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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广东2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023春·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
3．（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.
【详解】点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
4．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解.
【详解】作出点A关于直线的对称点，
连接，交直线于点，
则即为光线经过路程的最小值，
且，
此即光线从A到B所经过的距离为.
故选：B．
5．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
6．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设点，易知，以为半径的左半圆的方程为，
以为半径的右半圆的方程为，
所以点的横坐标的取值范围是，
又因为，，所以，.
故选：B.
7．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
8．（2022秋·广东中山·高二中山纪念中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】B
【分析】取中点，证明平面，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由与此法向量平行确定点位置，判断B，利用空间向量法求得到到平面距离的最大值，确定点位置判断C，利用勾股定理确定点轨迹，得轨迹长度判断D．
【详解】选项A，分别取中点，连接，，由与，平行且相等得平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
连接，，，所以，同理平面，
，平面，所以平面平面，
当时，平面，所以平面，即点轨迹是线段，A正确；
选项B，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设（），
，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
若平面，则，所以存在，使得，
，解得，因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，B错；
选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，，
到平面的距离为，，
时，，当时，d有最大值1，
时，，时，d有最大值，
综上，时，d取得最大值1，故与重合时，d取得最大值，三棱锥的体积最大，C正确；
选项D，平面，平面，，
所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，轨迹长度为，D正确．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过且与平面平行的平面，由体积公式，在正方形内的点到平面的距离最大，则三棱锥体积最大．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·广东广州·高二南海中学校考期中）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】BC
【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.
【详解】，配方得：
，
要想表示圆，则，
解得：，
故选：BC
10．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
【答案】AC
【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
它与直线重合，D错误；
，因此是直线的一个方向向量，A正确；
在直线方程中令得，令得，
直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；
由于，C正确
故选：AC
11．（2022秋·广东广州·高二仲元中学校考期中）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
【答案】ABC
【分析】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断.
【详解】A.直线，即，直线恒过点，故A正确；
B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；
C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确；
D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.
故选：ABC
12．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，若，则 .
【答案】2
【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解】解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
14．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）经过直线与直线的交点且在轴上截距为6的直线方程是 ．
【答案】
【分析】联立两直线解出交点坐标，根据直线过两点、，求出直线斜率，写出直线的斜截式方程即可.
【详解】联立直线与直线的方程，
解得，即交点坐标为.
由直线在轴上截距为6，即直线过点，斜率，
所以直线的方程为，化为一般式方程可得.
故答案为：.
15．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 .
【答案】
【分析】由空间向量的线性运算求解．
【详解】是的中点，
．
故答案为：．
16．（2021秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
【点睛】方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面．
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，根据平行六面体的性质、，即可得到，即可得证；
（2）结合图形，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】（1）证明：在上取一点，使得，连接、，
在平行六面体中，，，，
且，且，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
、、、四点共面．
（2）解：因为
，
即，，，
．
18．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.
(1)求直线，的方程
(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用两点式求得直线的方程，利用点斜式求得直线的方程.
（2）结合两点连线的斜率的取值范围以及图象求得正确答案.
【详解】（1）过点，方程为，整理得，
所以，由于，所以，
所以直线的方程为.
（2）由令，解得，所以，
表示与连线的斜率，，
所以的取值范围是.
19．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
20．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，且，，且，且.平面，.
(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量法求出平面与平面的法向量，即可求解；
（2）设线段DP的长为（），求出，，然后利用向量的夹角公式列方程求解.
【详解】（1）因为平面，，平面，所以，.
因为，所以，，两两垂直，以为原点，
分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），
则，，，，，，.
得，，.
设为平面的法向量，则，
令，则；
设为平面的法向量，则，
令，则，
所以.
所以平面与平面的夹角的正弦为.
（2）设线段的长为，则，.
因为，，平面，
所以平面，为平面的一个法向量，
所以，由题意，可得，解得.
所以线段的长为.
21．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，．
(1)求证：；
(2)若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值；
(3)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC⊥CD,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD⊥平面ACEF,从而证得结论；
（2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得；
（3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解.
【详解】（1）∵，，∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵，∴∠BAC=45°，AC=，∴∠CAD=45°，
又∵AD=2,∴CD=．
∴,∴,
又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,CD 平面ABCD,
∴CD⊥平面ACEF,
又∵AF 平面ACEF,
∴CD⊥AF
（2）∵四边形ACEF为矩形，∴AF⊥AC,
又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF 平面ACEF,
∴AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD
∴AF,AB,AD两两垂直，
以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示.
∵AF⊥平面ABCD,AF//CE,∴CE⊥平面ABCD，
又∵，∴CE=CDtan30°=,
∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,),
,由AC⊥CE,AC⊥CD,CE∩CD=C,∴AC⊥平面CDE,
∴平面CDE的法向量为,
∴直线DF与平面CDE所成的角的正弦值为
（3）若ACEF为正方形，则与（2）同理可得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.
∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,),
设,平面PBD的法向量为
,则,令,则,,
平面ABD的法向量为,
∴,解得，
在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1.
22．（2024秋·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；是上靠近的三等分点
【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置；
【详解】（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
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2023-2024学年高二数学上学期期中精选名校测试卷（广东2）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册（人教A版2019）第一章、第二章
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023春·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（ ）
A． B． C．4 D．5
5．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
8．（2022秋·广东中山·高二中山纪念中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022秋·广东广州·高二南海中学校考期中）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
10．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
11．（2022秋·广东广州·高二仲元中学校考期中）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
12．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2022秋·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，若，则 .
14．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）经过直线与直线的交点且在轴上截距为6的直线方程是 ．
15．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是 .
16．（2021秋·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面．
(2)若，求．
18．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.
(1)求直线，的方程
(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围
19．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
20．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，且，，且，且.平面，.
(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.
21．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，．
(1)求证：；
(2)若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值；
(3)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．
22．（2024秋·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
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