看书P74______P75
[汇总]一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0的根即为f(x)=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标（函数值为0的点），称函数的零点。相应的ax2+bx+c=0称f(x)=ax2+bx+c所确定的方程，f(x)=ax2+bx+c称作ax2+bx+c=0所确定的函数。
在初中阶段学过，二次函数在不同情况下，有着不同的形式：
1，没有过多的要求时，设为f(x)=ax2+bx+c，称作二次函数的一般式
2，已知顶点为(h,k)时，设为y=a(x-h)2+k,称作二次函数的顶点式
3，已知两根（零点）x1,x2,设为y=a(x-x1)(x-x2),称作零点式或两点式
例1、一个二次函数的图象如图，求函数的解析式
解：零点为1、3，，设为y=a(x-1)(x-3),过点（0，4），所以a=
∴y=(x-1)(x-3)= (x2-4x+3)
练习：教材P76----3
3,⑴a>0,c>0;⑵a>0,c=0;⑶a<0,c>0;⑷a<0,c=0
例2，若方程x2+ax+b=0有两实数根x1,x2,满足x12+x22=1，求b=f(a)的最值
解：△=a2-4b≥0 ①，x12+x22 =（x1+x2）2 -2x1x2=a2-2b=1,b=f(a)=代入①得到-≤a≤,∴bmin=f(0)=-,bmax=f()=f(-)=
（说明：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,用时注意判别式非负的条件）
练习：设函数f(x)=x2-2x+2,当x∈[t,t+1]时最小值为g(t),求g(t)的表达式及最值
（答案：g(t)=,gmin(t)=1）
练习：1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-2，5），一元二次方程ax2+bx+c=0的两根差3，求抛物线的解析式（略解：设y=a(x+2)2+5,|x2-x1|==3,答案：y=-(20x2+80x+35)
例3、已知方程=b-2x(a>0且a≠1)有正实数根，求b的范围
解：loga=logab-2xx2-2x+1=-2xlogabx2+(2logab-2)x+1=0
logab≤0
a>1时，0说明：实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根x1,x2
⑴两根均正；⑵两根均负；⑶一正一负x1x2<0（这时ac<0,已经内含了△=b2-4ac>0的条件）.这样，可以等价转化一个角度去解题
练习1，函数y=2x+1的图象与函数y=x2+2x-3的图象交点的个数为（ ）
A,1 B,2 C,3 D,0 (答案：B)
练习2，如图二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一坐标系中的图象大致是（ ）
（答案：A）
[思考] 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根x1,x2,有两个大于1的实数根的等价条件是吗？若不是，是什么？有两个小于1的实数根、一个大于1另一个小于1呢？
（答：不是，是；两个小于1的实数根的等价条件是，一个小于1另一个大于1的实数根的条件是（x1-1）(x2-1)<0）
总结：今天的主要内容有以下几项：二次函数的解析式不同形式，二次方程的根在某一值全部左边、全部右边、一左一右的等价条件
作业：见补充习题
第二课时 函数与数形结合
教学目的：
1.熟悉并掌握函数的对称语言.
2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.
3.把握数形结合的特征和方法.
4.能够应用函数思想解题.
5.了解与函数有关的数学模型.
教学重点：数形结合的特征与方法
教学难点：函数思想的应用
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教学过程：
一、引入：
通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.
二、例题分析：
例1若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.
解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)
在x＜2时，y=f(x)为减函数
∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)
即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A
通过此题可将对称语言推广如下：
（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴
（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.
例2求f(x)=x-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.
解：先求最小值.
因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;
(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;
(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
综上所述：f(x)min=
最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a
(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.
故f(x)max=
评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.
例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a＜b＜c,若?f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）
A.a＜1,b＜1,且c＞1 B.0＜a＜1,b＞1且c＞1
C.b＞1,c＞1 D. c＞1且＜a＜1,a＜b＜
分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）上为增函数.
观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c＞1且＜a＜1,a＜b＜.答案：D
评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数图象在函数单调性问题中的应用.
例4函数f(x)=x-bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是（ ）
A.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c)
C.f(b)＜f(c) D.f(b)＞f(c)
分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合b,c的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.
解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-=1
∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,
∴f(x)=x-2x+3
(1)当x＞0时，1＜2＜3,且f(x)在［1，+∞上是增函数
所以f(2)＜f(3),即f(b)＜f(c)
(2)当x＜0时，1＞2＞3,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2)＜f(3)，即f(b)＜f(c)
(3)当x=0时，2=3=1
则f(2)=f(3),即f(b)=f(c)
综上所述，f(b)≤f(c).
答案：A
三、课堂练习：
已知f(x)=x-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式.
解：f(x)=(x-2)-8
(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8.
(2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t-4t-4.
(3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.
故φ(t)=f(t+1)=t-2t-7
综上所述：φ(t)=
四、课时小结：
本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.
五、课后作业：
第三课时一元二次方程实根的分布
教学目的：
1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法
2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神
教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法
教学难点：韦达定理的正确使用
课时安排：1课时
内容分析：说明函数、方程、不等式二者密不可分，通过这一点可以研究一元二次方程实数根的分布
教学过程：
一、复习引入：
1、韦达定理：方程（）的二实根为、，则
2，一元二次不等式解法中，用了什么方法？答：数形结合与等价转化
3，一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为（ ）？开口方向取决于（ ）
答：x=-；a的正负
4， 方程ax2+bx+c=0有两个根的充要条件是什么？
答：△>0，也可以为f(x)=ax2+bx+c与x轴有两个交点。
二、讲解新课：
例1，求m为何值时，关于x的方程x2-mx+3+m=0有两个正实数根？
解：[方法一]（等价转化）方程x2-mx+3+m=0有两个正实数根x1,x2故m≥6
[方法二]（数形结合）设函数f(x)=ax2+bx+c,f(x)=0在x>0上有两个实数根，f(x)图象如图：
∴m≥6
例2，m为何值时，关于x的方程x2-mx+3+m=0有两个大于1的根。
解[方法一](等价转化)x1,x2都大于1x1-1,x2-1都大于0，于是故m≥6
[方法二] （数形结合） m≥6
一般的，可以通过数形结合得到以下结论：
一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0实数根分布表
根的情况 a>0时图 a<0时图 充要条件
两个根均小于m
两个根都大于n
一个大于m，另一个小于m的根 (x1-m)(x2-m)<0af(m)<0
在区间(m,n)内有且仅有一个根 f(m)f(n)<0
在区间(m,n)之外有两个根
在区间(m,n)内有两个实数根
[总之]找一个一元二次方程根的分布注意三个条件：1，判别式；2，对称轴位置；3，端点的函数值
练习
1 当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:
①两个实根； ②一正根和一负根；
③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.
解 ：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、
①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：
m∈φ.
∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根.
②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
m<5.
∴此时m的取值范围是(-,5).
③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：
m<2.
∴此时m的取值范围是(-,2).
④错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈(,6)
∴此时m的取值范围是(,6)，即原方程不可能两根都大于1.
正解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈φ.
∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.
说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.
练习2．已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
解：要原方程有两个负实根，必须:
.
∴实数k的取值范围是{k|-2练习3，若方程-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.
提示：由.
说明：象一元二次函数这样，在某一区间内函数的图象没有断开的，称作函数在该区间内连续。
[思考]在区间[a,b]内连续的函数f(x)确定的方程f(x)=0，在(a,b)内有且仅有一个实数根是否一定有f(a)f(b)<0 反之，若f(a)f(b)<0是否在区间(a,b)内有且仅有一个实数根？你能得到什么结论？
（答：一定；不一定；f(a)f(b)<0在区间(a,b)内有且奇数个实数根，即：在[a,b]上连续的函数f(x),f(x)=0在区间(a,b)内有奇数个实数根f(a)f(b)<0,这一规律称勘根定理）
三、小结：函数、方程、不等式二者密不可分，找一个一元二次方程根的分布注意三个条件：1，判别式；2，对称轴位置；3，端点的函数值
四、布置作业（补充）：
五、板书设计（略）
六、课后记：第一课时交集、交集(1)
教学目的：
（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；
教学重点：交集和并集的概念
教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析
这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系
教学过程：
一、复习引入：
1．说出 的意义
2．填空：若全集U={x|0≤x＜6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么
{0，2，4} {0，2，3，5}
3．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .（答：C={1，2}）
4．观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影部分），集合A和B合并在一起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2的阴影部分）．
观察问题3中A、B、C三个集合的元素关系易知，集合C={1，2}是由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的，即集合C的元素是集合A、B的公共元素，此时，我们就把集合C叫做集合A与B的交集，这是今天我们要学习的一个重要概念.
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
二、讲解新课：
1．交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作AB（读作‘A交B’），
即AB=｛x|xA，且xB｝．
如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则AB={c,d,e}．
由图示可以得到交集的性质⑴∩A=,A∩A=A，A∩CUA=
⑵A∩B=B∩A
⑶(A∩B)∩C=A∩(B∩C)在这种情况下可以连写成A∩B∩C
⑷A∩BA,A∩BB
方程（或不等式）组的解集是各个不等式解集的交集
2．并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：AB（读作‘A并B’），
即AB ={x|xA，或xB})．
如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．
由图示可以得到并集的性质⑴∪A=A,A∪A=A，A∪CUA=U
⑵A∪B=B∪A
⑶(A∪B)∪C=A∩∪(B∪C)在这种情况下可以连写成A∪B∪C
⑷A A∪B, B A∪B
⑸A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
3，集合的运算定义：由两个定集合得到一个新集合的过程，叫集合的运算
三、讲解范例：
例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求AB.
解：AB=｛x|x>-2｝｛x|x<3｝=｛x|-2例2设A=｛x|-1解：AB=｛x|-1说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题
例3设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又AB={9},
求实数m的值.
解：∵AB={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，
∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与AB={9}矛盾；
若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；
若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足AB={9}.∴m=-3．
例4．设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又AB={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值.
解：∵A∩B={3},∴3∈B，∴32+3c+15=0，
∴c=-8.由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5，
∴B={3，5}.由A（AB={3，5}知，
3∈A，5A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）
故必有A={3}，∴方程x2+ax+b=0有两相同的根3，
由韦达定理得3+3=-a，33=b，即a=-6,b=9，c=-8.
四、课内练习
A∪{2，4}={2，4，6}，求A
五、小结：本节课学习了以下内容：
A∩B=｛x|x∈Ａ，且x∈Ｂ｝
――是同时属于Ａ，Ｂ的两个集合的所有元素组成的集合．
A∪B={x|x∈A或x∈B}
――是属于A或者属于B的元素所组成的集合．
六、作业: 教材P13__-P14,2——10题
第二课时交集、交集综合选讲
教学目的：
（1）进一步理解交集与并集的概念；
（2）熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；
（3）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们表示一些简单的集合
授课类型：习题课
课时安排：1课时
内容分析
这小节继续研究集合的运算，即集合的交、并及其性质本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系
教学过程：
一、复习引入：
1．交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
2．并集的定义
一般地，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
二、讲解新课：
交集、并集的性质
用文图表示
(1)若AB,则AB=B, AB=B
(2)若AB则AB=A AB=A
(3)若A=B, 则AA=A AA=A
(4)若A,B相交，有公共元素，但不包含
则AB A,AB B
ABA, ABB
(5) )若A,B无公共元素，则AB=Φ
(学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？)：
从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：
1．交集的性质
(1)AA=A AΦ=ΦAB=BA (2)ABA, ABB．
2．并集的性质
(1)AA=A (2)AΦ=A (3)AB=BA (4)ABＡ,ABB
联系交集的性质有结论：ΦABAAB．
三、讲解范例：
例1：用图示表示(CuA) (CuB)、Cu (AB)、(CuA) (CuB)、 Cu(AB)的关系。
解答：：(CuA) (CuB)= Cu (AB), (CuA) (CuB)= Cu(AB)（这一规律称德摩根律）
结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= Φ
例2：设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求CuA, CuB, (CuA) (CuB), (CuA) (CuB), Cu(AB) , Cu(AB)．
解：CuA=｛1,2,6,7,8｝ CuB=｛1,2,3,5,6｝
(CuA) (CuB)= Cu(AB)=｛1,2,6｝
(CuA) (CuB)= Cu(AB)=｛1,2,3,5,6,7,8｝
练习： 已知全集U={x|x2-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=，
求CUA，CUB，A∩B，A∩（CUB），（CUA）∩B
解：∵U={x|x2-3x+2≥0}＝{x|x1或x2}，
A={x||x-2|>1}={x|x<1或x>3}，
B=={x| x1或x>2}
∴CUA=
CUB=
A∩B=A={x|x<1或x>3}，={x|x<1或x>3}，
A∩（CUB）=
（CUA）∩B=
例3，已知集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},且A∪B={-2,0,1},求p和q的值
解：A中两根积为-2，在{-2，0，1}中只能为-2与1，和为-p=-1，p=1.同理B中元素只能为0，1，q=0
总之，p=1,q=0
练习：已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},A∩B≠，A∩C=，求实数a的值 （答案：-2）
例4，教材P12例2
说明：用|A|表示有限集合A中元素的个数，由图示易得：
1、|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|
一般的有：有限个集合并集的元素个数，等于单个集合元素个数之和，减去两两相交的元素个数之和，加上三三相交的元素个数之和，减四四相交的元素个数之和，……，一加一减，直到所有元素相交的元素个数。这一规律称容斥原理
2、有的书上将集合A的元素个数用符号card(A)表示。
四、小结：本节课学习了以下内容：
德摩根律：(CUA) (CUB)= CU (AB), (CUA) (CUB)= CU (AB)．
A (CUA)=U, A (CUA)= Φ．
容斥原理：card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B).
六、作业:见补充习题 简单的幂函数
[目的]1，掌握幂函数的概念
2，总结幂函数的变化情况和性质
3，会用幂函数解决问题
[过程]看书：P72----P73
y=x , y= ( y=x-1 ), y=x2 如果一个函数，底数是自变量x,指数是常量 这样的函数y=xa称为幂函数
注意：幂函数与指数函数的区别：幂函数x在底数位置上，指数函数x在指数位置上。
例1、在同一坐标系内作出下列函数的图象,由此总结出幂函数的性质
⑴y=x2,y=x,y=,y=; ⑵y=x-1,y=x-2,y=,y=
⑴ ⑵
由图可以看出，幂函数y=xa的性质：
情况 a>0 a<0
恒过的定点 点(0,0),(1,1) 点（1，1）
单调性 在上↑ 在（0，+∞）上↓
练习1：教材P73--------1
答案：⑴R,偶函数；⑵{x|x≥0}，非奇非偶；⑶{x|x≠0}，奇
练习2，教材P73习题1，2，5
答案：1，⑴<;⑵>;⑶>
2,⑴R;⑵{x|x≥0};⑶{x|x≠0};⑷(0,+∞)
5，d=0.016v2 (v>0)
总结：今天主要讲解了幂函数及其性质
作业：见补充习题